فيديو: المعكوس الضربي للمصفوفات

سوزان فائق

يوضح الفيديو تعريف مصفوفة الوحدة، والمعكوس الضربي للمصفوفة، وكيفية تحديد إذا كانت المصفوفة معكوسًا ضربيًّا لأخرى أم لا، وخطوات إيجاد المعكوس الضربي للمصفوفة.

١٠:٣٥

‏نسخة الفيديو النصية

في الفيديو ده، هنتكلّم على المعكوس الضربي للمصفوفات.

يعني إيه المعكوس الضربي للمصفوفات؟ وإزّاي هنعرف نجيب المعكوس الضربي؟ أيّ عددين حقيقيين حاصل ضربهم بيساوي واحد بيبقى كل عدد معكوس ضربي للآخر. الكلام ده في المصفوفات، لو حاصل ضربهم بيساوي مصفوفة اسمها مصفوفة الوحدة. هنتكلّم عنها. بيبقى كل مصفوفة معكوس ضربي للمصفوفة التانية. طيب يعني إيه مصفوفة الوحدة؟ هي مصفوفة يُرمَز لها بالرمز I. وبتبقى مصفوفة مربعة، جميع عناصر القطر الرئيسي بيساوي واحد. القطر الرئيسي اللي هو القطر ده. وباقي العناصر بتبقى أصفار. لو كانت من الرتبة التانية بتبقى بالشكل ده. ولو كانت من الرتبة التالتة، اللي هي تلاتة في تلاتة، بتبقى بالشكل ده. مصفوفة الوحدة بتنتج عن ضرب المصفوفة في معكوسها.

طيب. يبقى لو كان عندنا حاصل ضرب مصفوفتين مربعتين من نفس النظم يساوي مصفوفة الوحدة، يبقى كل من المصفوفتين معكوس ضربي للآخر. يعني لو كان عندنا مصفوفة أ، ومعكوسها الضربي بنرمز له بالرمز أ سالب واحد، اللي هو المعكوس الضربي للمصفوفة أ. بيكون أ مضروبة في الـ أ، اللي هو المعكوس الضربي لها، تساوي المعكوس الضربي لها في نفس المصفوفة أ. كل الكلام ده هيساوي مصفوفة الوحدة I. وكمان لو ضربنا الـ I في الـ أ، هتساوي الـ أ في الـ I، هتساوي الـ أ. يبقى عرفنا إن المعكوس الضربي للمصفوفة لو كان حاصل ضرب أيّ مصفوفتين مربعتين بيساوي مصفوفة عناصر قطرها الرئيسي بيساوي واحد، والباقي أصفار، بنسمّيها مصفوفة الوحدة. وده بيؤدّي إلى إن كل مصفوفة معكوس ضربي للأخرى.

نقلب الصفحة، ونشوف إزّاي نعرف إذا كان المصفوفة معكوس ضربي لمصفوفة تانية ولّا لأ. في المثال: حدّد ما إذا كانت هذه المصفوفات معكوس ضربي للأخرى. أول مجموعة من المصفوفات أ تساوي سالب أربعة واتنين، وسالب اتنين وواحد. وَ ب تساوي ربع وسالب نصّ، ونصّ وسالب واحد.

علشان نعرف إذا كانت المصفوفة معكوس ضربي للأخرى ولّا لأة، فبنضربهم؛ أ في ب، وكمان ب في أ. لأن المصفوفات الضرب فيها مش إبدالي. ولو طلع أ في ب وَ ب في أ الاتنين بيدّوا مصفوفة الوحدة، يبقى كل مصفوفة معكوس ضربي للأخرى.

هنضرب الأول أ في ب، هتساوي … هنضرب عناصر العمود الأول في الصفّ الأول. يبقى سالب أربعة في ربع، زائد سالب اتنين في سالب نصّ. ده هيدّينا العنصر الأول في العمود الأول في الصفّ الأول. وبعد كده هناخد الاتنين والواحد، وهنضربهم في الربع والسالب نصّ، ونجيب العنصر التاني، اللي هو تاني عمود، أول صفّ. وهكذا هنكمّل العنصرين اللي باقيين. وهنبسّط المصفوفة. لو بسّطنا العناصر، هنلاقي إن القيمة دي هتدّيلنا صفر، والقيمة دي هتدّي صفر، ودي صفر، وده صفر. يبقى معنى كده إن الـ أ في الـ ب ما طلعش مصفوفة الوحدة. يبقى أ مش معكوس ضربي للـ ب، ولا الـ ب معكوس ضربي للـ أ.

نشوف المثال التاني: ك في ل. وبعدين هنجيب ل في ك. زيّ ما قلنا، المصفوفات، ضرب المصفوفات ليس إبدالي. يبقى لازم نجرّب مِ الناحيتين ك في ل، وَ ل في ك. يبقى ك في ل هتساوي … هنضرب العمود الأول في الصفّ الأول، والعمود التاني في الصفّ الأول. العمود الأول في الصفّ التاني. العمود التاني في الصفّ التاني. لمّا هنبسّط المصفوفة، هيطلع أول عنصر واحد والتاني صفر، وصفر وواحد. يبقى معنى كده إن الـ ك في الـ ل ادّوا لنا مصفوفة الوحدة.

هنشوف كمان الـ ل في الـ ك؛ علشان نقدر نحكم إن كل واحد معكوس ضربي للآخر. الـ ل في الـ ك يبقى تلات أرباع وخمسة على تمنية، والربع وتلاتة على تمنية، ده اللي بيمثّل المصفوفة ل. والمصفوفة التانية ك: تلاتة وسالب خمسة، وسالب اتنين وستة. هيبقى ناتج الضرب … يبقى أول عنصر هيبقى تسعة عَ أربعة ناقص خمسة عَ الأربعة. خمستاشر على تمنية ناقص خمستاشر على تمنية. وسالب ستة عَ الأربعة ناقص ستة عَ الأربعة. وسالب عشرة على تمنية زائد تمنتاشر على تمنية. لمّا هنبسّطها هيطلع لنا: واحد، صفر؛ صفر، واحد. وهي تساوي مصفوفة الوحدة. يبقى معنى كده إن الـ ك والـ ل كل منهم بيمثّل معكوس ضربي للآخر. كده عرفنا إزّاي هنعرف إذا كانت المصفوفة معكوس ضربي للمصفوفة التانية ولّا لأة.

وهنقلب الصفحة، ونشوف إزّاي هنعرف نجيب المعكوس الضربي للمصفوفة. المعكوس الضربي للمصفوفة أ، يعني إحنا لو عندنا المصفوفة أ تساوي ك، وَ ل، وَ م، وَ ن، بنسمّيه أ سالب واحد، اللي هو المعكوس الضربي للمصفوفة أ. وبيساوي واحد على محدّد المصفوفة أ، مضروب في الـ ن والسالب ل، وسالب م وَ ك. عملنا إيه هنا؟ بدّلنا عناصر القطر الرئيسي، اللي هو ده. خلّينا ك وَ ن بقت ن وَ ك، وعكسنا إشارات عناصر القطر الآخر. يعني خلّينا الـ م سالب م، والـ ل بقت سالب ل. وضربنا في واحد على محدّد المصفوفة. محدّد المصفوفة اللي بنرمز له بالرمز Δ، اللي هو بيساوي ك في ن، ناقص م في ل.

ومن الواضح هنا إن لازم الـ Δ لا تساوي صفر. لو ساوت صفر يبقى ما فيش معكوس ضربي للمصفوفة. يبقى بعض المصفوفات ليس لها معكوس ضربي؛ بسبب إن الـ Δ هيساوي صفر، اللي هو محدّد المصفوفة. يبقى لو لقينا إن المحدّد للمصفوفة يساوي صفر، يبقى مالهاش معكوس ضربي.

نقلب الصفحة، وناخد مثال إزّاي هنعرف نجيب المعكوس الضربي. اوجد المعكوس الضربي لكل مصفوفة إذا وُجد. ج بتساوي سبعة وسالب خمسة، واتنين وسالب واحد. وَ ك تساوي سالب تمنية وسالب ستة، واتناشر وتسعة.

أول حاجة، هنوجد قيمة المحدّد للمصفوفة، إذا كان لا يساوي صفر، فالمصفوفة لها معكوس ضربي. يبقى أول خطوة عندنا هنجيب للـ ج المحدّد. يبقى المحدّد لِـ ج هيساوي سبعة في سالب واحد، ناقص الاتنين في السالب خمسة. بيساوي سالب سبعة زائد عشرة، تساوي تلاتة. يبقى قيمة المحدّد للمصفوفة ج يساوي تلاتة. يبقى ج سالب واحد هتساوي واحد على التلاتة مضروبة في المصفوفة، بعد ما نبدّل عناصر القطر الرئيسي، يعني سالب واحد وسبعة. ونعكس إشارة القطر التاني، اللي هو هتبقى سالب اتنين وموجب خمسة. يبقى هنضرب التلت؛ العدد الثابت، في المصفوفة. هنضربها في جميع عناصر المصفوفة. هيساوي سالب تلت وخمسة على تلاتة، وسالب اتنين على تلاتة وسبعة على تلاتة. يبقى هي دي قيمة المعكوس الضربي للمصفوفة ج. ممكن نتأكّد من الحلّ بإن إحنا نضرب المصفوفة ج في الـ ج سالب واحد. لو طلعوا يساووا مصفوفة الوحدة، يبقى الحلّ صحيح.

هنشوف المصفوفة التانية ك. هنجيب لها قيمة المحدّد، هيساوي سالب تمنية في تسعة، ناقص اتناشر في سالب ستة. هيساوي سالب اتنين وسبعين زائد اتنين وسبعين. هيساوي صفر. يبقى معنى كده إن المحدّد ساوى الصفر. يبقى لا يوجد معكوس ضربي للمصفوفة ك.

ويبقى اتكلّمنا في الفيديو ده عن مصفوفة الوحدة، وإيه خصائصها، وإيه هو المعكوس الضربي للمصفوفة، وإزّاي نعرف نجيب قيمته. وإمتى يكون فيه معكوس ضربي، أو ما فيش معكوس ضربي. وإزّاي نعرف إذا كانت المصفوفة معكوس ضربي للمصفوفة الأخرى ولّا لأ.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.