تم إلغاء تنشيط البوابة. يُرجَى الاتصال بمسؤول البوابة لديك.

فيديو السؤال: إيجاد كتلة جسم على مستوى أملس مائل متصل بجسم معلق تعليقًا حرًّا بواسطة خيط يمر عبر بكرة الرياضيات

جسم كتلته ﻙﺩ يستقر على مستوى أملس يميل على الأفقي بزاوية 𝜃. بواسطة خيط خفيف يمر فوق بكرة ملساء مثبتة عند قمة المستوى، ربط الجسم بجسم كتلته ٤٠ جم معلق تعليقًا حرًّا رأسيًّا أسفل البكرة. ترك النظام يتحرك من السكون وهبط الجسم مسافة ٦٨٦ سم لأسفل المستوى في أول ثانيتين من الحركة. إذا كانت القوة المبذولة على البكرة ٥٤ جذر ٣ ثقل جرام، فأوجد قيمة ﻙ. علمًا بأن ﺩ = ٩٫٨ م‏/‏ث^٢.

١٥:٥٠

‏نسخة الفيديو النصية

جسم كتلته ﻙ جرام يستقر على مستوى أملس يميل على الأفقي بزاوية 𝜃. بواسطة خيط خفيف يمر فوق بكرة ملساء مثبتة عند قمة المستوى، ربط الجسم بجسم كتلته ٤٠ جرامًا معلق تعليقًا حرًّا رأسيًّا أسفل البكرة. ترك النظام يتحرك من السكون وهبط الجسم مسافة ٦٨٦ سنتيمترًا لأسفل المستوى في أول ثانيتين من الحركة. إذا كانت القوة المبذولة على البكرة ٥٤ جذر ثلاثة ثقل جرام، فأوجد قيمة ﻙ. علمًا بأن ﺩ يساوي ٩٫٨ أمتار لكل ثانية مربعة.

بداية، دعونا نفكر مليًّا في بعض المصطلحات المذكورة في هذا السؤال. نعلم من المعطيات أن الجسم كتلته ﻙ ﺩ. وبما أننا نتحدث عن كتلة، فإن ﺩ تعني جرامًا في هذه الحالة. وفي نهاية السؤال، طلب منا أن نستخدم القيمة ٩٫٨ أمتار لكل ثانية مربعة بوصفها قيمة ﺩ. ومن المهم أن ندرك أن حرف ﺩ في هذا السؤال يرمز لشيء مختلف. في هذه الحالة، يشير الحرف ﺩ إلى عجلة الجاذبية الأرضية.

بعد ذلك، نعلم من معطيات السؤال أن المستوى أملس. وهذا يعني أنه لا توجد قوة احتكاك تقاوم حركة الجسم أثناء هبوطه إلى أسفل المستوى. ويعني الخيط الخفيف أنه يمكننا افتراض أن كتلته تساوي صفرًا، وهو ما سيبسط العمليات الحسابية التي سنجريها. وتعني البكرة الملساء أيضًا أننا لسنا بحاجة لأن نضع في اعتبارنا أي قوة احتكاك تقاوم حركة الخيط حول البكرة.

وبما أن السؤال ينص على أن الجسم البالغ وزنه ٤٠ جرامًا معلق تعليقًا حرًّا رأسيًّا أسفل البكرة، فسيمكننا أن نفترض أنه سيسقط مباشرة إلى أسفل أو يتحرك إلى أعلى دون أن تواجهه أي عوائق عند ترك النظام يتحرك. وعندما نتحدث عن القوة المؤثرة على البكرة، فإننا نتحدث عن القوة المحصلة لطرفي الخيط اللذين يسحبان البكرة إلى الأسفل وإلى اليسار. ونعلم من المعطيات أن هذه القوة تساوي ٥٤ جذر ثلاثة ثقل جرام. وسنتناول كيفية حساب القوة المحصلة لاحقًا.

وهكذا نكون قد حددنا المصطلحات والافتراضات التي يمكننا وضعها. ولعلنا نلاحظ أن المطلوب هو إيجاد قيمة ﻙ؛ أي عدد جرامات كتلة الجسم المستقر على المستوى. ما علينا فعله فيما يأتي هو رسم مخطط لتمثيل جميع المعطيات المذكورة في السؤال لمساعدتنا في تصور المسألة. يميل المستوى على الأفقي بزاوية 𝜃. وثمة بكرة مثبتة أعلى المستوى. ويتدلى خيط خفيف فوق البكرة وربط جسم بكل من طرفيه، ويستقر أحد الجسمين على المستوى والآخر معلق أسفل البكرة مباشرة. ولكل من الجسمين قوة وزن تؤثر إلى أسفل مباشرة بفعل الجاذبية الأرضية.

يمكننا حساب مقدار كل قوة وزن بضرب الكتلة في عجلة الجاذبية الأرضية، طبقًا لقانون نيوتن الثاني. وسنستخدم في عملياتنا الحسابية الوحدات الأساسية للنظام الدولي للوحدات، ولذا سنحول الجرامات إلى كيلوجرامات. بتناول الجسم المعلق تعليقًا حرًّا أولًا، نجد أن كتلته تساوي ٤٠ جرامًا، أي ما يساوي ٠٫٠٤ كيلوجرام. وعجلة الجاذبية الأرضية تساوي ٩٫٨ أمتار لكل ثانية مربعة. إذن، قوة وزن هذا الجسم تساوي ٠٫٠٤ في ٩٫٨ نيوتن. وهذا يساوي ٠٫٣٩٢ نيوتن. وكتلة الجسم المستقر على المستوى تساوي ﻙ جرام، وهو ما يساوي ﻙ على ١٠٠٠ كيلوجرام. إذن، قوة وزن هذا الجسم بوحدة النيوتن تساوي ٩٫٨ﻙ على ١٠٠٠.

يسحب الجسمان الخيط في اتجاهين مختلفين، وهو ما يؤدي إلى حدوث شد في الخيط. دعونا نسم قوة الشد ﺵ نيوتن. وبما أن البكرة ملساء ويمكن للخيط أن يتحرك عليها بحرية، فإن مقدار الشد على كل من جانبي البكرة يساوي ﺵ نيوتن. ويمكننا أن نحدد هاتين القوتين على المخطط. ويوجد أيضًا رد فعل عمودي بين المستوى المائل والجسم المستقر عليه. ويؤثر عموديًّا على المستوى. دعونا نسم هذه القوة ﺭ، ووحدة قياسها النيوتن.

دعونا نتناول قوة رد الفعل العمودي للجسم المستقر على المستوى بمزيد من التفصيل. وكما ذكرنا سابقًا، هذه القوة تؤثر عموديًّا على المستوى. ولكننا نعلم أيضًا أن الجسم ينزلق إلى أسفل المستوى عند تركه ليتحرك. وهذه الحركة عمودية على خط عمل رد الفعل العمودي. ولا يقفز الجسم من على المستوى أو يغوص فيه. وهذا يعني أن القوى المؤثرة على هذا الجسم والعمودية على المستوى في حالة اتزان. وعليه، فإن قوة رد الفعل العمودي تساوي مركبة قوة الوزن التي تؤثر في الاتجاه المعاكس.

والآن، علينا إيجاد تعبير لإيجاد مركبة قوة الوزن التي تؤثر في عكس اتجاه قوة رد الفعل العمودي مباشرة. إننا نعلم أن قوة الوزن تؤثر إلى أسفل مباشرة. وعليه، فإننا نعلم أن قياس الزاوية المحصورة بين المستوى والاتجاه الرأسي إلى أسفل يساوي ٩٠ ناقص 𝜃. وبما أننا نبحث عن مركبة قوة الوزن التي تؤثر عموديًّا إلى أسفل من المستوى، نلاحظ أن قياس هذه الزاوية لا بد أن يساوي 𝜃. أي أن قياسها يساوي ٩٠ ناقص ٩٠ ناقص 𝜃.

نحن نعلم أن قوة الوزن تساوي ٩٫٨ﻙ على ١٠٠٠ نيوتن. إذن، مركبة هذه القوة، التي تؤثر لموازنة رد الفعل العمودي على المستوى، تساوي ٩٫٨ﻙ على ١٠٠٠ في جتا 𝜃. وعليه، فإن قوة رد الفعل العمودي، ﺭ، تساوي ٩٫٨ﻙ على ١٠٠٠ جتا 𝜃 نيوتن. دعونا نضف هذه القيمة إلى المخطط. عند النظر من موضع البكرة، نرى أن قوتي الشد تسحبان البكرة إلى أسفل وإلى اليسار. دعونا ندقق النظر في ذلك.

لعلنا نتذكر أن الشد في الخيط ثابت، ونسميه ﺵ نيوتن. ويتدلى الخيط فوق البكرة. وعليه، توجد قوة شد مقدارها ﺵ نيوتن تسحب البكرة رأسيًّا إلى أسفل، وقوة أخرى مقدارها ﺵ نيوتن تسحب البكرة إلى أسفل خط المستوى المائل. وبما أن قوتي الشد متساويتان في المقدار على جانبي البكرة الملساء، فإن القوة المحصلة على البكرة ستؤثر على امتداد الخط الذي ينصف الزاوية المحصورة بين طرفي الخيط. دعونا نسم كل نصف من هذه الزاوية 𝛼.

نحن نعلم من معطيات السؤال أن القوة المحصلة المؤثرة على البكرة تساوي ٥٤ جذر ثلاثة ثقل جرام. ودعونا نحول هذه الوحدة إلى وحدة النيوتن. وحدة الثقل جرام هي القوة التي يؤثر بها جسم وزنه جرام واحد بفعل الجاذبية الأرضية. ولتحويل هذه الوحدة إلى نيوتن، نحولها أولًا إلى ثقل كيلوجرام؛ حيث إن الكيلوجرام هو وحدة الكتلة الأساسية في النظام الدولي للوحدات. ثمة ١٠٠٠ جرام في الكيلوجرام الواحد. وعليه، فإن ٥٤ جذر ثلاثة ثقل جرام يساوي ٥٤ جذر ثلاثة على ١٠٠٠ ثقل كيلوجرام. ويمكننا أن نعبر عن القوة التي تؤثر بمقدار ٥٤ جذر ثلاثة على ١٠٠٠ ثقل كيلوجرام على صورة: ٥٤ جذر ثلاثة على ١٠٠٠ في عجلة الجاذبية الأرضية، التي نعلم أنها تساوي ٩٫٨ أمتار لكل ثانية مربعة.

لعلنا نتذكر أن هذه القوة هي محصلة قوتي الشد من كلا طرفي الخيط. وبما أن كلًّا من قوتي الشد تؤثر بزاوية 𝛼 من خط عمل القوة المحصلة، فيمكننا التعبير عن مجموعهما على صورة ﺵ جتا 𝛼 زائد ﺵ جتا 𝛼 نيوتن، الذي يمكن تبسيطه إلى اثنين ﺵ جتا 𝛼 نيوتن. وهذا يعني أن ٥٤ جذر ثلاثة على ١٠٠٠ في ٩٫٨ يساوي اثنين ﺵ جتا 𝛼.

إذا نظرنا إلى المخطط الرئيسي مرة أخرى، فسنلاحظ أن المستوى يميل على الأفقي بزاوية 𝜃. وعليه، فإن قياس الزاوية المحصورة بين المستوى والرأسي يساوي ٩٠ ناقص 𝜃. وهي نفسها الزاوية اثنان 𝛼. وعليه، يمكننا أن نكتب أن اثنين 𝛼 يساوي ٩٠ ناقص 𝜃. إذن، 𝛼 يساوي ٤٥ ناقص 𝜃 على اثنين. وبالتعويض بقيمة 𝛼 هذه، نحصل على ٥٤ جذر ثلاثة على ١٠٠٠ في ٩٫٨ يساوي اثنين ﺵ جتا ٤٥ ناقص 𝜃 على اثنين، وهو ما يمكن تبسيطه قليلًا إلى ١٣٢٣ جذر ثلاثة على ٥٠٠٠ يساوي ﺵ جتا ٤٥ ناقص 𝜃 على اثنين.

لن يفيدنا هذا المقدار حاليًّا لأننا لا نعرف قيمة ﺵ أو قيمة 𝜃. لذا، دعونا ندونه ونبحث عما يمكننا أن نستنتجه أيضًا من السؤال أو المخطط. نعلم من المعطيات أن الجسم المستقر على المستوى قد هبط ٦٨٦ سنتيمترًا في أول ثانيتين من ترك النظام يتحرك. ونعلم أيضًا أن مركبة وزن الجسم تسحبه في هذا الاتجاه إلى أسفل المستوى، وتقاومها قوة الشد في الخيط. وهذا يعني أنه توجد قوة ثابتة تؤثر على الجسم. ومن ثم يتحرك الجسم إلى أسفل المستوى بعجلة ثابتة، التي سنسميها ﺟ مترًا لكل ثانية مربعة.

دعونا نحول المسافة إلى وحدة المسافة الأساسية في النظام الدولي للوحدات، وهي المتر. إذن، ٦٨٦ سنتيمترًا يساوي ٦٫٨٦ أمتار. وعليه، فإن المسافة المقطوعة، والتي سنسميها ﻑ، تساوي ٦٫٨٦ أمتار. والمعدل الثابت للعجلة هو ﺟ متر لكل ثانية مربعة. والفترة الزمنية، والتي سنسميها ﻥ، هي ثانيتان. ثم ترك النظام يتحرك من السكون. ومن ثم، السرعة الابتدائية للجسم، ولنسمها ﻉ صفر، تساوي صفر متر لكل ثانية.

أصبح بإمكاننا الآن أن نستخدم إحدى معادلات نيوتن للحركة بعجلة ثابتة لحساب عجلة الجسم. وستساعدنا هذه المعادلة في إيجاد مقدار قوة الشد في الخيط فيما بعد. سنستخدم المعادلة: المسافة ﻑ تساوي السرعة الابتدائية ﻉ صفر في الزمن ﻥ زائد نصف العجلة ﺟ في مربع الزمن ﻥ. وبما أن جميع هذه المتغيرات مقيسة الآن بالوحدات الأساسية للنظام الدولي للوحدات، فسيمكننا التعويض بها في المعادلة مباشرة. وبتبسيط المقدار، نجد أن عجلة الجسم هبوطًا إلى أسفل المستوى تساوي ٣٫٤٣ أمتار لكل ثانية مربعة. إذن، يمكننا أن نضيف هذا الناتج إلى المخطط.

والآن، دعونا نحلل القوى المؤثرة إلى أسفل المستوى من موضع الجسم المستقر على المستوى. باستخدام قانون نيوتن الثاني، فإن القوة المحصلة المؤثرة على هذا الجسم تساوي مركبة وزنه المؤثرة إلى أسفل المستوى ناقص قوة الشد ﺵ. وبما أن الزاوية المحصورة بين قوة الوزن والمستوى قياسها ٩٠ ناقص 𝜃 درجة، فإن القوة المحصلة تساوي ٩٫٨ على ١٠٠٠ في ﻙ في جتا ٩٠ درجة ناقص 𝜃 ناقص ﺵ. والكتلة تساوي ﻙ على ١٠٠٠ كيلوجرام، والعجلة تساوي ٣٫٤٣ أمتار لكل ثانية مربعة. إننا نعلم أن جتا ٩٠ ناقص 𝜃 يساوي جا 𝜃؛ لذا دعونا نستخدم الأخير.

بعد ذلك، يمكننا أن نحلل القوى المؤثرة رأسيًّا إلى أعلى من موضع الكتلة المعلقة تعليقًا حرًّا. وبما أن الخيط لا يتمدد، فإننا نعلم أن الكتلة المعلقة تعليقًا حرًّا ستتسارع إلى أعلى بالمعدل نفسه الذي يتسارع به الجسم الآخر إلى أسفل المستوى. وهذا يساوي ٣٫٤٣ أمتار لكل ثانية مربعة. دعونا نضف هذه المعلومة أيضًا إلى المخطط. القوة المحصلة المؤثرة إلى أعلى هي قوة الشد ﺵ نيوتن ناقص قوة الوزن المؤثرة إلى أسفل، والتي حسبنا سابقًا أنها تساوي ٠٫٣٩٢ نيوتن. كتلة هذا الجسم تساوي ٤٠ جرامًا، أي ٠٫٠٤ كيلوجرام، وعجلته تساوي ٣٫٤٣ أمتار لكل ثانية مربعة.

يمكننا أن نضيف ٠٫٣٩٢ إلى كلا الطرفين ونبسط لنجد أن ﺵ يساوي ٠٫٥٢٩٢، وهو ما يعني أن قوة الشد تساوي ٠٫٥٢٩٢ نيوتن. ويمكننا التعويض عن ﺵ في المخطط بهذه القيمة. ويمكننا أيضًا التعويض بها في المعادلات الأخرى التي لم تحل بعد. والآن، أصبحت هذه المعادلة تحتوي على مجهول واحد فقط؛ ومن ثم يمكننا حلها لإيجاد قيمة 𝜃. بعد ذلك نقسم كلا الطرفين على ٠٫٥٢٩٢ لجعل حد جيب التمام الذي يتضمن 𝜃 في الطرف الأيسر بمفرده. ولحسن الحظ، يمكن تبسيط الطرف الأيمن إلى جذر ثلاثة على اثنين. ونعلم أن جتا ٣٠ درجة يساوي جذر ثلاثة على اثنين. إذن، نستنتج أن ٤٥ ناقص 𝜃 على اثنين يساوي ٣٠.

بسبب القيود المادية للمسألة، لا يمكننا أن نبحث عن قيمة 𝜃 إلا بين صفر و٩٠ فقط. وبإعادة الترتيب، نجد أن 𝜃 تساوي ٣٠ درجة. دعونا ندون ذلك على المخطط. والآن، أصبح بإمكاننا أن نعوض عن 𝜃 بـ ٣٠ درجة في المعادلة المتبقية وحلها لإيجاد القيمة المطلوبة في السؤال وهي قيمة ﻙ. إننا نعلم أن جا ٣٠ درجة يساوي نصفًا. ويمكننا جمع الحدود التي تتضمن ﻙ في الطرف الأيمن ونضيف ٠٫٥٢٩٢ إلى كل من الطرفين. بعد ذلك، يمكننا أن نحلل الطرف الأيمن بجعل ﻙ العامل المشترك، ونبسط الحدود بعد التحليل. وأخيرًا، نقسم كلا الطرفين على ٠٫٠٠٤٩ ناقص ٠٫٠٠٣٤٣ لإيجاد قيمة ﻙ، والتي ستساوي ٣٦٠.

إذن، كتلة الجسم المستقر على المستوى تساوي ٣٦٠ جرامًا، أي أن قيمة ﻙ تساوي ٣٦٠.

تجدر الإشارة سريعًا إلى أننا لم نستخدم قوة رد الفعل العمودي للجسم على المستوى في النهاية. حللنا المسألة باستخدام الاتجاه العمودي على رد الفعل في اتجاه أسفل المستوى، وعليه، فإننا لم نكن بحاجة إلى استخدام رد الفعل العمودي. وكان بإمكاننا توفير بعض الوقت إذا لاحظنا عدم حاجتنا له. ولكن، في مسألة معقدة كهذه، قد ينتهي بنا المطاف بحساب بعض الأشياء التي لا نحتاجها في خطوات الحل.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.