فيديو: صيغة أويلر

يوضح الفيديو ما صيغة أويلر، وتطبيقاتها في الأعداد المركبة والدوال اللوغاريتمية.

٠٨:٣٤

‏نسخة الفيديو النصية

في الفيديو ده هنتكلّم عن صيغة أويلر.

قبل كده إحنا كنا عرّفنا متسلسلة القوة بتاعة الدالة الأسية هـ أس س. وكانت عبارة عن هـ أس س تساوي واحد، زائد س، زائد س تربيع على مضروب اتنين، زائد س أس تلاتة على مضروب تلاتة، زائد س أُس أربعة على مضروب أربعة … وهكذا. فلو حطّينا في المعادلة اللي فاتت إن س تساوي ت في 𝜃؛ حيث ت هو العدد التخيلي. هيطلع لنا إن هـ أس ت وَ 𝜃 تساوي واحد، زائد ت 𝜃، زائد ت 𝜃 الكل تربيع على مضروب اتنين، زائد ت 𝜃 الكل أُس تلاتة على مضروب تلاتة، زائد ت 𝜃 أُس أربعة على مضروب أربعة … وهكذا.

طيب من خصائص العدد التخيُّلي ت إن ت تربيع بتساوي سالب واحد، وَ ت أس تلاتة بتساوي سالب ت، وَ ت أس أربعة بتساوي واحد. فلو عوّضنا بخصائص العدد التخيلي ت في المعادلة بتاعتنا، هيطلع لنا إن هـ أس ت 𝜃 يساوي واحد، زائد ت 𝜃، زائد … تربيع تبقى سالب واحد، يبقى سالب 𝜃 تربيع على مضروب اتنين، زائد ت أس تلاتة … يبقى سالب ت، يبقى هنا في سالب ت مضروبة في 𝜃 أس تلاتة على مضروب تلاتة، زائد … ت أس أربعة بتساوي واحد، فيتفضل هنا 𝜃 أُس أربعة على مضروب أربعة … وهكذا.

دلوقتي هنجمّع الحدود الحقيقية مع بعضها والحدود التخيلية مع بعضها. فيبقى هـ أس ت 𝜃 تساوي … أولًا لو الحدود الحقيقية عندنا واحد ناقص 𝜃 تربيع، على مضروب اتنين زائد 𝜃 أُس أربعة، على مضروب أربعة … وهكذا. كده ده الجزء الحقيقي.

الجزء التخيلي ممكن ناخد منه ت عامل مشترك. فيبقى زائد ت مضروبة في 𝜃 ناقص 𝜃 أُس تلاتة على مضروب تلاتة، وهكذا. طيب من المتسلسلات المثلثية. المتسلسلة اللي في القوس اللي هي بتعبر عن الجزء الحقيقي، هي عبارة عن الدالة جتا 𝜃. فيبقى هنا يساوي جتا 𝜃. أما الجزء اللي مضروب في ت الجزء التخيلي، فهو عبارة عن متسلسلة القوى بتاعة الدالة جا. فيبقى زائد ت مضروبة في جا 𝜃. والصيغة دي ليها تطبيقات كتير مع الأعداد المركبة، زي ما هنشوف في الصفحة اللي جايّة.

في الأعداد المركبة، كنا نقدر نقول إن أي عدد مركب ع يساوي أ زائد ت مضروبة في ب. كنا نقدر نكتبه في صورة مقياس العدد ع مضروب في جتا 𝜃 زائد ت جا 𝜃. طيب من صيغة أويلر اللي إحنا لسّه مستنتجينها. المقدار ده جتا 𝜃 زائد ت جا 𝜃 هو عبارة عن هـ أس ت 𝜃. فيبقى العدد المركب ع يساوي مقياس العدد ع مضروب في هـ أس ت 𝜃. حيث مقياس العدد ع هو عبارة عن الجذر التربيعي لِـ أ تربيع زائد ب تربيع. وسعة العدد ع اللي هي 𝜃، تساوي الدالة العكسية لـ قا اللي هي ب مقسومة على أ.

طيب الصورة دي لتمثيل العدد المركب، بنسميها الصورة الأسية. طيب ناخد مثال على اللي استنتجناه لحدّ دلوقتي.

المثال بيقول: اكتب العدد سالب الجذر التربيعي لتلاتة زائد ت في الصورة الأسية.

طيب زي ما إحنا لسّه قايلين أي عدد مركب في صورة أ زائد ت مضروبة في ب، نقدر نكتبه في الصورة الأُسية اللي هي مقياس العدد ع مضروبة في هـ أس ت 𝜃. فيبقى إحنا كده محتاجين نحسب مقياس العدد المركب ع، وَ 𝜃. طيب مقياس العدد المركب ع يساوي الجذر التربيعي لِـ أ تربيع زائد ب تربيع. هنا عندنا أ تساوي سالب الجذر التربيعي لتلاتة. وَ ب هو الرقم المضروب في ت يعني واحد. فيبقى مقياس العدد ع يساوي الجذر التربيعي لسالب الجذر التربيعي لتلاتة. كل ده تربيع. زائد واحد تربيع. يساوي اتنين. وَ 𝜃 هي سعة العدد المركب، اللي هي بتساوي الدالة العكسية لـ قا لِـ ب مقسومة على أ. هنا ب تساوي واحد. وَ أ تساوي سالب الجذر التربيعي لتلاتة.

طيب هنا عندنا الإحداث الصادي موجب والإحداث السيني سالب. يبقى الزاوية 𝜃 بتقع في الربع التاني. وبتساوي خمسة 𝜃 على ستة. يبقى إذن سالب الجذر التربيعي لتلاتة زائد ت تساوي اتنين مضروبة في هـ أس ت مضروبة في خمسة 𝜋 على ستة.

في الصفحة اللي جايّة هنطبق صيغة أويلر على الدالة اللوغاريتمية ذات الأساس الطبيعي هـ. قبل كده ما كانش هينفع نحسب الدالة اللوغاريتمية ذات الأساس الطبيعي هـ لأي عدد سالب. لكن زي ما هنشوف دلوقتي لو عملنا كده هيطلع لنا عدد مركب. طب صيغة أويلر بتقول إن هـ أس ت 𝜃 تساوي جتا 𝜃 زائد ت جا 𝜃. لو عوّضنا عن 𝜃 تساوي 𝜋، هيطلع لنا إن هـ أس ت 𝜋، تساوي جتا 𝜋 زائد ت جا 𝜋. طيب جتا 𝜋 تساوي سالب واحد زائد ت مضروبة في جا 𝜋 يساوي صفر. يبقى إذن هـ أس ت 𝜋 تساوي سالب واحد.

طيب لو أخدنا اللوغاريتم ذو الأساس الطبيعي للطرفين، هيبقى لوغاريتم هـ أس ت 𝜋 للأساس هـ، يساوي لوغاريتم سالب واحد للأساس هـ.

طيب الطرف الأيمن من المعادلة دي بيساوي ت 𝜋 يبقى إذن نقدر نقول لوغاريتم سالب واحد للأساس هـ، يساوي ت مضروبة في 𝜋. وهنا فعلًا طلع لنا إننا لمّا ناخد لوغاريتم لعدد سالب، الناتج بيكون عدد مركّب. ومن هنا ممكن نستنتج قاعدة عامة. لو عايزين نجيب لوغاريتم لعدد سالب. فلو عايزين نجيب لوغاريتم سالب ك للأساس هـ، يساوي … سالب ك دي عبارة عن عن سالب واحد مضروبة في ك. يعني لوغاريتم سالب واحد، مضروبة في ك، للأساس الطبيعي هـ، يساوي … من خصائص الدالة اللوغاريتمية نقدر نفصل دول اللوغاريتمين مجموعين على بعض. فيبقى لوغاريتم سالب واحد للأساس الطبيعي هـ، زائد لوغاريتم ك للأساس الطبيعي هـ.

طيب لوغاريتم سالب واحد للأساس الطبيعي هـ بتساوي ت 𝜋 زي ما إحنا لسّه مستنتجين. يبقى إذن القاعدة العامة اللي نقدر نستنتجها هنا إن لوغاريتم سالب ك للأساس الطبيعي هـ، تساوي لوغاريتم ك للأساس الطبيعي هـ زائد ت مضروبة في 𝜋. ويبقى دي الصيغة العامة اللي نقدر نستنتجها عشان نحسب لوغاريتم لعدد سالب.

كده في الفيديو ده إحنا اتكلمنا عن صيغة أويلر. واستخدمناها عشان نستنتج الصورة الأُسية للأعداد المركبة. وكمان طبّقناها على الدوال اللوغاريتمية.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.