فيديو السؤال: حل المعادلات التربيعية بإكمال المربع الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

بإكمال المربع، حل المعادلة ﺱ تربيع زائد ﺱ زائد واحد يساوي صفرًا.

حسنًا، إننا نعلم أن أي معادلة تربيعية على الصورة: ﺱ تربيع زائد ﺏﺱ زائد ﺟ يمكن إعادة كتابتها على الصورة: ﺱ زائد ﺏ على اثنين الكل تربيع ناقص ﺏ على اثنين تربيع زائد ﺟ. وتعرف هذه الطريقة باسم «إكمال المربع». في هذا السؤال، كل من معامل ﺱ والحد الثابت يساوي واحدًا؛ وعليه فإن ﺏ يساوي واحدًا وﺟ يساوي واحدًا. ومن ثم، يمكن إعادة كتابة التعبير: ﺱ تربيع زائد ﺱ زائد واحد على الصورة: ﺱ زائد نصف الكل تربيع ناقص نصف تربيع زائد واحد. نصف مضروبًا في نصف يساوي ربعًا. وبذلك، تصبح المعادلة لدينا: ﺱ زائد نصف الكل تربيع ناقص ربع زائد واحد يساوي صفرًا. وهذا بدوره يبسط إلى: ﺱ زائد نصف الكل تربيع زائد ثلاثة أرباع يساوي صفرًا.

الخطوة التالية هي طرح ثلاثة أرباع من الطرفين. ويمكننا بعد ذلك أخذ الجذر التربيعي لطرفي المعادلة؛ حيث يكون ﺱ زائد نصف يساوي موجب أو سالب الجذر التربيعي لسالب ثلاثة أرباع. الجذر التربيعي لسالب ثلاثة أرباع هو نفسه الجذر التربيعي لثلاثة أرباع مضروبًا في الجذر التربيعي لسالب واحد. ومن معرفتنا بالأعداد المركبة، نعرف أن الجذر التربيعي لسالب واحد يساوي ﺕ. والجذر التربيعي لثلاثة أرباع هو نفسه الجذر التربيعي لثلاثة على الجذر التربيعي لأربعة، وهو ما يمكن تبسيطه إلى الجذر التربيعي لثلاثة على اثنين. ‏ﺱ زائد نصف يساوي موجب أو سالب جذر ثلاثة على اثنين ﺕ.

وأخيرًا، يمكننا طرح نصف من طرفي هذه المعادلة. ‏ﺱ يساوي سالب نصف زائد أو ناقص جذر ثلاثة على اثنين ﺕ. هذا يعني أن هناك حلين للمعادلة التربيعية: ﺱ تربيع زائد ﺱ زائد واحد يساوي صفرًا. والحلان هما: ﺱ يساوي سالب نصف زائد جذر ثلاثة على اثنين ﺕ، وﺱ يساوي سالب نصف ناقص جذر ثلاثة على اثنين ﺕ.