فيديو الدرس: اشتقاق الدوال المثلثية الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيفية اشتقاق الدوال المثلثية؛ وهي: الجيب، وجيب التمام، والظل. سنبدأ بتناول كيفية إيجاد مشتقات دوال الجيب وجيب التمام باستخدام المبادئ الأولى للاشتقاق قبل استخدام قاعدة القسمة لإيجاد مشتقة دالة الظل. بعد ذلك، سنستعرض بعض الأمثلة على تطبيقات هذه المشتقات والأنماط التي تكونها.

في هذه المرحلة، ينبغي أن تكون على دراية تامة بكيفية اشتقاق دوال كثيرات الحدود وتطبيق التعريف الأساسي للمشتقات باستخدام النهايات. تذكر أن هذا معناه أن مشتقة الدالة ﺩ معرفة بأن ﺩ شرطة ﺱ يساوي النهاية عندما يقترب ﻫ من صفر للدالة ﺩﺱ زائد ﻫ ناقص ﺩﺱ الكل على ﻫ، وذلك عند النقاط التي عندها النهاية موجودة. سنستخدم هذا التعريف ليساعدنا على إيجاد مشتقة دالة الجيب. ولكن سنحتاج أيضًا لمعرفة بعض النهايات القياسية. من الممكن اشتقاق هذه النهايات بالفعل، لكن لأغراض تتعلق بهذا الفيديو، سنكتفي باسترجاعها فقط.

نلاحظ أيضًا أنه يجب أن تكون الزوايا مقيسة بالراديان لضمان صحة تلك النهايات. سنستخدم المعلومات التي مفادها أن النهاية عندما يقترب ﻫ من صفر للدالة جا ﻫ على ﻫ تساوي واحدًا، وأن النهاية عندما يقترب ﻫ من صفر للدالة جتا ﻫ ناقص واحد على ﻫ تساوي صفرًا. والآن بعد أن تذكرنا المعلومات المطلوبة لهذه العملية، هيا نطبقها عمليًّا.

أوجد مشتقة الدالة ﺩ ﺱ يساوي جا ﺱ باستخدام التعريف الأساسي للمشتقات باستخدام النهايات.

يخبرنا السؤال أن ﺩﺱ يساوي جا ﺱ. ونعلم أنه للاشتقاق باستخدام التعريف الأساسي للمشتقات باستخدام النهايات، نستخدم صيغة النهاية عندما يقترب ﻫ من صفر للدالة ﺩﺱ زائد ﻫ ناقص ﺩﺱ الكل على ﻫ. وبما أن ﺩﺱ يساوي جا ﺱ، فإن علينا تعريف ﺩﺱ زائد ﻫ. وهو يساوي جا ﺱ زائد ﻫ. ولاشتقاق جا ﺱ باستخدام التعريف الأساسي للمشتقات باستخدام النهايات، سنطبق صيغة النهاية عندما يقترب ﻫ من صفر لـ جا ﺱ زائد ﻫ ناقص جا ﺱ الكل على ﻫ. لاحظ أنه عند هذه النقطة، لا يمكننا إيجاد قيمة أي شيء. لذا سنحتاج إلى أن نجد طريقة لتبسيط التعبير: جا ﺱ زائد ﻫ ناقص جا ﺱ على ﻫ. وهكذا نتذكر صيغة الجيب لمجموع زاويتين.

تنص هذه الصيغة على أن جا ﺃ زائد ﺏ يساوي جا ﺃ في جتا ﺏ زائد جتا ﺃ في جا ﺏ. إذن يمكننا أن نقول إن جا ﺱ زائد ﻫ يساوي جا ﺱ جتا ﻫ زائد جتا ﺱ جا ﻫ. ومن ثم يمكننا تمثيل مشتقة الدالة ﺩﺱ بهذه الصورة. لن يفيدنا ذلك كثيرًا، لكن يمكننا تحليل جا ﺱ. سنحدد الحدين اللذين يحتويان على جا ﺱ. ونجد أن جا ﺱ جتا ﻫ ناقص جا ﺱ يمكن كتابته على الصورة: جا ﺱ في جتا ﻫ ناقص واحد.

هيا نقسم هذه الدالة. سنفصل الكسرين، ونتذكر أن نهاية مجموع دالتين تساوي مجموع نهايتيهما. ثم نلاحظ أن جا ﺱ وجتا ﺱ مستقلان عن ﻫ. وعليه، يمكننا إخراج جا ﺱ وجتا ﺱ من النهاية. ونتذكر بعد ذلك أنه للزوايا المقيسة بالراديان، النهاية عندما يقترب ﻫ من صفر للدالة جا ﻫ على ﻫ تساوي واحدًا. والنهاية عندما يقترب ﻫ من صفر لـ جتا ﻫ ناقص واحد على ﻫ تساوي صفرًا. وبذلك، نجد أنه يمكننا التعويض عن إحدى النهايتين بصفر وعن الأخرى بواحد. جا ﺱفي صفر يساوي صفرًا. إذن يختفي هذا الحد بالكامل. وجتا ﺱ في واحد يساوي جتا ﺱ.

إذن نجد من التعريف الأساسي للمشتقات باستخدام النهايات أن ﺩ شرطة ﺱ تساوي جتا ﺱ. أي إن مشتقة جا ﺱ تساوي جتا ﺱ. يجب حفظ هذه النتيجة عن ظهر قلب. ولكن، من المهم أيضًا أن تتمكن من اتباع خطوات هذه العملية لاشتقاق جا ﺱ من التعريف الأساسي للمشتقات باستخدام النهايات.

دعونا الآن نكرر خطوات هذه العملية مع جتا ﺱ.

إذا كان ﺹ يساوي جتا ﺱ، فأوجد ﺩﺹ على ﺩﺱ باستخدام التعريف الأساسي للمشتقات باستخدام النهايات.

للإجابة على هذا السؤال، يمكننا استخدام تعريف المشتقة. يمكن تعريف مشتقة دالة ما ﺩﺱ ، التي يمكن تسميتها ﺩ شرطة ﺱ، على الصورة: ﺩﺹ على ﺩﺱ يساوي النهاية عندما يقترب ﻫ من صفر للدالة ﺩﺱ زائد ﻫ ناقص ﺩﺱ الكل على ﻫ، وذلك عند النقاط التي عندها النهاية موجودة. وﻫ يساوي 𝛿ﺱ. والآن سنجعل الدالة ﺩﺱ تساوي جتا ﺱ. وهذا يعني أن ﺩﺱ زائد ﻫ يساوي جتا ﺱ زائد ﻫ. إذن، أول سطر من عملية الاشتقاق هو النهاية عندما يقترب ﻫ من صفر للدالة جتا ﺱ زائد ﻫ ناقص جتا ﺱ على ﻫ. وهنا نتذكر المتطابقة المثلثية التي تنص على أن جتا ﺃ زائد ﺏ يساوي جتا ﺃ في جتا ﺏ ناقص جا ﺃ في جا ﺏ. إذن، جتا ﺱ زائد ﻫ يساوي جتا ﺱ جتا ﻫ ناقص جا ﺱ جا ﻫ. وبهذا يمكننا إعادة كتابة النهاية كما هو موضح.

الخطوة التالية هي أخذ جتا ﺱ عاملًا مشتركًا. نلاحظ وجود جتا ﺱ هنا وسالب جتا ﺱ هنا. إذن، يصبح بسط هذا التعبير: جتا ﺱ في جتا ﻫ ناقص واحد ناقص جا ﺱ في جا ﻫ. سنقسم هذه الدالة إلى كسرين ثم نطبق قواعد النهايات. وتنص على أن نهاية مجموع أو فرق دالتين تساوي مجموع أو فرق نهايتيهما. كما نعرف أنه يمكننا، على سبيل المثال، كتابة جتا ﺱ في جتا ﻫ ناقص واحد على ﻫ على الصورة: جتا ﺱ في الكسر جتا ﻫ ناقص واحد على ﻫ. إذن ستبدو النهايتان بهذا الشكل، ولكننا نعرف أن جتا ﺱ وجا ﺱ مستقلتان عن ﻫ.

لذلك، نأخذهما خارج النهايتين. ‏ﺩﺹ على ﺩﺱ يساوي جتا ﺱ في النهاية عندما يقترب ﻫ من الصفر لـ جتا ﻫ ناقص واحد على ﻫ ناقص جا ﺱ في النهاية عندما يقترب ﻫ من صفر لـ جا ﻫ على ﻫ. نطبق بعد ذلك النهايتين التاليتين والمعروفتين أحيانًا بتقريب الزاوية الصغيرة، مع ملاحظة مجددًا أنه لا يمكن استخدامهما إلا للزوايا المقيسة بالراديان. النهاية عندما يقترب ﻫ من صفر لـ جتا ﻫ ناقص واحد على ﻫ تساوي صفرًا. إذن، يصبح الحد الأول صفرًا. ثم سالب جا ﺱ في النهاية عندما يقترب ﻫ من صفر لـ جا ﻫ على واحد يساوي سالب جا ﺱ في واحد، وهو ما يساوي سالب جا ﺱ. نرى إذن أنه عند ﺹ يساوي جتا ﺱ، فإن ﺩﺹ على ﺩﺱ ، وهي المشتقة الأولى لـ ﺹ بالنسبة لـ ﺱ، تساوي سالب جا ﺱ.

إذن، للعدد الحقيقي ﺱ مقيسًا بالراديان، المشتقة الأولى لـ جا ﺱ بالنسبة إلى ﺱ تساوي جتا ﺱ، والمشتقة الأولى لـ جتا ﺱ بالنسبة إلى ﺱ تساوي سالب جا ﺱ. يكون ذلك نمطًا يوضح أن مشتقة جا ﺱ تساوي جتا ﺱ. الاشتقاق مرة أخرى يعطينا سالب جا ﺱ. وعند اشتقاق ذلك، نحصل على سالب جتا ﺱ. وبالاشتقاق مرة أخرى، نعود إلى جا ﺱ. وبما أن التكامل عكس الاشتقاق، يمكننا عكس هذا النمط عند حساب التكامل.

يمكن تعميم صيغتي مشتقة الجيب وجيب التمام على مشتقات جا ﺃﺱ وجتا ﺃﺱ. مشتقة جا ﺃﺱ تساوي ﺃ في جتا ﺃﺱ ومشتقة جتا ﺃﺱ تساوي سالب ﺃ في جا ﺃﺱ. هذه الصيغ العامة صحيحة أيضًا لقيم ﻙ الصحيحة. ولدينا صيغ مشابهة لمشتقة جتا ﺱ.

ماذا عن مشتقة دالة الظل؟ حسنًا، سنستخدم هنا المتطابقة التي تربط بين ظا 𝜃 وجا 𝜃 وجتا 𝜃. كما سنستخدم قاعدة القسمة. هيا نعرف كيف نفعل ذلك.

احسب معدل تغير الدالة ﺩﺱ تساوي ظا خمسة ﺱ عند ﺱ يساوي 𝜋.

تذكر أنه، عند حساب معدل تغير دالة، ما يعنينا هو إيجاد مشتقتها. إذن، علينا اشتقاق ظا خمسة ﺱ ثم إيجاد قيمة المشتقة عند ﺱ يساوي 𝜋. سنبدأ بإعادة كتابة ظا خمسة ﺱ، باستخدام المتطابقة ظا ﺱ يساوي جا ﺱ على جتا ﺱ. إذن، يمكن كتابة ﺩﺱ، أي ظا خمسة ﺱ، على الصورة: جا خمسة ﺱ على جتا خمسة ﺱ. ثم لإيجاد مشتقة هذه الدالة الكسرية، سنسترجع قاعدة القسمة. وتنص على أن المشتقة بالنسبة لـ ﺱ لقسمة دالتين قابلتين للاشتقاق ﻉ على ﻕ تساوي ﻕ في ﺩ ﻉ على ﺩﺱ ناقص ﻉ في ﺩ ﻕ على ﺩﺱ الكل على ﻕ تربيع.

لنستخدم هذه القاعدة، سنجعل ﻉ يساوي جا خمسة ﺱ، أي البسط، ونجعل ﻕ يساوي جتا خمسة ﺱ؛ أي المقام. وعلينا، بالطبع، إيجاد مشتقة هاتين الدالتين بالنسبة لـ ﺱ. ونعلم بالطبع أن مشتقة جا ﺃﺱ تساوي ﺃ في جتا ﺃﺱ. إذن، مشتقة جا خمسة ﺱ لا بد أن تساوي خمسة في جتا خمسة ﺱ. وعند اشتقاق جتا ﺃﺱ بالنسبة لـ ﺱ، نحصل على سالب ﺃ في جا ﺃﺱ. إذن، مشتقة ﻕ بالنسبة لـ ﺱ تساوي سالب خمسة في جا خمسة ﺱ. يمكننا الآن التعويض بكل هذه القيم في صيغة قاعدة القسمة. لدينا ﻕ في ﺩﻉ على ﺩﺱ ناقص ﻉ في ﺩﻕ على ﺩﺱ الكل على ﻕ تربيع.

ولكن نلاحظ أنه يمكننا إعادة كتابة البسط على الصورة: خمسة جتا تربيع خمسة ﺱ زائد خمسة جا تربيع خمسة ﺱ. ثم نأخذ خمسة عاملًا مشتركًا من البسط. وسيساعدنا هذا كثيرًا؛ حيث تصبح لدينا متطابقة مثلثية يمكننا استخدامها. نعرف أن جتا تربيع ﺱ زائد جا تربيع ﺱ يساوي واحدًا. إذن، جتا تربيع خمسة ﺱ زائد جا تربيع خمسة ﺱ لا بد أيضًا أن يساوي واحدًا. وبذلك يصبح لدينا خمسة على جتا تربيع خمسة ﺱ. ولكن توجد متطابقة أخرى يمكننا استخدامها لإعادة كتابة ذلك. وهي: واحد على جتا ﺱ يساوي قا ﺱ، بما أن واحدًا على جتا ﺱ يساوي قا ﺱ فإن واحدًا على جتا تربيع ﺱ سيساوي قا تربيع ﺱ. وعليه، خمسة على جتا تربيع خمسة ﺱ يمكن كتابته على الصورة: خمسة قا تربيع خمسة ﺱ. وهذه هي مشتقة ظا خمسة ﺱ.

تذكر أن المطلوب هو إيجاد قيمة المشتقة عند ﺱ يساوي 𝜋. نعوض إذن بـ ﺩ شرطة 𝜋 يساوي خمسة قا تربيع خمسة 𝜋. لكن قا تربيع خمسة 𝜋 يساوي واحدًا. إذن، يصبح لدينا خمسة. معدل تغير ﺩﺱ يساوي ظا خمسة ﺱ عند ﺱ يساوي 𝜋 هو خمسة.

في الواقع، يمكننا تعميم نتيجة اشتقاق ظا خمسة ﺱ هنا. مشتقة ظا ﺱ بالنسبة لـ ﺱ هي قا تربيع ﺱ. ومشتقة ظا ﺃﺱ للثابت الحقيقي ﺃ بالنسبة لـ ﺱ هي ﺃ قا تربيع ﺃﺱ. والآن، بالطبع عند اشتقاق جا ﺱ وجتا ﺱ ذكرنا أن هذه النتائج صحيحة للقيم المقيسة بالراديان. وبما أننا نستخدم هذه النتائج لاشتقاق ظا خمسة ﺱ، نعلم أن ذلك ينطبق فقط على القيم المقيسة بالراديان أيضًا. وكما هو الحال مع مشتقات الجيب وجيب التمام، من المهم أن نحفظ هذه النتيجة عن ظهر قلب ولكن مع قدرتنا على تطبيق عملية الاشتقاق عند الحاجة.

سنشرح عددًا من الأمثلة لتطبيق هذه المشتقات.

إذا كان ﺹ يساوي ﺱ أس خمسة في جا خمسة ﺱ، فأوجد قيمة ﺩﺹ على ﺩﺱ .

لدينا هنا دالة عبارة عن حاصل ضرب دالتين قابلتين للاشتقاق. إذن يمكننا الاستعانة بقاعدة الضرب لتساعدنا في اشتقاقها. وتنص على أنه إذا كانت ﻉ وﻕ دالتين قابلتين للاشتقاق، فإن مشتقة حاصل ضربهما تساوي ﻉ في ﺩ ﻕ على ﺩﺱ زائد ﻕ في ﺩﻉ على ﺩﺱ . نبدأ بتعريف ﻉ وﻕ. نعرف أن الضرب عملية إبدالية، وهو ما يعني أنه لا يهم الترتيب الذي سنعرفهما به. سنجعل ﻉ يساوي ﺱ أس خمسة، ونجعل ﻕ يساوي جا خمسة ﺱ. إذن، ﺩﻉ على ﺩﺱ ، أو مشتقة ﺱ أس خمسة بالنسبة لـ ﺱ، تساوي خمسة ﺱ أس أربعة.

وبما أننا نعرف كيف نشتق جا ﺃﺱ، سنحصل على ﺃ في جتا ﺃﺱ. مشتقة جا خمسة ﺱ تساوي خمسة في جتا خمسة ﺱ. سنعوض بذلك في الصيغة. ويصبح لدينا ﻉ في ﺩ ﻕ على ﺩﺱ يساوي ﺱ أس خمسة في خمسة جتا خمسة ﺱ زائد ﻕ في ﺩﻉ على ﺩﺱ . وهو ما يساوي جا خمسة ﺱ في خمسة ﺱ أس أربعة. إذن، نجد أن ﺩﺹ على ﺩﺱ يساوي خمسة ﺱ أس خمسة في جتا خمسة ﺱ زائد خمسة ﺱ أس أربعة في جا خمسة ﺱ.

سنتناول مثالًا أخيرًا يشتمل على إجراء بعض العمليات على التعبير المعطى لنا.

إذا كان ﺹ يساوي اثنين جا سبعة ﺱ زائد اثنين جتا سبعة ﺱ تربيع، فأوجد ﺩﺹ على ﺩﺱ .

توجد عدة طرق للإجابة عن هذا السؤال. يمكننا مثلًا استخدام قاعدة السلسلة لأن ﺹ دالة مركبة. يمكننا أيضًا كتابة هذه الدالة كحاصل ضرب دالتين ثم نستخدم قاعدة ضرب دالتين. بدلًا من ذلك يمكننا تبسيط هذا المقدار باستخدام بعض متطابقات الدوال المثلثية. لنبدأ بأخذ اثنين عاملًا مشتركًا خارج القوسين، ولكن تذكر، بالطبع علينا تربيعه. بعد ذلك نوزع الأقواس. ‏جا سبعة ﺱ زائد جتا سبعة ﺱ تربيع يساوي جا سبعة ﺱ زائد جتا سبعة ﺱ في جا سبعة ﺱ زائد جتا سبعة ﺱ. وهو ما يساوي جا تربيع سبعة ﺱ زائد اثنين جا سبعة ﺱ في جتا سبعة ﺱ زائد جتا تربيع سبعة ﺱ. واثنان تربيع يساوي أربعة بالطبع.

بعد ذلك، سنستخدم المتطابقة المثلثية: جا تربيع ﺱ زائد جتا تربيع ﺱ يساوي واحدًا. وسنطبقها على مجموع جا تربيع سبعة ﺱ، وجتا تربيع سبعة ﺱ. وذلك يساوي واحدًا أيضًا. سنعيد كتابة التعبير بين القوسين لنحصل على: واحد زائد اثنين جا سبعة ﺱ في جتا سبعة ﺱ. هل يمكنك تحديد متطابقة أخرى هنا؟ يمكننا استخدام معكوس صيغة ضعف الزاوية للجيب. وهي: جا اثنين ﺃ يساوي اثنين جا ﺃ جتا ﺃ. وسنجعل ﺃ يساوي سبعة ﺱ. يخبرنا ذلك أن اثنين جا سبعة ﺱ في جتا سبعة ﺱ يساوي جا اثنين في سبعة ﺱ، وهو ما يساوي ١٤ﺱ.

يمكننا الآن اشتقاق ذلك بسهولة. سنستخدم حقيقة أن مشتقة جا ﺃﺱ بالنسبة لـ ﺱ تساوي ﺃ جتا ﺃﺱ. نستخدم أيضًا حقيقة أنه يمكننا أخذ الثوابت خارج المشتقة والتركيز على اشتقاق الدالة لـ ﺱ نفسها. إذن ﺩﺹ على ﺩﺱ يساوي أربعة في مشتقة واحد زائد جا ١٤ﺱ. مشتقة واحد بالنسبة لـ ﺱ تساوي صفرًا، إذن مشتقة جا ١٤ﺱ تساوي ١٤ جتا ١٤ﺱ. وفي النهاية نضرب أربعة في ١٤ جتا ١٤ﺱ، وهو ما يساوي ٥٦ جتا ١٤ﺱ. عند ﺹ تساوي الدالة المعطاة، فإن ﺩﺹ على ﺩﺱ يساوي ٥٦ جتا ١٤ﺱ.

في هذا الفيديو، تعلمنا أنه يمكننا تطبيق فهمنا للمشتقات على الدوال المثلثية. كما عرفنا أن مشتقة جا ﺃﺱ بالنسبة لـ ﺱ تساوي ﺃ جتا ﺃﺱ. رأينا أن مشتقة جتا ﺃﺱ تساوي سالب ﺃ جا ﺃﺱ. ومشتقة ظا ﺃﺱ تساوي ﺃ قا تربيع ﺃﺱ. وبسبب طبيعة كيفية استنتاج مشتقات هذه الدوال، رأينا أنه لا يمكن تطبيقها إلا على الزوايا المقيسة بالراديان. ورأينا أيضًا أن مشتقة دالتي الجيب وجيب التمام تكون نمطًا. ويمكننا استخدام هذا النمط لاشتقاق أو حساب تكامل جا ﺱ أو جتا ﺱ عدة مرات.