نسخة الفيديو النصية
يوضح التمثيل البياني الآتي كيفية تغير سرعة جسم مقابل الزمن. سرعة الجسم تساوي 𝑢 عند الزمن 𝑡 واحد، وتساوي 𝑣 عند الزمن 𝑡 اثنين. ما الكمية التي تساوي حاصل ضرب السرعة المتجهة في الزمن؟
في هذا السؤال، لدينا تمثيل بياني يوضح سرعة جسم على المحور الرأسي أو المحور 𝑦 مقابل الزمن على المحور الأفقي أو المحور 𝑥. يمكننا من هذا التمثيل البياني ملاحظة أنه عند الزمن 𝑡 واحد، سرعة الجسم تساوي 𝑢، في حين أنه عند الزمن 𝑡 اثنين، سرعة الجسم تساوي 𝑣. وهذا يتوافق مع المعطيات الواردة في نص السؤال. في الجزء الأول من السؤال، مطلوب منا إيجاد الكمية التي تساوي حاصل ضرب السرعة المتجهة في الزمن. وللإجابة عن هذا، يمكننا استرجاع أن السرعة المتجهة للجسم تعرف بأنها معدل تغير إزاحة هذا الجسم بالنسبة إلى الزمن. هذا يعني أن السرعة المتجهة لأي جسم تساوي إزاحة هذا الجسم مقسومة على زمن حدوث الإزاحة.
إذا ضربنا طرفي هذه المعادلة في الزمن، فعند الطرف الأيمن سيلغى الزمن الموجود في البسط مع الزمن الموجود في المقام. وبذلك، نجد أن حاصل ضرب الزمن في السرعة المتجهة يساوي الإزاحة. إذن، إجابة الجزء الأول من السؤال هي أن الكمية التي تساوي حاصل ضرب السرعة المتجهة في الزمن هي الإزاحة. وبما أن الإزاحة تساوي السرعة المتجهة مضروبة في الزمن، فإذا كان لدينا تمثيل بياني للسرعة مقابل الزمن، كما هو الحال في هذا السؤال، فإن إزاحة الجسم بين زمنين، الذي يوضح التمثيل البياني حركته، تساوي المساحة أسفل المنحنى بين قيمتي الزمن هاتين.
والآن، دعونا نفرغ بعض المساحة وننتقل إلى الجزء الثاني من السؤال.
أي مما يأتي التعبير الصحيح لقيمة مساحة المنطقة 𝐵 الموضحة في التمثيل البياني؟ (أ) 𝑢 مقسومًا على Δ𝑡، (ب) 𝑣 ناقص 𝑢 مضروبًا في Δ𝑡، (ج) 𝑢 مضروبًا في Δ𝑡، (د) Δ𝑡 مقسومًا على 𝑢.
حسنًا، مطلوب منا هنا إيجاد مساحة المنطقة المشار إليها بـ 𝐵 على التمثيل البياني للسرعة مقابل الزمن. يمكننا ملاحظة أن المنطقة 𝐵 هي هذا المستطيل الأخضر على التمثيل البياني. ويمكننا أيضًا ملاحظة أن الركن السفلي الأيسر من هذا المستطيل الأخضر يقع عند نقطة الأصل للتمثيل البياني. بعبارة أخرى، إنه يقع عند الزمن 𝑡 واحد والسرعة صفر. وعلى محور الزمن الأفقي، يمكننا ملاحظة أن المستطيل يمتد من الزمن 𝑡 واحد إلى الزمن 𝑡 اثنين، وطول ضلعه الممتد على هذا المحور يشار إليه بـ Δ𝑡، وهو ما يساوي 𝑡 اثنين ناقص 𝑡 واحد. إذا أشرنا إلى هذا البعد باعتباره عرض المستطيل، يمكننا قول إن عرض هذا المستطيل يساوي Δ𝑡.
إذا نظرنا الآن إلى محور السرعة الرأسي، يمكننا ملاحظة أن السرعة 𝑢 تقع عند هذه القيمة بأعلى المستطيل. هذا يعني أن هذا المستطيل الأخضر الذي يمثل المنطقة 𝐵 يمتد من السرعة صفر إلى السرعة 𝑢. ومن ثم، يمكننا قول إن ارتفاع المستطيل الممتد على محور السرعة يساوي 𝑢 ناقص صفر؛ أي إنه ببساطة يساوي 𝑢. إذن، ارتفاع هذا المستطيل الأخضر يساوي 𝑢. لعلنا نتذكر أن مساحة المستطيل تساوي ارتفاع المستطيل مضروبًا في عرضه. ومساحة المنطقة 𝐵 هي مساحة المستطيل الأخضر الذي له الارتفاع 𝑢 والعرض Δ𝑡. وبهذا، نجد أن مساحة المنطقة 𝐵 تساوي 𝑢 مضروبًا في Δ𝑡.
نلاحظ هنا أن هذا التعبير الذي أوجدناه لمساحة المنطقة 𝐵 يتوافق مع التعبير الوارد في الخيار (ج). وهذا يعني أن الخيار (ج) هو الإجابة الصحيحة. إذن، التعبير الصحيح لقيمة مساحة المنطقة 𝐵 الموضحة في التمثيل البياني هو 𝑢 مضروبًا في Δ𝑡.
دعونا نفرغ بعض المساحة مرة أخرى لنتمكن من تناول الجزء الثالث من السؤال.
أي مما يأتي التعبير الصحيح لقيمة مساحة المنطقة 𝐴 الموضحة في التمثيل البياني؟ (أ) 𝑢 زائد 𝑣 في Δ𝑡، (ب) اثنان في 𝑢 زائد 𝑣 في Δ𝑡، (ج) نصف في 𝑢 زائد 𝑣 في Δ𝑡، (د) نصف في 𝑣 ناقص 𝑢 في Δ𝑡، (هـ) نصف في 𝑢 ناقص 𝑣 في Δ𝑡.
حسنًا، مطلوب منا هنا إيجاد مساحة المنطقة الموضحة في التمثيل البياني المشار إليها بالمنطقة 𝐴. يمكننا ملاحظة أن هذه المساحة يمثلها هذا المثلث الأصفر الموجود أعلى المستطيل الأخضر الذي يمثل المنطقة 𝐵. ولعلنا نلاحظ أيضًا أن قاعدة هذا المثلث، التي تمتد على طول محور الزمن، تساوي عرض المستطيل الأخضر. وكما هو الحال مع عرض المستطيل، تمتد قاعدة المثلث من الزمن 𝑡 واحد إلى الزمن 𝑡 اثنين. هذا يعني أنها تساوي 𝑡 اثنين ناقص 𝑡 واحد؛ أي Δ𝑡. وعليه، يمكننا قول إن طول قاعدة هذا المثلث يساوي Δ𝑡.
سنتناول الآن ارتفاع المثلث، الذي يمتد موازيًا لمحور السرعة الرأسي. يمكننا ملاحظة أن قاعدة المثلث تقع عند القيمة 𝑢 على محور السرعة هذا. وهذا يعني أن المثلث يبدأ عند 𝑢، ونلاحظ أن الركن العلوي من المثلث يقع عند القيمة أو السرعة 𝑣. لذا يمكننا قول إن ارتفاع المثلث يساوي 𝑣 ناقص 𝑢. وللتوضيح، 𝑣 هي هذه المسافة الرأسية التي تبدأ من محور الزمن وصولًا إلى الخط الأفقي المشار إليه بـ 𝑣، في حين أن 𝑢 هي المسافة الرأسية التي تبدأ من محور الزمن نفسه وتصل إلى الخط الأفقي المشار إليه بـ 𝑢.
هذا الطول على المحور الرأسي الذي أشرنا إليه بـ 𝑣 ناقص 𝑢 يساوي الطول 𝑣 هذا، وهو طول الارتفاع الكلي على محور السرعة، ناقص الطول 𝑢، وهو ارتفاع المستطيل الذي يقع المثلث أعلاه. وبهذا، نكون قد عرفنا أن ارتفاع هذا المثلث يساوي 𝑣 ناقص 𝑢.
حسنًا، إننا نعلم أن مساحة المثلث تساوي نصفًا مضروبًا في طول قاعدته مضروبًا في ارتفاعه. وفي الحالة لدينا، يمكننا معرفة سبب وجود العامل نصف بسهولة. نلاحظ هنا أن المثلث الأصفر على التمثيل البياني يشغل نصف المساحة التي حددناها لهذا المستطيل الأزرق. ونلاحظ أيضًا أنه يمكننا تقسيم هذا المستطيل الأزرق إلى مثلثين متساويين؛ أحدهما هو المثلث الأصفر الذي يمثل المنطقة 𝐴، والآخر هو هذا المثلث المحدد باللون الأخضر هنا.
كما نرى، ارتفاع المستطيل الأزرق يساوي 𝑣 ناقص 𝑢، وعرضه يساوي Δ𝑡. ونحن نعلم أن مساحة المستطيل تساوي عرضه مضروبًا في ارتفاعه. ومن ثم، فإن مساحة المستطيل الأزرق تساوي Δ𝑡 مضروبًا في 𝑣 ناقص 𝑢. وبما أن مساحة كل من المثلثين بهذا المستطيل، أي المثلث الأصفر الذي يمثل المنطقة 𝐴 والمثلث الأخضر الذي حددناه، تساوي نصف مساحة المستطيل، فإن مساحة أي من المثلثين لا بد أن تساوي نصفًا مضروبًا في مساحة هذا المستطيل التي تساوي العرض في الارتفاع. وبهذا، تصبح لدينا هذه المعادلة التي تمثل مساحة المثلث، وهي نصف مضروبًا في طول قاعدة المثلث، التي تكافئ عرض المستطيل مضروبًا في ارتفاعه.
حسنًا، نحن نعلم أن طول قاعدة هذا المثلث الأصفر، الذي يمثل المنطقة 𝐴، يساوي Δ𝑡، وأن ارتفاعه يساوي 𝑣 ناقص 𝑢. بالتعويض بهذه القيم في معادلة مساحة المثلث، نجد أن مساحة المنطقة 𝐴 تساوي نصفًا مضروبًا في Δ𝑡 مضروبًا في 𝑣 ناقص 𝑢. وعندما نضرب حدودًا مختلفة معًا، لا يهم بأي ترتيب نكتب الحدود. لذا، يمكننا كتابة ذلك أيضًا على الصورة نصف مضروبًا في 𝑣 ناقص 𝑢 مضروبًا في Δ𝑡. وهذا التعبير، كما نرى، يتوافق مع التعبير الوارد في الخيار (د). إذن، التعبير الصحيح لقيمة مساحة المنطقة 𝐴 الموضحة في التمثيل البياني هو نصف في 𝑣 ناقص 𝑢 في Δ𝑡.
وأخيرًا، دعونا نفرغ بعض المساحة مرة أخرى، ونتناول الجزء الأخير من السؤال.
أي من المعادلات الآتية يعبر تعبيرًا صحيحًا عن العلاقة بين العجلة والإزاحة والتغير في الزمن الموضحة في التمثيل البياني؟ (أ) 𝑠 يساوي 𝑢 في Δ𝑡 زائد نصف في 𝑎 مضروبًا في Δ𝑡 تربيع. (ب) 𝑠 يساوي 𝑢 في Δ𝑡 تربيع زائد نصف مضروبًا في 𝑎 في Δ𝑡 تربيع. (ج) 𝑠 يساوي نصفًا في 𝑢 مضروبًا في Δ𝑡 زائد 𝑎 مضروبًا في Δ𝑡 تربيع. (د) 𝑠 يساوي نصفًا في 𝑢 مضروبًا في Δ𝑡 زائد نصف مضروبًا في 𝑎 في Δ𝑡 تربيع.
حسنًا، لدينا في الجزء الأخير من السؤال أربع معادلات محتملة مختلفة للإزاحة 𝑠 مكتوبة بدلالة التغير في الزمن Δ𝑡 والعجلة 𝑎 والسرعة الابتدائية 𝑢. ومطلوب منا تحديد أي من هذه المعادلات هي المعادلة الصحيحة. تذكر أنه عند الإجابة عن الجزء الأول من السؤال، أوضحنا أنه إذا كان لدينا جسم حركته موضحة على تمثيل بياني للسرعة مقابل الزمن، فإن إزاحة هذا الجسم تساوي مساحة المنطقة الموجودة أسفل هذا المنحنى للسرعة مقابل الزمن.
بالنسبة إلى الجسم لدينا في هذا السؤال، نجد أنه عندما يبدأ حركته عند الزمن 𝑡 واحد تكون له السرعة 𝑢 وعندما يتوقف عند الزمن 𝑡 اثنين تكون له السرعة 𝑣. هذا يعني أن هذا الخط الوردي الذي رسمناه هو الخط الذي يعبر عن حركة الجسم على التمثيل البياني للسرعة مقابل الزمن. والمساحة أسفل المنحنى هي المساحة الكلية للمنطقة أسفل هذا الخط، الواقعة بين الزمنين 𝑡 واحد و𝑡 اثنين؛ أي مساحة المنطقة 𝐵 زائد مساحة المنطقة 𝐴. وبما أننا نعلم أن المساحة الكلية للمنطقة أسفل المنحنى تمثل إزاحة الجسم، يمكننا قول إن هذه الإزاحة تساوي مساحة المنطقة 𝐴 زائد مساحة المنطقة 𝐵. ومن ثم، بالإشارة إلى هذه الإزاحة بـ 𝑠 واسترجاع النتائج التي أوجدناها لمساحتي المنطقتين 𝐴 و𝐵، نجد أن 𝑠 يساوي نصفًا مضروبًا في 𝑣 ناقص 𝑢 مضروبًا في Δ𝑡 زائد 𝑢 في Δ𝑡.
حسنًا، إننا نريد الآن إيجاد طريقة لإعادة كتابة هذه المعادلة بحيث تتضمن الكمية 𝑎؛ أي عجلة الجسم. ولفعل ذلك، يمكننا استرجاع أن عجلة الجسم تعرف بأنها معدل تغير سرعة هذا الجسم بالنسبة إلى الزمن. هذا يعني أن العجلة 𝑎 تساوي التغير في سرعة الجسم مقسومًا على التغير في الزمن الذي حدث خلاله هذا التغير في السرعة. وبما أن الجسم في الحالة لدينا يبدأ حركته بسرعة ابتدائية تساوي 𝑢 حتى يصل إلى سرعة نهائية تساوي 𝑣، فإن التغير في السرعة يساوي 𝑣 ناقص 𝑢. هذا التغير في السرعة يحدث بين الزمن 𝑡 واحد والزمن 𝑡 اثنين. وعليه، فإن التغير في الزمن يساوي 𝑡 اثنين ناقص 𝑡 واحد، وهذا كما نعلم يساوي Δ𝑡. لذا، يمكننا قول إن العجلة 𝑎 تساوي 𝑣 ناقص 𝑢 الكل مقسومًا على Δ𝑡.
إذا ضربنا طرفي هذه المعادلة في Δ𝑡، نجد أن Δ𝑡 في بسط الطرف الأيمن ومقامه يحذفان معًا. وبهذا، يتبقى لدينا المعادلة Δ𝑡 مضروبًا في 𝑎 يساوي 𝑣 ناقص 𝑢. إذا نظرنا إلى معادلة الإزاحة 𝑠 هذه، نجد أن لدينا في الحد الأول من الطرف الأيمن العامل 𝑣 ناقص 𝑢. ووفقًا لتعريف العجلة الذي ذكرناه سابقًا، فإن 𝑣 ناقص 𝑢 يساوي Δ𝑡 مضروبًا في 𝑎. هذا يعني أنه يمكننا التعويض عن 𝑣 ناقص 𝑢 في معادلة الإزاحة بـ Δ𝑡 مضروبًا في 𝑎. وبهذا يصبح الحد الأول في الطرف الأيمن لمعادلة الإزاحة s هذه هو نصف مضروبًا في Δ𝑡 مضروبًا في 𝑎 مضروبًا في Δ𝑡.
يمكننا إعادة كتابة هذه المعادلة بتجميع حدي Δ𝑡 معًا وكتابتهما على الصورة Δ𝑡 تربيع. وهذا يعطينا 𝑠 يساوي نصفًا في 𝑎 في Δ𝑡 تربيع زائد 𝑢 في Δ𝑡. وأخيرًا، نبدل ترتيب الحدود في الطرف الأيمن لنجد بذلك أن 𝑠 يساوي 𝑢 في Δ𝑡 زائد نصف في 𝑎 في Δ𝑡 تربيع. وهذا يتوافق مع المعادلة المعطاة في الخيار (أ). إذن، المعادلة التي تعبر تعبيرًا صحيحًا عن العلاقة بين العجلة والإزاحة والتغير في الزمن والموضحة على التمثيل البياني: هي 𝑠 يساوي 𝑢 في Δ𝑡 زائد نصف في 𝑎 في Δ𝑡 تربيع.
