فيديو السؤال: إيجاد الجذور التربيعية للأعداد المركبة باستخدام نظرية ديموافر الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

استخدم نظرية ديموافر لإيجاد الجذرين التربيعيين للمقدار ١٦ في جتا خمسة 𝜋 على ثلاثة ناقص ﺕ في جا خمسة 𝜋 على ثلاثة.

لدينا عدد مركب على الصورة المثلثية، والتي سنسميها ﻉ، وهو يساوي ١٦ في جتا خمسة 𝜋 على ثلاثة ناقص ‎ﺕ جا خمسة 𝜋 على ثلاثة. والمطلوب منا استخدام نظرية ديموافر لإيجاد الجذر التربيعي لـ ﻉ. هيا نتذكر ما تنص عليه هذه النظرية. لقيم ﻥ الصحيحة، إذا كان ﻉ يساوي ﻝ جتا 𝜃 زائد ‎ﺕ جا 𝜃، فإن الجذر ﻥ لـ ﻉ، أي ﻉ أس واحد على ﻥ، يساوي ﻝ أس واحد على ﻥ في ‎جتا 𝜃 زائد اثنين ﻙ𝜋 على ﻥ زائد ‎ﺕ جا 𝜃 زائد اثنين ﻙ𝜋 على ﻥ. وذلك لقيم ﻙ من صفر إلى ﻥ ناقص واحد.

والآن، عند مقارنة ﻉ بما تخبرنا به نظرية ديموافر، فإن أول ما نلاحظه هو أنه يوجد إشارة سالبة بين جيب التمام والجيب في حين أنها موجبة في نظرية ديموافر. ولاستخدام نظرية ديموافر، سنستخدم حقيقة أن ‎جتا 𝜃 يساوي جتا سالب 𝜃 وسالب ‎جا 𝜃 يساوي جا سالب 𝜃. وبذلك، ﻉ يساوي ١٦ في جتا سالب خمسة 𝜋 على ثلاثة زائد ﺕ في جا سالب خمسة 𝜋 على ثلاثة. وبهذا يكون التعبير على الصورة المثلثية على الصورة الصحيحة لاستخدام نظرية ديموافر. وبما أننا نريد إيجاد الجذور التربيعية لـ ﻉ، فإن ﻥ يساوي اثنين. وبما أن ﻙ يقبل القيم من صفر إلى ﻥ ناقص واحد، فهذا يعني أن لدينا قيمتين لـ ﻙ؛ وهما صفر وواحد.

والآن، بمقارنة ﻉ التي لدينا بـ ﻉ في نظرية ديموافر، نجد أن ﻝ يساوي ١٦ و𝜃 تساوي سالب خمسة 𝜋 على ثلاثة. إذن، بتطبيق نظرية ديموافر، يصبح لدينا ﻉ أس نصف يساوي ١٦ أس نصف في جتا سالب خمسة 𝜋 على ثلاثة زائد اثنين ﻙ𝜋 الكل على اثنين زائد ﺕ في جا سالب خمسة 𝜋 على ثلاثة زائد اثنين ﻙ𝜋 على اثنين.

وكل ما علينا فعله الآن هو إيجاد قيمة ذلك بالنسبة إلى قيمتي ﻙ؛ وهما ﻙ يساوي صفرًا وﻙ يساوي واحدًا. وبما أن الجذر التربيعي لـ ١٦ يساوي أربعة، إذن عند ﻙ يساوي صفرًا يصبح لدينا أربعة في جتا سالب خمسة 𝜋 على ستة زائد ﺕ في جا سالب خمسة 𝜋 على ستة. وذلك لأنه عند ﻙ يساوي صفرًا، فإن اثنين ﻙ𝜋 يساوي صفرًا أيضًا. وسالب خمسة 𝜋 على ثلاثة الكل مقسوم على اثنين يساوي سالب خمسة 𝜋 على ستة. وجتا سالب خمسة 𝜋 على ستة يساوي سالب جذر ثلاثة على اثنين، حيث جا سالب خمسة 𝜋 على ستة يساوي سالب نصف. وبذلك يكون الجذر الأول هو أربعة في سالب جذر ثلاثة على اثنين ناقص ﺕ على جذر اثنين. أي إن الجذر الأول لـ ﻉ عند ﻙ يساوي صفرًا هو سالب اثنين في الجذر التربيعي لثلاثة زائد اثنين ﺕ.

دعونا الآن نفرغ بعض المساحة. الجذر الثاني عند ﻙ يساوي واحدًا هو أربعة في جتا سالب خمسة 𝜋 على ثلاثة زائد اثنين 𝜋، الكل على اثنين زائد ﺕ في جا سالب خمسة 𝜋 على ثلاثة زائد اثنين 𝜋 على اثنين. وهذا يساوي أربعة في ‎جتا 𝜋 على ستة زائد ﺕ في ‎جا 𝜋 على ستة. ‏‏‎جتا 𝜋 على ستة يساوي جذر ثلاثة على اثنين، و‎جا 𝜋 على ستة يساوي نصفًا. إذن، الجذر الثاني يساوي أربعة في الجذر التربيعي لثلاثة على اثنين زائد ﺕ على اثنين. وهو ما يساوي اثنين في الجذر التربيعي لثلاثة زائد اثنين ﺕ.

إذن، الجذران التربيعيان لـ ١٦ في جتا خمسة 𝜋 على ثلاثة ناقص ﺕ في جا خمسة 𝜋 على ثلاثة هما موجب أو سالب اثنين في الجذر التربيعي لثلاثة زائد اثنين ﺕ.