فيديو السؤال: إيجاد إحداثيات رأس القطع المكافئ

نسخة الفيديو النصية

يوضح الشكل القطع المكافئ 𝑥 يساوي اثنين 𝑦 تربيع ناقص 16 𝑦 زائد 22 الذي رأسه النقطة 𝑣. ما إحداثيات النقطة 𝑣؟

نلاحظ عادة أن القطع المكافئ يكون مفتوحًا لأعلى وليس جانبيًا مثل هذا. والسبب في هذا أن لدينا 𝑥 يساوي اثنين 𝑦 تربيع ناقص 16 𝑦 زائد 22. فعادة ما يكون لدينا 𝑦 يساوي وليس 𝑥 يساوي. وهو ما يجعل القطع المكافئ مفتوحًا إلى الجانب. إذن فإن هذه المعادلة ليست في الصيغة القياسية المعتادة، وإذا أردنا معرفة إحداثيات الرأس، فعلينا أن نضعها في صيغة رأس المنحنى، ويمكننا فعل هذا باستكمال المربع.

خطوتنا الأولى هي أن نجمع أول حدين معًا. والآن علينا استخراج العامل المشترك الأكبر. عندما نستخرج اثنين كعامل مشترك من اثنين 𝑦 تربيع، فإننا نحصل على واحد 𝑦 تربيع، وعندما نستخرج اثنين كعامل مشترك من سالب 16 𝑦، فإنه يتبقى لدينا سالب ثمانية 𝑦.

لاحظ أننا تركنا مسافة صغيرة هنا. فنحن سنضيف شيئًا ما فيها. سنكتب هنا 𝑏 على اثنين تربيع. في الدالة كثيرة الحدود المعتادة، يكون 𝑏 هو المعامل الواقع أمام 𝑥 أو 𝑦، وليس الحد المربع ولا الثابت. إذن 𝑏 يساوي سالب ثمانية، وسالب ثمانية على اثنين يساوي سالب أربعة. وعند التربيع، يصبح لدينا 16، إذن نضيف 16 هنا.

لا يمكننا إضافة أعداد بهذه السهولة إلى المعادلة؛ إذ علينا الحفاظ على توازنها. فإذا أضفنا 16 هنا، فإنها فعليًا 16 في اثنين، إذن نكون قد أضفنا موجب 32. وللحفاظ على توازن المعادلة، نطرح 32 من الطرف نفسه. وعندما نضيف 32 ثم نطرح 32 في الوقت نفسه، فهذا يعني أننا لم نفعل شيئًا في واقع الأمر، فهذا كله يساوي صفرًا.

والغرض من فعل هذا هو أن الدالة كثيرة الحدود يجب أن تتضمن قيمًا مربعة، إذن ما العدد الذي عند ضربه في نفسه يصبح الناتج 16 وعند جمعه على نفسه يصبح الناتج سالب ثمانية؟ إنه سالب أربعة وسالب أربعة، إذ نحصل بذلك على 𝑦 ناقص أربعة تربيع، ثم 22 ناقص 32 يساوي 10.

وهكذا، فنحن الآن في صيغة رأس المنحنى، ورأس المنحنى هنا هو سالب 10، وأربعة. إذن نتحرك يسارًا 10 خانات ثم إلى أعلى حتى العدد أربعة للوصول إلى رأس المنحنى. عادة ما تمثل سالب 10 في المعادلة التحرك لأعلى ولأسفل، ولكن بما أننا نتحدث هنا عن قيمة 𝑥، فسنتحرك يسارًا ويمينًا، والأمر نفسه مع الأربعة.

في المعادلة العادية، يكون لدينا 𝑦 ناقص العدد، إذن 𝑦 ناقص، ولذا علينا التعويض بموجب أربعة. وعليه، فإن إحداثيات رأس المنحنى هي سالب 10، وأربعة، وهذه الأربعة حركت المنحنى لأعلى ولأسفل. ومرة أخرى، عندما تكون المعادلة 𝑦 يساوي، فإننا نتحرك يسارًا ويمينًا، لكننا في هذه الحالة، نتحرك لأعلى ولأسفل.