فيديو الدرس: تبسيط المقادير المثلثية الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نبسط مقدارًا يحتوي على دوال مثلثية. أولًا، سنتذكر الدوال المثلثية. ثم سنتناول مقلوب الدوال المثلثية. وفيما بعد، سوف سنلقي نظرة على المتطابقات الزوجية والفردية للدوال المثلثية. سوف تساعدنا دوال المقلوب والمتطابقات الزوجية والفردية على تبسيط المقادير المثلثية.

إذا نظرنا إلى هذا المثلث القائم الزاوية الذي به زاوية 𝜃، لدينا طول ضلعه المقابل وطول ضلعه المجاور والوتر. يمكن التعبير عن الدوال المثلثية الثلاثة بدلالة النسبة بين أضلاع المثلث. ‏جا 𝜃 يساوي المقابل على الوتر. وجتا 𝜃 يساوي المجاور على الوتر. وظا 𝜃 يساوي المقابل على المجاور. ولدينا بعد ذلك المتطابقة المثلثية ظا 𝜃 يساوي جا 𝜃 على جتا 𝜃.

عند استخدامنا للدوال المثلثية في المثلثات القائمة الزاوية، فإننا نتعامل دائمًا مع زوايا حادة بالنسبة إلى 𝜃. يمكننا كذلك تناول الدوال المثلثية لقيم 𝜃 المعرفة على دائرة الوحدة. لأي نقطة معطاة ﺱ، ﺹ تقع على دائرة الوحدة وللزاوية 𝜃، تكون دالة الجيب معرفة على الصورة ﺹ يساوي جا 𝜃، ودالة جيب التمام معرفة على الصورة ﺱ يساوي جتا 𝜃.

إحدى الأدوات التي نستخدمها لتبسيط المقادير المثلثية هي مقلوب الدوال المثلثية. تذكروا أن المقلوب هو ما نضربه في قيمة ما لنحصل على ناتج يساوي واحدًا. فمقلوب أي رقم يساوي ببساطة واحدًا على ذلك الرقم. ونرى هنا أن مقلوب جا 𝜃 يساوي واحدًا على جا 𝜃. وتسمى هذه القيمة بقاطع التمام. ومن ثم، فإن قا 𝜃 يساوي واحدًا على جتا 𝜃. وقا 𝜃 هو مقلوب جتا 𝜃. وظتا 𝜃 يساوي واحدًا على ظا 𝜃. من خلال تعريف ظل الزاوية، يمكننا إعادة كتابة ذلك على الصورة جتا 𝜃 على جا 𝜃، مما يجعل ظتا 𝜃 مقلوب ظا 𝜃.

والآن، بعد أن عرفنا دوال المقلوب هذه، تجدر الإشارة إلى أنه حينما نتعامل مع مقادير مثلثية، تتمثل الخطوة الأولى عادة في أخذ كافة دوال المقلوب وإعادة كتابتها بدلالة الجيب وجيب التمام. دعونا نر كيف يمكن القيام بذلك.

أوجد قيمة ثمانية على جا 𝜃 في سالب خمسة على قتا 𝜃.

في هذا المقدار، لدينا دالة مثلثية ومقلوب دالة مثلثية. إحدى طرق إيجاد قيمة مقدار مثلثي هي كتابته بدلالة دالتي الجيب وجيب التمام. أول حد في هذا المقدار مكتوب بالفعل بدلالة الجيب وجيب التمام. ولإعادة كتابة قتا 𝜃 بدلالة الجيب أو جيب التمام، نتذكر أن قتا 𝜃 هو مقلوب جا 𝜃، وأن قتا 𝜃 يساوي واحدًا على جا 𝜃.

ومن ثم، ففي مقام الحد الثاني نعوض عن قتا 𝜃 بواحد على جا 𝜃. إذا فكرنا في سالب خمسة على واحد مقسومًا على جا 𝜃، هذا يساوي سالب خمسة مقسومًا على واحد على جا 𝜃. والقسمة على أي كسر هي نفسها الضرب في مقلوب هذا الكسر. ومن ثم، يمكننا إعادة كتابة سالب خمسة على واحد على جا 𝜃 على الصورة سالب خمسة في جا 𝜃. في هذه الحالة، يصبح لدينا جا 𝜃 في المقام وجا 𝜃 في البسط، فيحذفان، ويتبقى لدينا ثمانية في سالب خمسة، وهذا يساوي سالب ٤٠.

في المثال التالي، سوف نبسط مقدارًا مثلثيًّا من دون إيجاد قيمة لذلك المقدار.

بسط جتا 𝜃 قتا 𝜃 جا 𝜃.

في هذا المقدار، لدينا دالتان مثلثيتان ومقلوب دالة مثلثية. إحدى طرق تبسيط مقدار مثلثي هي إعادة كتابته بدلالة دالتي الجيب وجيب التمام. هذا يعني أخذ أي دوال مقلوب وإعادة كتابتها بدلالة الجيب وجيب التمام. تذكر أن قتا 𝜃 هو دالة المقلوب لدالة الجيب، أي أنه يساوي واحدًا على جا 𝜃. في المقدار الذي لدينا، يعني هذا أنه بإمكاننا التعويض بواحد على جا 𝜃 عن قتا 𝜃. نعرف أن واحدًا على جا 𝜃 في جا 𝜃 يساوي واحدًا، وجتا 𝜃 في واحد يساوي جتا 𝜃.

دعونا نتناول مثالًا آخر على تبسيط مقادير مثلثية تحتوي على دوال المقلوب.

بسط ظا 𝜃 جا 𝜃 على قا 𝜃.

في هذا المقدار، لدينا دالتان مثلثيتان ومقلوب دالة مثلثية. إحدى الطرق المناسبة لتبسيط مقدار مثلثي هي إعادة كتابته بدلالة دالتي الجيب وجيب التمام. في هذه الحالة، علينا إعادة كتابة ظا 𝜃 بدلالة الجيب وجيب التمام، وقا 𝜃 بدلالة الجيب وجيب التمام.

نتذكر أن ظا 𝜃 يساوي جا 𝜃 على جتا 𝜃، وأن قا 𝜃 يساوي واحدًا على جتا 𝜃. في الخطوة الأولى، كتبت هذا المقدار، ظا 𝜃 جا 𝜃 مقسومًا على قا 𝜃، بتبديل شرطة الكسر برمز القسمة. في الخطوة التالية، سنعوض بواحد على جتا 𝜃 عن قا 𝜃، وسنعوض بـ جا 𝜃 على جتا 𝜃 عن الظل. هذا يعني أن لدينا الآن جا 𝜃 على جتا 𝜃 في جا 𝜃 مقسومًا على واحد على جتا 𝜃. وبعد ذلك، فإننا نعلم أن القسمة على أي كسر هي الضرب في مقلوبه، مما يجعل المقدار الجديد هو جا 𝜃 على جتا 𝜃 في جا 𝜃 في جتا 𝜃.

إذا أعدنا كتابة جا 𝜃 على جتا 𝜃 على الصورة جا 𝜃 في واحد على جتا 𝜃، يصبح لدينا جيب تمام في المقام وجيب تمام في البسط. حينما نضرب كليهما في الآخر فإن الناتج يساوي واحدًا. عند هذه المرحلة، يتبقى لدينا جا 𝜃 في جا 𝜃، وهذا يساوي جا تربيع 𝜃.

والآن، دعونا نتناول خاصية أخرى للدوال المثلثية ومقلوب الدوال المثلثية. أي دالة زوجية تحقق المعادلة ﺩ سالب 𝜃 يساوي ﺩ𝜃. وأي دالة فردية تحقق المعادلة ﺩ سالب 𝜃 يساوي سالب ﺩ𝜃. حينما يتعلق الأمر بالدوال المثلثية، فإن دالة جيب التمام زوجية، ودالة الجيب فردية. يمكننا رؤية ذلك في التمثيل البياني لدالة جيب التمام، حيث جتا سالب ١٨٠ درجة يساوي سالب واحد، وجتا موجب ١٨٠ درجة يساوي كذلك سالب واحد. وبالتمثيل البياني لدالة الجيب، نرى أن جا سالب ٩٠ درجة يساوي سالب واحد، وجا ٩٠ درجة يساوي واحدًا.

نلاحظ أنه في دالة الجيب، جا ٩٠ درجة وجا سالب ٩٠ درجة كل منهما معكوس جمعي للآخر. يمكننا كذلك تحديد الدوال الزوجية والدوال الفردية من الدوال المثلثية الأخرى التي تكون معرفة بدلالة الجيب وجيب التمام. على سبيل المثال، فإن ظا سالب 𝜃 يساوي جا سالب 𝜃 على جتا سالب 𝜃. وجا سالب 𝜃 يساوي سالب جا 𝜃. وجتا سالب 𝜃 يساوي جتا 𝜃. بإخراج الإشارة السالبة، يصبح لدينا جا 𝜃 على جتا 𝜃، وهذا يساوي ظا 𝜃. هذا يعني أن ظا سالب 𝜃 يساوي سالب ظا 𝜃. وهذا يجعل دالة الظل فردية.

ومن ثم، لأي قيمة من قيم 𝜃 في مجالي دالتي جيب التمام وقاطع التمام، تكون الدالتان زوجيتين. ولأي قيمة من قيم 𝜃 في مجالات دوال الجيب والظل وقاطع التمام وظل التمام، تكون تلك الدوال فردية. يسمى ذلك بالدوال الزوجية والفردية من الدوال المثلثية. دعونا نر كيف يمكننا استخدام الدوال الزوجية والفردية.

بسط ظا سالب 𝜃 في قتا 𝜃.

في هذا المقدار، لدينا دالة مثلثية لسالب 𝜃 ودالة مقلوب. إحدى طرق حل المقادير المثلثية هي إعادة كتابة المقدار بدلالة الجيب وجيب التمام. نتذكر أن قتا 𝜃 يساوي واحدًا على جا 𝜃. ومن ثم، يمكننا إعادة كتابة قتا 𝜃 على الصورة واحد على جا 𝜃. علاوة على ذلك، نتذكر كون دالة الظل دالة زوجية أم فردية، وهي أن دالة الظل دالة فردية. ‏ظا سالب 𝜃 يساوي سالب ظا 𝜃. نعلم أن ظا 𝜃 يساوي الجيب على جيب التمام. ومن ثم، فإن سالب ظا 𝜃 سوف يساوي سالب جا 𝜃 على جتا 𝜃.

المقدار الجديد لدينا هو سالب جا 𝜃 على جتا 𝜃 في واحد على جا 𝜃. تحذف دالتا الجيب الموجودتان في البسط والمقام. وأصبح لدينا سالب واحد على جتا 𝜃. ونعرف أن قا 𝜃 يساوي واحدًا على جتا 𝜃، مما يبسط هذا المقدار إلى سالب قا 𝜃.

لنتناول الآن مجموعة ثالثة من المتطابقات التي تساعدنا على تبسيط المقادير المثلثية. يمكننا استخدام التمثيلين البيانيين لدالتي الجيب وجيب التمام لاستكشاف هذه المتطابقة. إذا نظرنا إلى التمثيل البياني حيث يكون جا 𝜃 يساوي واحدًا، فأحد المواضع التي يحدث فيها ذلك عند ٩٠ درجة. إذا نظرنا إلى المواضع التي يكون فيها جتا 𝜃 يساوي واحدًا، نرى أن هذا يحدث عند صفر درجة. يوضح ذلك أن دالة الجيب تكافئ دالة جيب التمام بالانتقال بمقدار ٩٠ درجة إلى اليسار. ومن ثم، يمكننا القول إن جا ٩٠ درجة زائد 𝜃 يساوي جتا 𝜃. علاوة على ذلك، فإن جا ٩٠ درجة ناقص 𝜃 سوف يساوي جتا 𝜃.

في هذا المثال، يعني ذلك أن جا ٩٠ درجة زائد صفر درجة يساوي جتا صفر درجة. ناتج كلا هاتين القيمتين يساوي واحدًا. يمكننا كتابة هاتين المتطابقتين على الصورة جا ٩٠ درجة زائد أو ناقص 𝜃 يساوي جتا 𝜃. بالنسبة إلى جيب التمام، فإن جتا ٩٠ درجة زائد 𝜃 سوف يساوي سالب جا 𝜃. و جتا ٩٠ درجة ناقص 𝜃 سوف يساوي موجب جا 𝜃. و ظا ٩٠ درجة زائد أو ناقص 𝜃 يساوي سالب أو موجب ظتا 𝜃. وبالطبع كل ذلك صحيح إذا كنا نتعامل بالراديان. نعوض ببساطة عن ٩٠ درجة بـ ‏𝜋‏ على اثنين.

وبالمثل، نحصل على قيم دوال المقلوب الثلاث. ‏ظتا ٩٠ درجة زائد أو ناقص 𝜃 يساوي سالب أو موجب ظا 𝜃. و قا ٩٠ درجة زائد أو ناقص 𝜃 يساوي سالب أو موجب قتا 𝜃. و قتا ٩٠ درجة زائد أو ناقص 𝜃 يساوي قا 𝜃.

في المثال التالي لدينا، سوف نستخدم متطابقات الزوايا المنتسبة بالإضافة إلى معرفة كون الدوال المثلثية زوجية أم فردية لتبسيط أحد المقادير.

بسط جا ‏𝜋‏ على اثنين زائد 𝜃 في قا سالب 𝜃.

لتبسيط هذا المقدار، نتذكر أن قا سالب 𝜃 يساوي قا 𝜃. علاوة على ذلك، فإن جا ‏𝜋‏ على اثنين زائد أو ناقص 𝜃 يساوي جتا 𝜃، بناء على متطابقة الزوايا المنتسبة. والآن، لدينا جتا 𝜃 في قا 𝜃. وأخيرًا، نتذكر أن دالة القاطع هي مقلوب جيب التمام. بالتعويض عن قا 𝜃 بواحد على جتا 𝜃، يصبح لدينا جتا 𝜃 في واحد على جتا 𝜃، وهذا يساوي واحدًا.

لقد استعرضنا بالفعل بعض متطابقات الزوايا المنتسبة التي تتعامل مع إزاحة مقدارها ٩٠ درجة. مع تكرار استخدام المتطابقات التي استخدمناها سابقًا في هذا الفيديو أو استخدام دائرة الوحدة، يمكننا تحديد متطابقات الزوايا المنتسبة هذه، وهي جا ١٨٠ درجة زائد أو ناقص 𝜃 يساوي سالب أو موجب جا 𝜃. ‏جتا ١٨٠ درجة زائد أو ناقص 𝜃 يساوي سالب جتا 𝜃. ‏ظا ١٨٠ درجة زائد أو ناقص 𝜃 يساوي موجب أو سالب ظا 𝜃. وبالطبع، إذا كنا نتعامل مع دائرة الوحدة، فسوف تكون هذه القيمة ‏𝜋‏ راديان. ويمكننا استخدام ذلك لإيجاد قيم دوال المقلوب كذلك.

دعونا نتناول مثالًا آخر على تبسيط مقدار.

بسط قا ‏𝜋‏ على اثنين ناقص 𝜃 مقسومًا على ظتا ‏𝜋‏ ناقص 𝜃.

في هذا المقدار، لدينا دالة مقلوب مقسومة على دالة مقلوب. بالإضافة إلى ذلك، لدينا متطابقة لزاويتين متتامتين ومتطابقة لزاويتين منتسبتين. الأولى، قا ‏𝜋‏ على اثنين ناقص 𝜃 يساوي قتا 𝜃. والثانية، ظتا ‏𝜋‏ ناقص 𝜃 يساوي سالب ظتا 𝜃. نعيد كتابة قا ‏𝜋‏ على اثنين ناقص 𝜃 على الصورة قتا 𝜃. وظتا ‏𝜋‏ ناقص 𝜃 يصبح سالب ظل التمام. وبعد ذلك نتذكر أن دالتي المقلوب لدينا قتا 𝜃 يساوي واحدًا على جا 𝜃، وظتا 𝜃 يساوي جتا 𝜃 على جا 𝜃.

سنستخدم طريقة لأخذ كلتا دالتي المقلوب وكتابتهما بدلالة الجيب وجيب التمام، فيصبح لدينا واحد على جا 𝜃 مقسومًا على سالب جتا 𝜃 على جا 𝜃. القسمة على كسر هي الضرب في مقلوبه. توجد دالة جيب في المقام ودالة جيب في البسط، فتحذف كلتاهما، وهذا يساوي سالب واحد على جتا 𝜃، ما يعني أن علينا استخدام متطابقة أخيرة، وهي قا 𝜃 يساوي واحدًا على جتا 𝜃، مما يعطينا الصورة المبسطة سالب قا 𝜃.

لقد تناولنا متطابقات لإزاحة مقدارها ٩٠ درجة وإزاحة مقدارها ١٨٠ درجة للزاوية التي لدينا. والآن، دعونا نتناول الإزاحتين اللتين مقداراهما ٢٧٠ درجة و٣٦٠ درجة. متطابقات الزوايا المنتسبة للإزاحة ٢٧٠ درجة هي كما يلي. تتيح لنا دائرة الوحدة تحديد متطابقات الزوايا المنتسبة للجيب وجيب التمام. لننظر إلى المثلث القائم الزاوية المرسوم عند الزاوية 𝜃. سنفترض أن الضلع المرسوم بالخط الأخضر هنا ﺃ، وأن الضلع المرسوم بالخط الأزرق ﺏ. ونعلم أن الوتر يساوي واحدًا، حيث إن هذه هي دائرة الوحدة. في هذه الحالة، جتا 𝜃 يساوي ﺃ وجا 𝜃 يساوي ﺏ.

الآن، إذا نظرنا إلى الزاوية الناتجة عن ثلاثة ‏𝜋‏ على اثنين ناقص 𝜃، فلها زاوية مرجعية مع المحور ﺱ، وهي موضحة هنا باللون الوردي. بتدوين أطوال المثلث القائم الزاوية الذي يحتوي على الزاوية المرجعية ﺃ، ﺏ، واحد ثم بالنظر إلى مخطط الإشارات للدوال المثلثية، نعلم أن دالة الجيب بالنسبة إلى نقطة في الربع الثالث ستكون سالبة، ما يعني أن جا ٢٧٠ درجة ناقص 𝜃 يساوي سالب ﺃ. وهذا يؤكد المتطابقات التي سردناها.

كما ترون، يمكنكم استخدام دائرة الوحدة لتحديد جميع متطابقات الزوايا المنتسبة في حالة عدم تذكركم إياها: ‏𝜋‏ على اثنين و‏𝜋‏ وثلاثة ‏𝜋‏ على اثنين، وكذلك متطابقات اثنين ‏𝜋‏ كما سنعرضه فيما يلي. هذه قائمة بمتطابقات الزوايا المنتسبة لإزاحة مقدارها ٢٧٠ درجة وإزاحة مقدارها ٣٦٠ درجة. مرة أخرى، تمثل هذه القيمة ثلاثة ‏𝜋‏ على اثنين، إذا كنتم تتعاملون بالراديان، أو اثنين ‏𝜋‏ على الترتيب.

في المثال الأخير، سوف نستخدم متطابقات الزوايا المنتسبة هذه لتبسيط مقدار مثلثي.

بسط قا 𝜃 ظا 𝜃 ظا ٢٧٠ درجة زائد 𝜃.

لتبسيط هذا المقدار، دعونا أولًا نبسط ظا ٢٧٠ درجة زائد 𝜃 باستخدام متطابقات الزوايا المنتسبة. نتذكر أن ظا ٢٧٠ درجة زائد 𝜃 يساوي سالب ظتا 𝜃. يمكننا التعويض عن ظا ٢٧٠ درجة بسالب ظتا 𝜃. يمكننا ملاحظة أن كلتا دالتي الظل وظل التمام مقلوب للأخرى. أي أن ظتا 𝜃 يساوي واحدًا على ظا 𝜃. وحينما نضرب هاتين القيمتين ببعضهما، نحصل على سالب واحد. إذن، لدينا سالب واحد في قا 𝜃، ما يعني أن الصورة المبسطة لهذا المقدار هي سالب قا 𝜃.

دعونا نختتم بمراجعة النقاط الرئيسية. يمكننا التعبير عن دالتي الظل ودوال المقلوب بدلالة الجيب وجيب التمام، واستخدامهما لتبسيط المقادير المثلثية. هذه الدوال إما أن تكون زوجية أو فردية. ‏جتا سالب 𝜃 يساوي جتا 𝜃، فهي دالة زوجية. وجا سالب 𝜃 يساوي سالب جا 𝜃، فهي دالة فردية. يمكن استنتاج الدوال الأخرى من تعريف دالتي الجيب وجيب التمام للدوال الزوجية والفردية. تتيح لنا دائرة الوحدة تحديد متطابقات الزوايا المنتسبة للجيب وجيب التمام. وختامًا، فإننا نحتاج عادة لاستخدام أكثر من متطابقة أو حتى أكثر من نوع من المتطابقات لتبسيط أحد المقادير المثلثية.