تم إلغاء تنشيط البوابة. يُرجَى الاتصال بمسؤول البوابة لديك.

فيديو السؤال: إثبات إمكانية اختلاف نهاية دالة عن قيمة الدالة عند نقطة الرياضيات

انظر الشكل المعطى. أوجد ﺩ(٢). أوجد نها (ﺱ ← ٢) ﺩ(ﺱ).

٠٧:٣٣

‏نسخة الفيديو النصية

انظر الشكل المعطى. أوجد ﺩ لاثنين. أوجد نهاية ﺩﺱ عندما يقترب ﺱ من اثنين.

في هذا السؤال، لدينا تمثيل بياني للدالة ﺹ يساوي ﺩﺱ. وعلينا استخدامه لتحديد أمرين. أولًا: علينا إيجاد قيمة ﺩ لاثنين. وأيضًا، علينا إيجاد نهاية ﺩﺱ عندما يقترب ﺱ من اثنين.

دعونا نبدأ باستخدام التمثيل البياني لإيجاد قيمة ﺩ لاثنين. يمكننا فعل ذلك من خلال التمثيل البياني بتذكر أنه عند تمثيل دالة بيانيًّا، فإن قيمة الإحداثي ﺱ لنقطة على المنحنى توضح القيمة المدخلة، في حين توضح قيمة الإحداثي ﺹ المناظرة لها القيمة المخرجة المناظرة. وبما أننا نريد إيجاد قيمة ﺩ لاثنين، فعلينا تحديد القيمة المخرجة للدالة عند إدخال القيمة اثنين. وستكون هذه القيمة هي قيمة الإحداثي ﺹ للنقطة الواقعة على المنحنى عند ﺱ يساوي اثنين. يمكننا إيجاد ذلك بإضافة الخط المستقيم ﺱ يساوي اثنين إلى التمثيل البياني.

عندما نفعل ذلك، يمكننا ملاحظة أمر مثير للاهتمام. يبدو لنا أن هناك إجابتين محتملتين. ومع ذلك، علينا أن ننتبه جيدًا. ينبغي أن نتذكر أنه عند وجود دائرة مفرغة، لا يكون المنحنى معرفًا عند هذه النقطة. إذن، المنحنى غير معرف عند القيم الأقل من هاتين القيمتين؛ لأنه يحتوي على دائرة مفرغة عندها. ومن ثم، توجد نقطة تقاطع واحدة فقط بين الخط المستقيم الرأسي والمنحنى. لذا، علينا إيجاد قيمة الإحداثي ﺹ لهذه النقطة على المنحنى. وهي ثلاثة. هذا يتيح لنا إيجاد قيمة ﺩ لاثنين. إن إحداثيي هذه النقطة هما اثنان، ﺩ لاثنين. وقيمة الإحداثي ﺹ تساوي ثلاثة. إذن، ﺩ لاثنين تساوي ثلاثة.

دعونا نحدد الآن نهاية ﺩﺱ عندما يقترب ﺱ من اثنين. لفعل ذلك، علينا أولًا أن نتذكر المقصود بنهاية ﺩﺱ عندما يقترب ﺱ من اثنين. لعلنا نتذكر أنه إذا اقتربت قيم الدالة ﺩﺱ من قيمة محددة ﻝ عندما تقترب قيم ﺱ من ﺃ من كلتا الجهتين، وليس بالضرورة عندما يكون ﺱ يساوي ﺃ، فإننا نقول إن نهاية الدالة ﺩﺱ عندما يقترب ﺱ من ﺃ تساوي ﻝ. لتسهيل ذلك، يمكننا أن نبدأ بالتعويض عن قيمة ﺃ باثنين؛ لأننا نريد تحديد نهاية ﺩﺱ عندما يقترب ﺱ من اثنين.

هذا يعني أنه علينا تحديد ما يحدث لمخرجات هذه الدالة عندما تقترب قيم ﺱ من اثنين من كلتا الجهتين. ويمكننا فعل ذلك من خلال التمثيل البياني. تذكر أن قيم الإحداثي ﺱ للنقاط على المنحنى هي المدخلات، وقيم الإحداثي ﺹ المناظرة لها هي المخرجات المناظرة للدالة. لذا، يمكننا أن نتحقق مما يحدث لمخرجات الدالة عندما يقترب ﺱ من اثنين من خلال رصد ما يحدث للمنحنى عندما يقترب ﺱ من اثنين في التمثيل البياني.

لكن قبل أن نفعل ذلك، يوجد أمران علينا معرفتهما. علينا معرفة ما يحدث عندما يقترب ﺱ من اثنين من كلتا الجهتين. ولا يعنينا هنا ما يحدث عند ﺱ يساوي اثنين. دعونا نبدأ بقيم ﺱ الأكبر من اثنين. يمكننا فعل ذلك بعدة طرق. على سبيل المثال، يمكننا أن نتحقق مما يحدث عند ﺱ يساوي خمسة. تقع قيمة الإحداثي ﺹ لهذه النقطة في نقطة ما أعلى من واحد مباشرة، ومن ثم فإن قيمة ﺩ عند خمسة أكبر من واحد بقليل. نريد أن نعرف ما يحدث عندما يقترب ﺱ من اثنين، لذا علينا أن نجعل قيمة ﺱ أقرب إلى اثنين، على سبيل المثال، ﺱ يساوي أربعة. قيمة الإحداثي ﺹ لهذه النقطة أكبر قليلًا من القيمة السابقة. علينا أن نستمر في فعل ذلك بهذه الطريقة. نحن نريد أن نعرف ما يحدث لقيم الإحداثي ﺹ عندما تقترب قيم ﺱ من اثنين من جهة اليمين أكثر فأكثر.

يمكننا أن نلاحظ أن قيم الإحداثي ﺹ لهذه النقاط تقترب أكثر فأكثر من اثنين. يمكننا فعل الأمر نفسه من جهة اليسار. علينا أن نعرف ما يحدث لقيم الإحداثي ﺹ للنقاط عندما تقترب قيم ﺱ من اثنين من جهة اليسار أكثر فأكثر. مرة أخرى، يمكننا أن نلاحظ أن هذه القيم تقترب من اثنين. ومن ثم، قيم ﺩﺱ تقترب من اثنين عندما يقترب ﺱ من اثنين من كلتا الجهتين. إذن، قيمة ﻝ هي قيمة الإحداثي ﺹ للنقطة عند الدائرة المفرغة. وهي تساوي اثنين. وبذلك، نكون قد أوضحنا أن نهاية ﺩﺱ عندما يقترب ﺱ من اثنين تساوي اثنين.

من الجدير بالذكر أننا أوضحنا شيئًا مثيرًا للاهتمام. قيمة ﺩ لاثنين تساوي ثلاثة، لكن نهاية ﺩﺱ عندما يقترب ﺱ من اثنين تساوي اثنين. هاتان القيمتان غير متساويتين، وبوجه عام لا يجب أن تكونا متساويتين. يمكننا أن نلاحظ ذلك في التعريف. عندما نحسب نهاية دالة عند قيمة ما ﺃ، لا يعنينا ما يحدث للدالة عند ﺱ يساوي ﺃ. لا يوجد سبب لافتراض أن ﺩﺃ تساوي نهاية ﺩﺱ عندما يقترب ﺱ من ﺃ. وهذا مثال على هذه الحالة. إذن، استطعنا أن نوضح من خلال التمثيل البياني أن قيمة ﺩ لاثنين تساوي ثلاثة، وأن نهاية ﺩﺱ عندما يقترب ﺱ من اثنين تساوي اثنين.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.