فيديو: النموذج التجريبي الثاني • الجبر والهندسة الفراغية • ٢٠١٩ • السؤال الرابع أ

النموذج التجريبي الثاني • الجبر والهندسة الفراغية • ٢٠١٩ • السؤال الرابع أ

٠٨:٣٥

‏نسخة الفيديو النصية

متوازي مستطيلات قاعدته المستطيل و أ ب ج؛ حيث و أ يساوي اتنين سنتيمتر، و ج يساوي أربعة سنتيمتر. ارتفاع متوازي المستطيلات ستة سنتيمتر. إذا كان م مركز متوازي المستطيلات، فأثبت أن جتا الزاوية أ م ج يساوي اتنين على سبعة.

هنرسم دلوقتي متوازي المستطيلات، ونحطّ عليه الأبعاد اللي معطاة عندنا في السؤال، ونكتب المطلوب إثباته.

دلوقتي رسمنا متوازي المستطيلات اللي قاعدته هي المستطيل و أ ب ج؛ حيث و هي نقطة الأصل اللي إحداثياتها: صفر، وصفر، وصفر. وحطّينا الأبعاد اللي معطاة في السؤال. وزيّ ما معطى عندنا في السؤال م هو مركز متوازي المستطيلات؛ يعني نقطة تقاطع أقطاره بالشكل ده. أمّا المطلوب منّنا في السؤال فهو إثبات إن جتا الزاوية أ م ج بيساوي اتنين على سبعة.

هنرسم ضلعَي الزاوية المطلوبة بالشكل ده. وهنفترض إن عندنا متجهين؛ المتجه م أ، والمتجه م ج. بحيث إن المتجهين يكونوا خارجين من نقطة المركز م؛ عشان هنستخدم علاقة حاصل الضرب القياسي لمتجهين في إيجاد الزاوية المحصورة بينهم. وفي الحالة دي بيكون لازم يكون المتجهين إمّا خارجين من نفس النقطة، أو داخلين إلى نفس النقطة.

يبقى دلوقتي محتاجين نوجد المتجهين م أ، وَ م ج. عشان هنستخدم علاقة حاصل الضرب القياسي لمتجهين في إيجاد قياس الزاوية المحصورة بينهم، اللي هي الزاوية أ م ج. وعشان نقدر نوجد المتجهين م أ، وَ م ج؛ يبقى محتاجين الأول نعرف إحداثيات النقاط أ، وَ م، وَ ج.

هنبدأ الأول بإيجاد إحداثيات النقطة أ. عايزين نشوف من هندسة الشكل إزَّاي هنقدر نستنتج إحداثيات النقطة أ.

النقطة أ بتقع على المحور س. ده معناه إن إحداثياتها في اتجاه المحور س هي المسافة اللي بتبعدها عن نقطة الأصل و، واللي بتساوي من الشكل عندنا اتنين سنتيمتر. فيبقى إحداثياتها في اتجاه المحور س بصفر. وبما إنها بتقع على المحور س، فإحداثياتها في اتجاه المحور ص هتكون بصفر. وبالمثل في اتجاه المحور ع هتكون بصفر أيضًا.

دلوقتي بقى عايزين نوجد إحداثيات النقطة ج.

النقطة ج بتقع على المحور ص، وده معناه إن إحداثياتها في اتجاه المحور س هتكون بصفر. وبرضو في اتجاه المحور ع هتكون بصفر. أمّا إحداثياتها في اتجاه المحور ص هيكون هو بُعد النقطة ج عن نقطة الأصل. المسافة دي عبارة عن أربعة سنتيمتر، فيبقى إحداثياتها في اتجاه المحور ص هتكون بتساوي أربعة.

دلوقتي بقى محتاجين نوجد إحداثيات النقطة م.

عشان نقدر نوجد إحداثيات النقطة م، هنستخدم العلاقة إن م هي مركز متوازي المستطيلات. يعني زيّ ما قلنا نقطة تقاطع أقطاره، يعني بتقع في منتصف المسافة بين النقطة أ والنقطة د. يبقى دلوقتي محتاجين نستنتج الأول إحداثيات النقطة د.

هنلاحظ إن النقطة د بتقع في المستوى الإحداثي ص ع. ده معناه إن إحداثياتها في اتجاه المحور س بصفر. أمّا إحداثياتها في اتجاه المحور ص هتكون بتساوي أربعة سنتيمتر. وإحداثياتها في اتجاه المحور ع هتكون ستة سنتيمتر. يعني النقطة د إحداثياتها: صفر، وأربعة، وستة.

دلوقتي بعد ما أوجدنا إحداثيات النقطة د، هنقدر نستنتج إحداثيات النقطة م. وهنقول بما أن النقطة م هي نقطة منتصف القطعة المستقيمة أ د، اللي هي عبارة عن أحد أقطار متوازي المستطيلات …

لو رمزنا لإحداثيات النقطة أ بِـ س واحد، وَ ص واحد، وَع واحد. وإحداثيات النقطة د بِـ س اتنين، وَ ص اتنين، وَ ع اتنين. فإحداثيات نقطة المنتصف بينهم بنقدر نوجدها من العلاقة دي: س واحد زائد س اتنين، على اتنين. وَ ص واحد زائد ص اتنين، على اتنين. وَ ع واحد زائد ع اتنين، على اتنين. يعني هي دي العلاقة اللي من خلالها هنوجد إحداثيات النقطة م.

فباستخدام العلاقة دي هنوجد إحداثيات النقطة م؛ واللي هنلاقي إنها بتساوي واحد، واتنين، وتلاتة.

دلوقتي بقى نقدر نوجد المتجه م أ. المتجه م أ هيساوي متجه الموضع للنقطة أ ناقص متجه الموضع للنقطة م. وهنعوّض عن متجه الموضع للنقطة أ بإحداثيات النقطة أ؛ اللي هي: اتنين، وصفر، وصفر. وعن متجه الموضع للنقطة م بإحداثيات النقطة م؛ اللي هي: واحد، واتنين، وتلاتة. فهنلاقي إن المتجه م أ بيساوي واحد، وسالب اتنين، وسالب تلاتة.

دلوقتي بقى عايزين نوجد المتجه م ج، واللي بيمثّل الضلع التاني للزاوية أ م ج. بنفس الطريقة المتجه م ج بيساوي متجه الموضع للنقطة ج ناقص متجه الموضع للنقطة م. بعد كده هنعوّض بإحداثيات النقطة ج وإحداثيات النقطة م بالشكل ده. فهنلاقي إن المتجه م ج بيساوي سالب واحد، واتنين، وسالب تلاتة.

دلوقتي بعد ما أوجدنا المتجهين م أ، وَ م ج. هنكتب العلاقة اللي بتحسب حاصل الضرب القياسي لمتجهين، واللي هنستخدمها في إيجاد الزاوية أ م ج.

إحنا عارفين إن حاصل الضرب القياسي لأيّ متجهين بيبقى عبارة عن معيار المتجه الأول في معيار المتجه التاني في جتا الزاوية المحصورة بينهما. فيبقى حاصل الضرب القياسي للمتجهين م أ وَ م ج هيساوي معيار المتجه الأول، اللي هو المتجه م أ. في معيار المتجه التاني، اللي هو المتجه م ج. في جتا الزاوية المحصورة بينهم، اللي هي الزاوية أ م ج.

وإحنا محتاجين نوجد جتا الزاوية أ م ج. يبقى هنقسم طرفَي العلاقة اللي عندنا على حاصل ضرب معيار المتجه م أ في معيار المتجه م ج، فهتصبح العلاقة اللي عندنا بالشكل ده. يعني نقدر نستنتج إن جتا الزاوية المحصورة بين أيّ متجهين هتبقى عبارة عن حاصل الضرب القياسي للمتجهين دول، مقسوم على حاصل ضرب معيارهما.

يعني نقدر نقول إن جتا الزاوية أ م ج هتساوي حاصل الضرب القياسي للمتجهين م أ، وَ م ج. على معيار المتجه م أ في معيار المتجه م ج. وفي العلاقة اللي عندنا دي عشان نقدر نوجد جتا الزاوية أ م ج … إحنا معلوم عندنا دلوقتي المتجه م أ، والمتجه م ج؛ ناقص إن إحنا نحسب معيار كلٍّ من المتجهين دول.

دلوقتي هنوجد معيار المتجه م أ، اللي هيساوي الجذر التربيعي لمجموع مربعات مركّباته. يعني الجذر التربيعي لواحد تربيع زائد سالب اتنين تربيع زائد سالب تلاتة تربيع، واللي هنلاقي إنه في النهاية بيساوي الجذر التربيعي لأربعتاشر.

بنفس الطريقة هنوجد معيار المتجه م ج. هيساوي الجذر التربيعي لسالب واحد تربيع زائد اتنين تربيع زائد سالب تلاتة تربيع. فهنلاقي إن معيار المتجه م ج بيساوي الجذر التربيعي لأربعتاشر.

دلوقتي بعد ما أوجدنا معيار المتجه م أ، ومعيار المتجه م ج؛ ما عادش فاضل إن [غير إن]‎ إحنا نوجد جتا الزاوية أ م ج.

بعد التعويض هتصبح العلاقة اللي عندنا بالشكل ده. دلوقتي عايزين نوجد حاصل الضرب القياسي للمتجهين واحد، وسالب اتنين، وسالب تلاتة. وسالب واحد، واتنين، وسالب تلاتة. فهيبقى عندنا واحد في سالب واحد، زائد سالب اتنين في اتنين، زائد سالب تلاتة في سالب تلاتة.

بعد كده هنقسم على الجذر التربيعي لأربعتاشر في الجذر التربيعي لأربعتاشر، اللي هيبقى عبارة عن أربعتاشر.

وبإجراء العمليات الحسابية والتبسيط هنوصل لأن جتا الزاوية أ م ج هيساوي اتنين على سبعة. وبالفعل هو ده المطلوب إثباته؛ إن جتا الزاوية أ م ج بتساوي اتنين على سبعة.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.