نسخة الفيديو النصية
باستخدام الاشتقاق اللوغاريتمي، أوجد مشتقة ﺹ تساوي الجذر التربيعي لـ ﺱ زائد واحد على اثنين ﺱ أس أربعة ناقص اثنين.
لدينا دالة ﺹ تبدو معقدة إلى حد ما وتساوي الجذر التربيعي لخارج قسمة. ويمكننا كتابتها على الصورة: ﺱ زائد واحد على اثنين ﺱ أس أربعة ناقص اثنين الكل أس نصف، بما أن الأس نصفًا يكافئ الجذر التربيعي. فيمكننا الآن التعامل مع ذلك على أنه دالة لدالة، ومن ثم نستخدم قاعدة السلسلة وقاعدة القسمة للاشتقاق. لكن السؤال يتطلب استخدام الاشتقاق اللوغاريتمي على وجه التحديد.
حسنًا، كيف سنفعل ذلك إذن؟ لنر ما يمكننا فعله. لنفترض أن لدينا دالة ﺹ تساوي ﺩﺱ. سيكون أول شيء سنفعله إذن هو تطبيق اللوغاريتم الطبيعي على كلا الطرفين. ومن ثم، يكون لدينا اللوغاريتم الطبيعي لـ ﺹ يساوي اللوغاريتم الطبيعي لـ ﺩﺱ، مع تذكر أن اللوغاريتم الطبيعي هو اللوغاريتم للأساس ﻫ؛ حيث ﻫ هو عدد أويلر ويساوي تقريبًا ٢٫٧١٨٢٨ وهكذا مع توالي الأرقام. ولكي يكون ذلك صحيحًا، علينا تحديد أن ﺹ أكبر من صفر، بما أن لوغاريتم صفر غير معرف، واللوغاريتم غير موجود للقيم السالبة.
إذا أردنا تضمين القيم السالبة، فعلينا إذن استخدام القيم المطلقة لـ ﺹ وﺩﺱ، ثم تحديد أن ﺹ لا يساوي صفرًا. الخطوة الثانية في الاشتقاق اللوغاريتمي هي استخدام قوانين اللوغاريتمات لفك اللوغاريتم الطبيعي لـ ﺩﺱ. وينتج عن هذه الخطوة شيء يمكننا اشتقاقه بسهولة. لذا، بعد ذلك نشتق كلا الطرفين بالنسبة إلى ﺱ. وبمجرد أن ننتهي من ذلك، يمكننا الحل لإيجاد ﺹ شرطة. أي ﺩﺹ على ﺩﺱ. هيا نبدأ إذن تطبيق هذه الخطوات على الدالة ﺹ بأخذ اللوغاريتم الطبيعي لكلا الطرفين.
وفي هذه الحالة، يمكننا تحديد أن ﺹ هو الجذر التربيعي الموجب. بعد ذلك، نستخدم قوانين اللوغاريتمات لفك الطرف الأيسر. والقانون الأول الذي يمكننا استخدامه بما أن لدينا الأس نصفًا في الطرف الأيسر هو قاعدة القوة للوغاريتمات. وهي تنص على أن لوغاريتم ﺏ أس ﺟ للأساس ﺃ يساوي ﺟ في لوغاريتم ﺏ للأساس ﺃ. وهو ما يعني أننا نكتب الأس بالأسفل إلى جانب اللوغاريتم ثم نضربه فيه. وعليه، في هذه الحالة، سنكتب النصف بالأسفل بجانب اللوغاريتم.
الآن، أصبح مدخل اللوغاريتم الطبيعي في الطرف الأيمن عبارة عن خارج قسمة. ويمكننا تبسيط ذلك باستخدام قاعدة القسمة للوغاريتمات التي تنص على أن لوغاريتم ﺏ على ﺟ للأساس ﺃ يساوي لوغاريتم ﺏ للأساس ﺃ ناقص لوغاريتم ﺟ للأساس ﺃ. في هذه المسألة، ﺱ زائد واحد يناظر ﺏ، واثنان ﺱ أس أربعة ناقص اثنين يناظر ﺟ. وعليه، فإن هذا يساوي واحدًا على اثنين في اللوغاريتم الطبيعي لـ ﺱ زائد واحد ناقص اللوغاريتم الطبيعي لاثنين ﺱ أس أربعة ناقص اثنين. أصبح لدينا في الطرف الأيسر شيء يسهل التعامل معه ونعرف كيف نشتقه بمنتهى السهولة.
علينا الآن إيجاد المشتقة بالنسبة إلى ﺱ. في الطرف الأيسر، نشتق دالة لدالة أخرى؛ لأن ﺹ بالطبع هي دالة في المتغير ﺱ. وفي الطرف الأيسر، مشتقة مجموع ما هي مجموع المشتقات. لذا يمكننا تقسيم ذلك إلى مشتقتين ثم أخذ الثابت نصف كعامل مشترك. وفي كلا الطرفين، سنستخدم النتيجة المعروفة التي تنص على أن ﺩ على ﺩﺱ للوغاريتم الطبيعي لـ ﻉ؛ حيث ﻉ دالة قابلة للاشتقاق في المتغير ﺱ، تساوي واحدًا على ﻉ في ﺩﻉ على ﺩﺱ. وهذا ينطبق عندما يكون ﻉ أكبر من صفر.
بناء على ذلك، في الطرف الأيمن، نحصل على واحد على ﺹ ﺩﺹ على ﺩﺱ. وفي الطرف الأيسر، في الحد الأول، إذا كان لدينا ﻉ يساوي ﺱ زائد واحد، وﺩﻉ على ﺩﺱ يساوي واحدًا، فإن ﺩ على ﺩﺱ للوغاريتم الطبيعي لـ ﺱ زائد واحد يساوي واحدًا في واحد على ﺱ زائد واحد. بالمثل، في الحد الثاني، إذا جعلنا ﻉ يساوي اثنين ﺱ أس أربعة ناقص اثنين، فإن ﺩﻉ على ﺩﺱ يساوي ثمانية في ﺱ أس ثلاثة. ومن ثم، تكون المشتقة بالنسبة إلى ﺱ للوغاريتم الطبيعي لاثنين ﺱ أس أربعة ناقص اثنين تساوي ثمانية ﺱ تكعيب في واحد على اثنين ﺱ أس أربعة ناقص اثنين.
بكتابة ذلك بشكل أكثر تنظيمًا، يصبح لدينا واحد على ﺹ ﺩﺹ على ﺩﺱ في الطرف الأيمن يساوي واحدًا على اثنين في واحد على ﺱ زائد واحد ناقص ثمانية ﺱ تكعيب على اثنين ﺱ أس أربعة ناقص اثنين. في الطرف الأيسر، نلاحظ أنه في مقام الحد الثاني لدينا عامل مشترك وهو اثنان، وهو ما يمكننا حذفه مع العامل اثنين في البسط. ويمكننا كذلك توزيع النصف على القوسين. نلاحظ مرة أخرى في الطرف الأيسر أن لدينا في الحد الثاني العامل المشترك اثنين في البسط والمقام. وبهذا يصبح لدينا الآن واحد على ﺹ ﺩﺹ على ﺩﺱ يساوي واحدًا على اثنين ﺱ زائد اثنين ناقص اثنين ﺱ أس ثلاثة على ﺱ أس أربعة ناقص واحد.
الآن بإفراغ بعض المساحة، نلاحظ أن لدينا العامل واحدًا على ﺹ في الطرف الأيمن، وهو ما يعني أننا لم ننته بعد. ولحذف هذا العامل، يمكننا ضرب كلا الطرفين في ﺹ. من ثم في الطرف الأيمن، يحذف ﺹ كل منهما الآخر. بعد ذلك إذا عوضنا مرة أخرى بالدالة ﺹ، يصبح لدينا ﺩﺹ على ﺩﺱ تساوي ما هو موضح. وإذا أعدنا كتابة ذلك على صورة الجذر التربيعي كما هو معطى في السؤال، يصبح لدينا ﺩﺹ على ﺩﺱ، أي مشتقة ﺹ بالنسبة إلى ﺱ، تساوي الجذر التربيعي لـ ﺱ زائد واحد على اثنين ﺱ أس أربعة ناقص اثنين في واحد على اثنين ﺱ زائد اثنين ناقص اثنين ﺱ تكعيب على ﺱ أس أربعة ناقص واحد.