فيديو الدرس: الجدول التكراري ذو المجموعات الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نكون جداول تكرارية ذات مجموعات، وكذلك نقرؤها ونفسرها. سنبدأ أولًا بالتعرف على معنى كلمة «تكرار»، والتعرف على جدول تكراري قياسي.

لنتخيل أن طالبًا يجري استطلاعًا في فصله لمعرفة عدد الكتب التي قرأها الطلاب خلال الشهر الأخير. سيطرح الطالب هذا السؤال على زملائه، ويمكنه تسجيل الإجابات في الجدول أدناه. كلمة «تكرار» تشير إلى عدد مرات ظهور قيمة ما.

إذا سجل الطالب النتائج التالية، فإن قيمة التكرار خمسة أسفل الخانة «صفر كتاب» ستعني أن هناك خمسة طلاب قد قرءوا صفرًا من الكتب؛ أي لم يقرءوا أي كتاب خلال الشهر الأخير. وقرأ ثمانية طلاب كتابًا واحدًا خلال الشهر الأخير. وقرأ أربعة طلاب كتابين. وقرأ طالبان ثلاثة كتب. وقرأ طالبان آخران أربعة كتب أو أكثر. نحن لا نعلم عدد الكتب بالضبط هنا. قد يكون أربعة وأربعة، على سبيل المثال، أو أربعة وستة، أو حتى ١٠و١٥ كتابًا. سنتعرف الآن على كيفية استخدام هذه الطريقة لتسجيل التكرار، عندما تكون البيانات مقسمة إلى مجموعات.

لنتخيل أن معلمًا ينظر في درجات أحد الاختبارات. سجل المعلم درجات الطلاب كلًا على حدة. لكنه يريد التوصل إلى نتائج مفيدة باستخدام هذه الدرجات. على سبيل المثال، قد يرغب في معرفة عدد الطلاب الذين حصلوا على ٥٠ درجة أو أكثر. في هذه الحالة، سيكون استخدام الجدول التكراري ذي المجموعات طريقة مثالية للحصول على هذه المعلومة.

بالنظر إلى الجدول، يمكننا أن نرى أن التكرار المقابل للدرجة من ٢٠ إلى ٢٩ يعني أن طالبين حصلا على درجة بين ٢٠و٢٩ في الاختبار. لكننا لا نعرف درجتيهما تحديدًا بالنظر إلى الجدول. على سبيل المثال، قد تكونان ٢١ درجة و٢٣ درجة، وقد تكون كلتاهما ٢٦. لا يعنينا هنا أن نعرف كل درجة على حدة. لأنه إذا أراد المعلم معرفة الدرجات كل على حدة، يمكنه ببساطة النظر إلى قائمة الدرجات.

نرى هنا أن الجداول التكرارية ذات المجموعات مفيدة جدًا في عرض النمط الشامل لأي مجموعة من البيانات. على سبيل المثال، يمكننا أن نرى أن درجات أغلب الطلاب في هذا الاختبار بين ٦٠و٦٩ درجة. كما أن الجداول التكرارية ذات المجموعات مفيدة جدًا في حالة البيانات المتصلة. وهي البيانات التي يمكن قياسها. على سبيل المثال، قياس أطوال الأشخاص وأوزانهم. سنتناول الآن بعض الأسئلة المختلفة المتعلقة بالجداول التكرارية ذات المجموعات، وسنبدأ بتفسير أحد الجداول.

يوضح الجدول التكراري التالي أوزان ٤٠ طالبًا في أحد الفصول. كم طالبًا يقل وزنه عن ٥٠ كيلوجرامًا؟

يمكننا أن نرى في هذا الجدول أن لدينا أوزان الطلاب، بالإضافة إلى التكرار. وكلمة «تكرار» هنا تعني عدد الطلاب في كل فئة من فئات الأوزان. وإذا نظرنا إلى الفئات، فسنجد أن ٣٠ شرطة يعني الوزن من ٣٠ إلى ٣٥ كيلوجرامًا، باستثناء الوزن ٣٥. هذا يعني أن الطلاب الذين يزنون ٣٥ كيلوجرامًا محسوبون ضمن الفئة الثانية. في هذه الفئة، سيكون لدينا الطلاب الذين يزنون من ٣٥ إلى ٤٠ كيلوجرامًا، باستثناء الوزن ٤٠، حيث سيكون ضمن الفئة الثالثة.

وبالتالي، إذا أردنا معرفة عدد الطلاب الذين تقل أوزانهم عن ٥٠ كيلوجرامًا، فسيكون إجمالي عدد الطلاب في الفئات الأربعة الأولى. وذلك لأننا نعلم أن وزن أي طالب في الفئة الأخيرة سيكون ٥٠ كيلوجرامًا أو أكثر. بالتالي، نجمع القيم الأربعة، وهي خمسة وثمانية و١٢ وتسعة، لنحصل على الإجابة: ٣٤ طالبًا.

سنتناول الآن سؤالًا علينا فيه إيجاد القيمة الناقصة في جدول تكراري ذي مجموعات.

أكمل الجدول التكراري الذي يبين درجات مجموعة من الطلاب في أحد الاختبارات.

لنبدأ بإلقاء نظرة على هذا الجدول. نرى، على سبيل المثال، أن التكرار ١٥ في فئة الدرجات من ٣٠ إلى ٣٤ يعني أن هناك ١٥ طالبًا تتراوح درجاتهم بين ٣٠و٣٤ في الاختبار. وبالمثل، التكرار ١٠ هنا يعني أن ١٠ طلاب حصلوا على درجات بين ٤٠و٤٤ في الاختبار. ونرى أيضًا أن العدد الإجمالي يساوي ٥٠، ما يعني أن ٥٠ طالبًا قد خضعوا لهذا الاختبار.

ويمكننا استخدام هذه المعلومة لإيجاد القيمة الناقصة في الفئة من ٤٥ إلى ٤٩. إذا جمعنا القيم المتبقية معًا، فسيصبح لدينا أربعة زائد خمسة زائد ١٥ زائد تسعة زائد ١٠ زائد أربعة، ما يساوي ٤٧. أي إن هناك ٤٧ طالبًا قد حصلوا على هذه الدرجات. وبحساب ٥٠ ناقص ٤٧، سنعرف عدد الطلاب الذين حصلوا على درجات بين ٤٥و٤٩، ويساوي ثلاثة. وبهذا نكون قد أكملنا الجدول التكراري.

باستخدام البيانات التالية لعدد أيام الغياب، أكمل الجدول التكراري.

يمكننا ملاحظة أن هذا الجدول مكون في الحقيقة من قسمين. القسم العلوي يمثل جميع أيام الغياب لكل طالب. وهذا يعني أنه، على سبيل المثال، تغيب أحد الطلاب سبعة أيام، وتغيب طالب آخر ١٠ أيام. علينا هنا تعبئة هذه البيانات في الجدول التكراري ذي المجموعات الموجود أسفل هذا الجدول. في العمود الأول من الجزء السفلي للجدول، سنجد عدد الطلاب الذي تغيبوا يومًا واحدًا أو يومين، وفي العمود الثاني عدد الطلاب الذي تغيبوا ثلاثة أو أربعة أيام، وهكذا. قد تكون أسرع طريقة لفعل ذلك هي إضافة صف لعلامات الإحصاء، ثم المرور على كل قيمة من البيانات تباعًا لوضعها في الخانة المناسبة لها في الجدول.

نبدأ بالعدد سبعة، يمكننا وضع علامة هنا في الجدول. ثم لدينا ١٠ أيام غيابًا لأحد الطلاب، ثم سبعة أيام أخرى. ونستمر في وضع العلامات وإكمال الجدول. بمجرد إكمال وضع علامات الإحصاء، يمكننا ملء صف التكرار. سيكون لدينا ستة للقيمة الأولى، وثلاثة للقيمة الثانية، وهكذا. بهذا نكون قد أكملنا الجدول التكراري بالقيم ستة وثلاثة وخمسة و١٠ وثمانية.

هناك طريقة جيدة للتحقق من صحة الإجابة، وهي جمع القيم الموجودة في صف التكرار. نرى هنا أن مجموع التكرارات سيكون ٣٢. وبما أن لدينا ثماني قيم في كل صف وأربع قيم في كل عمود، فهذا يعني أنه لا بد أن يكون لدينا ٣٢ قيمة إجمالًا.

في السؤال التالي، سنتناول كيفية تكوين جدول تكراري ذي مجموعات. وسننتبه جيدًا إلى المجموعات التي نستخدمها.

يوضح الجدول التالي الإجازات التي حصل عليها ٤٠ عاملًا خلال عام. من خلال تكوين جدول تكراري أو ما شابه، أوجد عدد العمال الذين حصلوا على ٢٠ يومًا أو أكثر في السنة.

يمكننا النظر إلى الجدول ونرى أن القيمة الأولى، على سبيل المثال، تعني أن أحد العمال حصل على ١٦ يومًا إجازة. أما القيمة الثانية، فتعني أن أحد العمال قد حصل على ١٨ يومًا إجازة، وهكذا. المطلوب هو حساب عدد العمال الذين حصلوا على إجازة ٢٠ يومًا أو أكثر من العمل. وعلينا فعل ذلك باستخدام جدول تكراري أو طريقة أخرى. لكن دعونا ننظر أولًا إلى الجدول التكراري، ثم نفكر فيما إذا كان بإمكاننا استخدام طريقة بديلة. لنكون جدولًا به صف لعدد أيام الغياب وصف للتكرار. ستشير كلمة «تكرار» هنا إلى عدد العمال الذين حصلوا على هذا العدد من أيام الإجازة.

والآن، هيا نفكر في الأعمدة أو المجموعات التي قد يتضمنها هذا الجدول التكراري. بما أن المطلوب هو إيجاد عدد العمال الذين حصلوا على إجازة ٢٠ يومًا أو أكثر، يمكننا نظريًا تكوين فئتين فقط؛ أيام غياب أقل من ٢٠ يومًا وأيام غياب تساوي ٢٠ يومًا أو أكثر. لكن دعونا نفترض أننا نريد تكوين جدول تكراري أكثر إفادة، وليس فقط للإجابة عن هذا السؤال الخاص بعدد العمال الذين حصلوا على إجازة ٢٠ يومًا أو أكثر. يمكننا التفكير في تجميع أيام الغياب في مجموعات مكونة من ١٠.

إذا بدأنا بتجميع الأيام من صفر إلى ١٠، ثم من ١٠ إلى ٢٠، فقد تواجهنا مشكلة محتملة. إذا كان لدينا عامل حصل على ١٠ أيام إجازة، فلن نعرف في أي مجموعة ندخله. وبالتالي، علينا تكوين مجموعات قيمها غير متداخلة. يمكننا الاستمرار في تكوين المجموعات. وبما أن أعلى قيمة لدينا تقع في الثلاثينيات، فستكون المجموعة من ٣٠ إلى ٣٩ هي أعلى مجموعة لدينا. يمكننا الآن المرور على قيم الجدول ووضع كل قيمة مفردة في المجموعة الملائمة لها. وقد يساعدنا في ذلك وضع صف لعلامات الإحصاء.

سنبدأ بالقيمة الأولى وهي ١٦، سنجد أنها تقع في المجموعة من ١٠ إلى ١٩. بعدها، لدينا القيمة ١٨ التي تقع أيضًا في المجموعة نفسها. ونستمر في إضافة القيم إلى المجموعات. بعد إكمال وضع علامات الإحصاء، يمكننا ملء قيم التكرار. بعدها، نتحقق مما فعلناه حتى الآن، عن طريق حساب إجمالي التكرارات. ستة زائد ١٥ زائد ١٧ زائد اثنين سيساوي القيمة ٤٠. يمكننا أن نرى أن هناك ٤٠ قيمة في الجدول أعلاه. ونحن نعرف أيضًا من السؤال أن لدينا ٤٠ عاملًا.

والآن، لمعرفة عدد العمال الذين حصلوا على إجازة ٢٠ يومًا أو أكثر، يمكننا النظر إلى المجموعتين من ٢٠ إلى ٢٩ ومن ٣٠ إلى ٣٩. إذا جمعنا ١٧ واثنين، فسنجد أن لدينا ١٩ عاملًا قد حصلوا على إجازة ٢٠ يومًا أو أكثر.

بالعودة إلى مسألة تكوين جدول تكراري أو استخدام طريقة أخرى، فما الطرق الأخرى التي كان بإمكاننا استخدامها لحل هذا السؤال؟ إذا نظرنا إلى البيانات الأصلية، كان من الممكن ببساطة عد العمال الذين حصلوا على إجازة ٢٠ يومًا أو أكثر. في هذه الحالة، كنا سنجد أن لدينا ١٩ قيمة، وهو ما يؤكد صحة إجابتنا الأصلية بأن هناك ١٩ عاملًا قد حصلوا على إجازة ٢٠ يومًا أو أكثر.

هيا نلخص الآن ما تعلمناه في هذا الفيديو. عرفنا أن كلمة «تكرار» تعني عدد مرات ظهور قيمة ما. ورأينا أن الجدول التكراري ذا المجموعات يستخدم في عرض البيانات في مجموعات. أي إننا لا نعرض القيم بصورة فردية. ولكن بدلًا من ذلك، نقسم نطاق القيم إلى مجموعات. ونسجل عدد نقاط البيانات الموجودة في كل مجموعة. وأخيرًا، عرفنا لماذا يجب أن ننتبه عند تكوين جدول تكراري ذي مجموعات للتأكد من عدم تداخل حدود المجموعات.