فيديو الدرس: إيجاد العامل المشترك الأكبر الرياضيات

‏نسخة الفيديو النصية

لنلق نظرة على كيفية إيجاد العامل المشترك الأكبر. قبل أن نوجد العامل المشترك الأكبر، يجب أن نتحدث عن المقصود بالعامل المشترك الأكبر. لتعريف العامل المشترك الأكبر، لنبدأ أولًا بكلمة «العامل». العوامل هي أعداد تضرب معًا لنحصل على عدد آخر. على سبيل المثال، بالنسبة للعدد ١٢، اثنان في ستة يساوي ١٢. العددان اثنان وستة من عوامل العدد ١٢. والعددان ثلاثة وأربعة من عوامل العدد ١٢ أيضًا.

قد تكون سمعت أيضًا عما يسمى بشجرة العوامل. وهي تبدو بهذا الشكل. نستخدم شجرة العوامل عندما نريد إيجاد العوامل الأولية. كما سنستخدمها في هذا الفيديو لإيجاد العامل المشترك الأكبر.

الآن وبعد أن تحدثنا عن كلمة «عامل»، يمكننا الحديث عن كلمتي الأكبر والمشترك، ثم نضع الكلمات كلها معًا. كلمة «الأكبر» تعني بالضبط ما تعتقد أنها تعنيه: الأكبر، أو الأعظم، أو الأعلى في القيمة العددية. وكلمة «المشترك» هنا تعني أن جميع الأعداد التي تقارنها تتشارك فيه. عندما نوجد العامل المشترك الأكبر، فإننا نقارن بين عددين أو أكثر. ونريد إيجاد شيء مشترك بين هذه الأعداد كلها.

بتجميع التعريفات الثلاثة معًا، يمكننا القول إن العامل المشترك الأكبر هو أكبر عدد مشترك يمكن قسمة الأعداد المقارنة عليه. لاحظ أيضًا أننا كثيرًا ما نرى الاختصار ع.م.أ. ويعني العامل المشترك الأكبر. إليك مثالًا.

أوجد العامل المشترك الأكبر للعددين ١٢ و٣٠.

سأبدأ برسم شجرة عوامل للعددين ١٢ و٣٠. العدد ١٢ يقبل القسمة على اثنين وستة. اثنان في ثلاثة يساوي ستة. وأصبح لدينا الآن جميع العوامل الأولية للعدد ١٢. ننتقل إلى العدد ٣٠، حيث ثلاثة في ١٠ يساوي ٣٠. اثنان في خمسة يساوي ١٠. هذه هي العوامل الأولية.

بمجرد إيجاد العوامل الأولية للعددين ١٢ و٣٠، يمكننا أن نرى العوامل المشتركة بوضوح. على سبيل المثال، ثلاثة وثلاثة من عوامل العددين ١٢ و٣٠. والعدد اثنان من عوامل ١٢ و٣٠. لكن ما نبحث عنه هنا هو العامل المشترك الأكبر. يمكننا إيجاد العامل المشترك الأكبر بأخذ جميع العوامل المشتركة وضربها معًا.

فبما أن العددين يقبلان القسمة على اثنين وثلاثة، نضرب اثنين في ثلاثة لنحصل على ستة. العدد ستة هو إذن العامل المشترك الأكبر. العامل المشترك الأكبر للعددين ١٢ و٣٠ هو ستة.

يطلب منا المثال التالي إيجاد العامل المشترك الأكبر للعددين تسعة و١٤. باتباع الخطوات نفسها، دعونا نرسم شجرتي عوامل للعددين تسعة و١٤. العدد تسعة يقبل القسمة على ثلاثة. عاملاه الأوليان هما ثلاثة وثلاثة. انتهينا من هذا العدد. بالنسبة للعدد ١٤، لدينا اثنان وسبعة. هذان العددان أوليان، وبالتالي فهذا كل ما يمكننا فعله في شجرة العوامل.

ألق نظرة على عوامل العددين تسعة و١٤. يوجد هنا شيء مختلف عن المثال الأول. أعلم ما تفكر فيه: ألا يوجد عوامل مشتركة؟ كيف يمكن حل هذه المسألة إذن إذا لم يكن هناك عوامل مشتركة؟ ولكن في الواقع هناك عدد واحد يمثل عاملًا مشتركًا لكلا العددين تسعة و١٤. يمكنك ضرب تسعة و١٤ في واحد. كما يمكنك قسمة تسعة و١٤ على واحد. إذن العامل المشترك الأكبر هنا هو العدد واحد. إذا لم تتشارك الأعداد أي عوامل أخرى، نعلم أنها تتشارك دائمًا العدد واحدًا.

للتشجيع على استخدام وسائل النقل العام؛ يريد نادر أن يهدي بعض أصدقائه أظرفًا تحتوي على تذاكر للحافلة، وتذاكر لمترو الأنفاق. إذا كان لديه ٣٢ تذكرة للحافلة و٨٠ تذكرة لمترو الأنفاق ويريد توزيعها على الأظرف بالتساوي، مع التأكد من عدم تبقي أي تذاكر، فما أكبر عدد من الأظرف يمكنه إعداده؟

في هذه المسألة، علينا - كما خمنت - استخدام العامل المشترك الأكبر. سيساعدنا العامل المشترك الأكبر للعددين ٣٢ و٨٠ في تحديد عدد الأظرف التي بإمكان نادر إعدادها، لأنه سيخبرنا بعدد المجموعات التي يمكننا تقسيم التذاكر عليها بالتساوي.

سنبدأ هذه العملية بالطريقة التي نتبعها دائمًا، وهي إيجاد العوامل الأولية للعددين ٣٢ و٨٠. العدد ٣٢ يقبل القسمة على اثنين و١٦. اثنان في ثمانية يساوي ١٦. اثنان في أربعة يساوي ثمانية. واثنان في اثنين يساوي أربعة. بالنسبة للعدد ٨٠، سأبدأ بثمانية و١٠. ثمانية في ١٠ يساوي ٨٠. اثنان في أربعة يساوي ثمانية. اثنان في اثنان يساوي أربعة. واثنان في خمسة يساوي ١٠.

هذه هي العوامل الأولية كلها. فلنحدد الآن العوامل المشتركة. يظهر العدد اثنان في عوامل العددين ٣٢ و٨٠ أربع مرات. اثنان أس أربعة هو العامل المشترك الأكبر للعددين ٣٢ و٨٠. لذا علينا إيجاد قيمة اثنين أس أربعة. اثنان أس أربعة يساوي ١٦. نفهم من ذلك أن بإمكان نادر أن يعد ١٦ ظرفًا. إذن بإمكان نادر أن يهدي ١٦ ظرفًا. يحتوي كل ظرف من هذه الأظرف الستة عشر على تذكرتين للحافلة وخمس تذاكر لمترو الأنفاق. الأظرف كلها تحتوي على العدد نفسه. هناك سبع تذاكر في كل ظرف: تذكرتان للحافلة، وخمس تذاكر لمترو الأنفاق.

لنلق نظرة على نوع آخر من الأمثلة.

يتضمن هذا المثال ثلاثة أعداد للمقارنة بينها، ومحاولة إيجاد العامل المشترك الأكبر لها. سنستخدم الطريقة نفسها. بغض النظر عما إذا كان هناك ثلاثة أو أربعة أو خمسة أو ستة أعداد، نريد إيجاد العامل المشترك الأكبر لها، سنتبع الخطوات نفسها التي اتبعناها سابقًا. سنستخدم شجرة العوامل لإيجاد العامل المشترك الأكبر.

إذن فلنبدأ برسم شجر العوامل. ‏‏١٠ في ١١ يساوي ١١٠. اثنان في خمسة يساوي ١٠. وبالنسبة للعدد ٤٠، أربعة في ١٠، وأربعة يساوي اثنين في اثنين. ‏‏١٠ يساوي اثنين في خمسة. و١٢ في ١٠ يساوي ١٢٠. اثنان في ستة يساوي ١٢. اثنان في خمسة يساوي ١٠. وأخيرًا، اثنان في ثلاثة يساوي ستة.

جميع هذه الأعداد تتشارك العاملين اثنين وخمسة، ما يعني أن العامل المشترك الأكبر لها هو ١٠. يمكننا أيضًا رؤية العدد ١٠ في هذا الجزء من شجر العوامل. اثنان في خمسة يساوي ١٠. العدد ١٠ هو العامل المشترك الأكبر لهذه الأعداد الثلاثة. والآن حان دورك لإيجاد العامل المشترك الأكبر لبعض الأعداد.