تم إلغاء تنشيط البوابة. يُرجَى الاتصال بمسؤول البوابة لديك.

فيديو السؤال: إيجاد نسبة السعات في حالة التوصيل على التوالي وعلى التوازي الفيزياء

يمكن توصيل مكثف سعته ‪135 µF‬‏ ومكثف سعته ‪26 µF‬‏ على التوالي أو على التوازي. أوجد نسبة السعة الكلية في حالة التوصيل على التوازي إلى السعة الكلية في حالة التوصيل على التوالي. أوجد الإجابة لأقرب منزلتين عشريتين.

٠٩:٥٣

‏نسخة الفيديو النصية

يمكن توصيل مكثف سعته 135 ميكروفاراد ومكثف سعته 264 ميكروفاراد على التوالي أو على التوازي. أوجد نسبة السعة الكلية في حالة التوصيل على التوازي إلى السعة الكلية في حالة التوصيل على التوالي. أوجد الإجابة لأقرب منزلتين عشريتين.

دعونا نبدأ برسم شكلين للدائرة الكهربية يوضحان الترتيبين الممكنين لهذين المكثفين. يمكن توصيلهما على التوالي، أي واحدًا تلو الآخر على المسار نفسه هكذا، أو يمكن توصيلهما على التوازي، أي أن كل مكثف يقع على فرع منفصل أو متواز من الدائرة. يمكننا بعد ذلك إضافة بطارية وتحويل كل رسم من هذين الرسمين إلى دائرة كاملة. وسنطلق على السعتين ‪𝐶‬‏ واحدًا و‪𝐶‬‏ اثنين. دعونا نفترض أن ‪𝐶‬‏ واحدًا هو السعة التي تبلغ 135 ميكروفاراد، و‪𝐶‬‏ اثنين هو السعة التي تبلغ 264 ميكروفاراد.

مطلوب منا إيجاد نسبة السعة الكلية عندما يكون المكثفان موصلين على التوازي إلى السعة الكلية عندما يكونان موصلين على التوالي. إذا سمينا السعة الكلية في حالة التوصيل على التوالي ‪𝐶S‬‏، والسعة الكلية في حالة التوصيل على التوازي ‪𝐶P‬‏، فإن هذه النسبة المطلوب إيجادها تساوي ‪𝐶P‬‏ مقسومًا على ‪𝐶S‬‏. لكي نوجد قيمتي‪𝐶P‬‏ و‪𝐶S‬‏، سنحتاج إلى تذكر كيف نجمع السعات في حالة التوصيل على التوالي وفي حالة التوصيل على التوازي.

دعونا نبدأ بالحالة التي يكون فيها المكثفان موصلين على التوازي. يمكننا أن نتذكر أنه إذا وصلنا عدة مكثفات معًا على التوازي، فإن السعة الكلية تساوي مجموع السعات الفردية. بعبارة أخرى، إذا وصلنا مجموعة من المكثفات على التوازي سعاتها ‪𝐶‬‏ واحد، ‪𝐶‬‏ اثنان، ‪𝐶‬‏ ثلاثة، وهكذا، فإن السعة الكلية ‪𝐶T‬‏ تساوي ‪𝐶‬‏ واحدًا زائد ‪𝐶‬‏ اثنين زائد ‪𝐶‬‏ ثلاثة وهكذا.

في الحالة التي لدينا، لا يوجد إلا مكثفان موصلان على التوازي، وقد أسمينا سعتهما الكلية ‪𝐶P‬‏. إذن، لدينا هنا ‪𝐶P‬‏ يساوي ‪𝐶‬‏ واحدًا زائد ‪𝐶‬‏ اثنين. عندما نعوض بقيمتي ‪𝐶‬‏ واحد و‪𝐶‬‏ اثنين، نجد أن قيمة ‪𝐶P‬‏ تساوي 135 ميكروفاراد زائد 264 ميكروفاراد، وهو ما يساوي 399 ميكروفاراد .

والآن بعد أن أوجدنا السعة الكلية في حالة التوصيل على التوازي، دعونا نفرغ بعض المساحة وننتبه إلى الحالة التي يوصل فيها المكثفان معًا على التوالي.

لحساب ‪𝐶S‬‏، وهو السعة الكلية في حالة التوصيل على التوالي، علينا أن نتذكر أنه عندما نجمع عدة مكثفات في حالة التوصيل على التوالي، نجمع مقلوب السعات الفردية، وهذا يعطينا مقلوب السعة الكلية. في الحالة التي لدينا، سمينا السعة الكلية في حالة التوصيل على التوالي ‪𝐶S‬‏. إذن نحصل على واحد على ‪𝐶S‬‏ يساوي واحدًا على ‪𝐶‬‏ واحد زائد واحد على ‪𝐶‬‏ اثنين.

يمكننا جمع الكسرين في الطرف الأيمن عن طريق إيجاد مقام مشترك لهما. ويمكننا تحقيق ذلك بضرب الكسر الأول وهو واحد على ‪𝐶‬‏ واحد في ‪𝐶‬‏ اثنين على ‪𝐶‬‏ اثنين، وضرب الكسر الثاني وهو واحد على ‪𝐶‬‏ اثنين في ‪𝐶‬‏ واحد على ‪𝐶‬‏ واحد. يمكننا بعد ذلك إعادة كتابة الطرف الأيمن من المعادلة على صورة ‪𝐶‬‏ واحد زائد ‪𝐶‬‏ اثنين مقسومًا على ‪𝐶‬‏ واحد في ‪𝐶‬‏ اثنين.

وأخيرًا، لجعل ‪𝐶S‬‏ في طرف بمفرده في المعادلة، نريد أن نوجد مقلوب كلا طرفي المعادلة، أي نحسب واحدًا مقسومًا على كل طرف. عند حساب واحد مقسومًا على واحد على ‪𝐶S‬‏، نحصل على ‪𝐶S‬‏ ببساطة. وفي الطرف الأيمن، عندما نحسب واحدًا مقسومًا على كسر، يكون تأثيره قلب بسط الكسر ومقامه. إذن، نحصل في النهاية على ‪𝐶‬‏ واحد في ‪𝐶‬‏ اثنين مقسومًا على ‪𝐶‬‏ واحد زائد ‪𝐶‬‏ اثنين.

إذا عوضنا الآن عن ‪𝐶‬‏ واحد بقيمة 135 ميكروفاراد، وعن ‪𝐶‬‏ اثنين بقيمة 264 ميكروفاراد، فسنحصل على هذا التعبير لـ ‪𝐶S‬‏. في البسط، لدينا 135 ميكروفاراد مضروبًا في 264 ميكروفاراد. وهذا يساوي 35640 ميكروفاراد مربع. وفي المقام، لدينا 135 ميكروفاراد زائد 264 ميكروفاراد يساوي 399 ميكروفاراد. يمكننا حذف عامل واحد من وحدات ميكروفاراد من البسط والمقام، وهو ما يعطينا وحدة ميكروفاراد. بإيجاد قيمة التعبير، نحصل على قيمة ‪𝐶S‬‏ وهي 89.3233 ميكروفاراد وهكذا مع توالي الأرقام.

والآن بعد أن أصبح لدينا قيمة كل من ‪𝐶P‬‏، وهو السعة الكلية في حالة التوصيل على التوازي، و‪𝐶S‬‏، وهو السعة الكلية في حالة التوصيل على التوالي، دعونا نفرغ بعض المساحة ونحسب النسبة ‪𝐶P‬‏ مقسومًا على ‪𝐶S‬‏.

عندما نعوض بالقيمتين المحسوبتين لكل من ‪𝐶P‬‏ و‪𝐶S‬‏ في نسبة السعتين هذه، نحصل على هذا التعبير. وبما أن لدينا وحدة ميكروفاراد في كل من البسط والمقام، فإن هاتين الوحدتين تحذفان، وتتبقى لدينا كمية لا بعد لها. وهذا منطقي الآن لأن ما نحسبه ليس سعة وإنما نسبة بين سعتين.

عند إجراء القسمة في الطرف الأيمن، نحصل على الناتج 4.4669 وهكذا مع توالي الأرقام. وبما أن هذه النسبة أكبر من واحد، فهذا يعني أن ‪𝐶P‬‏ أكبر من ‪𝐶S‬‏، وهو ما يمكننا بالطبع ملاحظته أيضًا بالنظر إلى السعتين المحسوبتين على حدة. بعبارة أخرى، تشير هذه العبارة إلى أن السعة الكلية لهذين المكثفين عند توصيلهما على التوازي أكبر من السعة الكلية لهذين المكثفين نفسيهما عند توصيلهما على التوالي.

في الواقع، يمكننا على هامش ذلك أن نثبت أن هذه العبارة صحيحة دائمًا بغض النظر عن قيمتي السعتين الفرديتين ‪𝐶‬‏ واحد و‪𝐶‬‏ اثنين. علينا أن نتذكر أن ‪𝐶P‬‏ يساوي ‪𝐶‬‏ واحدًا زائد ‪𝐶‬‏ اثنين. وقد أوضحنا أن ‪𝐶S‬‏ يساوي ‪𝐶‬‏ واحد في ‪𝐶‬‏ اثنين مقسومًا على ‪𝐶‬‏ واحد زائد ‪𝐶‬‏ اثنين. إذن باستخدام هذين التعبيرين بدلًا من ‪𝐶P‬‏ و‪𝐶S‬‏ في هذه النسبة، نحصل على ‪𝐶‬‏ واحد زائد ‪𝐶‬‏ اثنين مقسومًا على الكسر ‪𝐶‬‏ واحد في ‪𝐶‬‏ اثنين على ‪𝐶‬‏ واحد زائد ‪𝐶‬‏ اثنين.

يمكننا بعد ذلك إعادة كتابة هذه النسبة بهذه الطريقة، مع وجود عاملين ‪𝐶‬‏ واحد زائد ‪𝐶‬‏ اثنين في البسط مقسومين على ‪𝐶‬‏ واحد في ‪𝐶‬‏ اثنين في المقام. عند فك الأقواس في البسط، نحصل على ‪𝐶‬‏ واحد تربيع زائد ‪𝐶‬‏ اثنين تربيع زائد عاملين ‪𝐶‬‏ واحد في ‪𝐶‬‏ اثنين. يمكننا تقسيم هذا الكسر إلى كسرين منفردين. في الكسر الأول، يمكننا حذف ‪𝐶‬‏ واحد من البسط مع ‪𝐶‬‏ واحد في المقام. ويمكننا فعل الأمر نفسه مع العاملين ‪𝐶‬‏ اثنين. إذن، الحد الأول يساوي اثنين ببساطة.

يجب أن يكون الحد الثاني قيمة موجبة؛ لأنه لا يمكن أن يكون للمكثفات سوى قيم موجبة. وهذا يعني أن مجموع هذين الحدين يجب أن يكون أكبر من القيمة اثنين هذه. إذن، لم نوضح فحسب أن النسبة ‪𝐶P‬‏ على ‪𝐶S‬‏ يجب أن تكون أكبر من واحد، وهو ما يجعل ‪𝐶P‬‏ أكبر من ‪𝐶S‬‏، وإنما أوضحنا بالفعل أن هذه النسبة يجب أن تكون أكبر من اثنين.

يمكننا توضيح هذه العبارة بأن نقول إنه بالنسبة لأي مكثفين، يجب أن تكون السعة الكلية عند توصيلهما على التوازي أكبر من السعة الكلية عند توصيلهما على التوالي بما لا يقل عن الضعف.

دعونا الآن نعد توجيه انتباهنا إلى السؤال الذي لدينا. لقد أوضحنا أنه بالنسبة للسعتين المذكورتين في هذا السؤال، فإن نسبة السعة الكلية في حالة التوصيل على التوازي ‪𝐶P‬‏ إلى السعة الكلية في حالة التوصيل على التوالي ‪𝐶S‬‏ تساوي 4.4669 وهكذا مع توالي الأرقام. هذه النسبة هي بالضبط المطلوب منا إيجادها في السؤال، لكنه يطلب منا أيضًا أن نقرب إجابتنا لأقرب منزلتين عشريتين. إذن بتقريب الناتج لأقرب منزلتين عشريتين، نحصل على الإجابة النهائية وهي 4.47.

إذن، نسبة السعة الكلية في حالة التوصيل على التوازي إلى السعة الكلية في حالة التوصيل على التوالي هي 4.47، لأقرب منزلتين عشريتين.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.