فيديو السؤال: تحديد التمثيلات البيانية للمعادلات التربيعية في الصورة التحليلية الرياضيات

‏نسخة الفيديو النصية

أي التمثيلات البيانية الآتية يمثل المعادلة ﺹ يساوي ﺱ زائد أربعة مضروبًا في ﺱ ناقص اثنين؟

حسنًا، أول شيء نريد فعله هو جعل المعادلة تساوي صفرًا. إذن، لدينا ﺱ زائد أربعة مضروبًا في ﺱ ناقص اثنين يساوي صفرًا. ونريد فعل ذلك لأنه عند ﺹ يساوي صفرًا، هذا سيوضح الموضع الذي يقطع المنحنى فيه المحور ﺱ. حسنًا، سنوجد حلول المعادلة أو أصفارها أو جذورها. ومن ثم، لكي تساوي هذه المعادلة صفرًا، سيساوي أحد هذين القوسين صفرًا.

وبذلك، يكون إما ﺱ زائد أربعة يساوي صفرًا، وهو ما يعني أن ﺱ يساوي سالب أربعة، وإما ﺱ ناقص اثنين يساوي صفرًا. ومن ثم، ﺱ سيساوي اثنين أو موجب اثنين. رائع. وبذلك، نكون عرفنا جذري المعادلة أو حليها، وهما ﺱ يساوي سالب أربعة أو اثنين. وذلك عندما يكون ﺹ يساوي صفرًا.

رائع. حسنًا، هل يمكننا استبعاد أي من هذه التمثيلات البيانية باستخدام هذه المعلومات؟ حسنًا، يمكن أن يكون التمثيل البياني (أ)، لأننا نلاحظ أن هذا المنحنى يقطع المحور ﺱ عند سالب اثنين وأربعة. حسنًا، لا يمكن أن يكون التمثيل البياني (ب). وذلك لأنه يمكننا أن نرى في التمثيل البياني (ب) أن المنحنى يقطع المحور ﺱ عند سالب اثنين وأربعة. ومن ثم، تكون الإشارة معكوسة. مرة أخرى، يمكننا استبعاد الخيار (ج). وهذه المرة لأن الجزء المقطوع من المحور ﺱ عند سالب خمسة ونصف، وسالب اثنين ونصف.

حسنًا، في التمثيل البياني (د)، يقطع المنحنى المحورين عند سالب أربعة واثنين. إذن، يمكن أن يكون التمثيل البياني (د) هو التمثيل البياني الصحيح. مرة أخرى، يمكننا استبعاد التمثيل البياني (هـ). ويمكننا استبعاد التمثيل البياني (هـ) لأن المنحنى هـ لا يقطع، في الواقع، المحور ﺱ على الإطلاق. وعليه، لن يعطينا هذا أي حل للمعادلة إذا كانت تساوي صفرًا.

علينا الآن تحديد كيف سنميز بين التمثيل البياني (أ) والتمثيل البياني (د). حسنًا، إذا ألقينا نظرة على معادلة المنحنى مرة أخرى، فإن لدينا ﺹ يساوي ﺱ زائد أربعة مضروبًا في ﺱ ناقص اثنين. والآن، إذا أردنا توزيع الأقواس، فستكون الخطوة الأولى هي ضرب الحدين اللذين يحتويان على ﺱ أحدهما في الآخر. وهذا يعطينا ﺱ تربيع. إذن، لا نحتاج إلى الاستمرار في توزيع الأقواس، لأن هذه المعلومة البسيطة الوحيدة التي نحتاجها. لأن الحد الأول، كما ذكرنا، سيكون ﺱ تربيع في الدالة التربيعية.

حسنًا، إذا كان الحد الذي يحتوي على ﺱ تربيع موجبًا، يكون معامل ﺱ تربيع موجبًا، ومن ثم نعلم أن القطع المكافئ سيكون على شكل حرف ‪U‬‏. أما إذا كان الحد الذي يحتوي على ﺱ تربيع سالبًا، فيكون المعامل سالبًا، ومن ثم فإن القطع المكافئ سيكون على شكل حرف ‪U‬‏ مقلوب أو على شكل حرف ‪n‬‏. حسنًا، يمكننا ملاحظة أن ﺱ تربيع موجب. لذا، يمكننا استبعاد التمثيل البياني (د) لأنه عبارة عن قطع مكافئ على شكل حرف ‪U‬‏ مقلوب أو على شكل حرف ‪n‬‏. ومن ثم، لا بد أن يكون التمثيل البياني الصحيح هو التمثيل (أ)، لأن لدينا قطعًا مكافئًا على شكل حرف ‪U‬‏، حيث لدينا الحد ﺱ تربيع موجب. وقد أوضحنا أن المنحنى يقطع المحور ﺱ عند سالب أربعة واثنين.

لكن يمكننا التحقق من ذلك سريعًا. وطريقة التحقق التي سنتبعها هي أننا سنوجد الجزء المقطوع من المحور ﺹ. حسنًا، لإيجاد الجزء المقطوع من المحور ﺹ، سنعوض بـ ﺱ يساوي صفرًا. لأنه عندما يساوي ﺱ صفرًا، فهذا يعني أن المنحنى سيقطع المحور ﺹ.

حسنًا، سيكون لدينا صفر زائد أربعة مضروبًا في صفر ناقص اثنين. إذن، سنحصل على ﺹ يساوي أربعة مضروبًا في سالب اثنين. حسنًا، يعطينا هذا ﺹ يساوي سالب ثمانية. وعليه، يجب أن يكون الجزء المقطوع من المحور ﺹ عند سالب ثمانية. وإذا نظرنا مرة أخرى إلى التمثيل البياني، سنجد أن تلك هي الحال. إذن، يمكننا التأكد دون شك من أن التمثيل البياني (أ) هو التمثيل البياني الصحيح.