فيديو السؤال: إيجاد قيم المجاهيل في دالة قيمة مطلقة من تمثيلها البياني

التمثيل البياني في الشكل (i) هو التمثيل البياني للدالة ﺩ(ﺱ) = (٥‏/‏٢) |ﺱ| + (١‏/‏٢ ﺱ)، التي يمكن كتابتها أيضًا كالآتي: ﺩ(ﺱ) = ٣ﺱ‎، ﺱ ≥ ٠، ﺩ(ﺱ) = −٢ﺱ‎، ﺱ < ٠. أوجد قيمة كل من ﺃ، ‏ﺏ التي يمكن أن تجعل التمثيل البياني (ii) هو التمثيل البياني للدالة ﺭ(ﺱ) = ﺃ|ﺱ − ٥| + ﺏ(ﺱ − ٥).

١٠:٣٩

‏نسخة الفيديو النصية

التمثيل البياني في الشكل (١) هو التمثيل البياني للدالة ﺩﺱ تساوي خمسة على اثنين في القيمة المطلقة لـ ﺱ زائد نصف ﺱ، والتي يمكن كتابتها أيضًا كالآتي. ‏ﺩﺱ تساوي ثلاثة ﺱ عندما يكون ﺱ أكبر من أو يساوي صفرًا، وﺩﺱ تساوي سالب اثنين ﺱ عندما يكون ﺱ أصغر من صفر. أوجد قيمة كل من ﺃ وﺏ التي يمكن أن تجعل التمثيل البياني (٢) هو التمثيل البياني للدالة ﺭﺱ تساوي ﺃ في القيمة المطلقة لـ ﺱ ناقص خمسة زائد ﺏ في ﺱ ناقص خمسة.

في هذا السؤال، لدينا التمثيلان البيانيان لدالتين، ولدينا طريقتان مختلفتان للتعبير عن الدالة الموضحة في التمثيل البياني الأول. يمكننا تمثيلها إما باستخدام رمز القيمة المطلقة أو باستخدام دالة متعددة التعريف. يمكننا أن نرى أن التمثيل البياني الثاني يشبه كثيرًا التمثيل البياني الأول. وفي الواقع، علمنا من السؤال أن الدالة ﺭﺱ يمكن كتابتها بطريقة تشبه الدالة ﺩﺱ باستخدام رمز القيمة المطلقة. علينا استخدام كل هذه المعطيات لإيجاد قيمة كل من ﺃ وﺏ، وهناك العديد من الطرق المختلفة لفعل ذلك. على سبيل المثال، يمكننا أن نفعل ذلك مباشرة من خلال التمثيل البياني وتعريف الدالة ﺭﺱ. لكن، في البداية سنتناول تعريفي الدالة ﺩﺱ ونرى كيف يرتبط ذلك بالتمثيل البياني.

دعونا نبدأ بتناول الدالة المتعددة التعريف ﺩﺱ. يمكننا أن ننظر إلى الدالة الجزئية الأولى لـ ﺩﺱ. إنها تساوي ثلاثة ﺱ عندما يكون ﺱ أكبر من أو يساوي صفرًا. وبالطبع، هذا هو الخط المستقيم الذي ميله يساوي ثلاثة ويمر عبر نقطة الأصل، والتي تكون قيم ﺱ له أكبر من أو تساوي صفرًا. يمكننا توضيح هذا على التمثيل البياني باللون البرتقالي. يمكننا بعد ذلك إجراء الشيء نفسه مع الدالة الجزئية الثانية. وهي الدالة الموضحة باللون الوردي. ومن ثم، يمكننا إيجاد الدالة المتعددة التعريف ﺩﺱ عن طريق إيجاد معادلة لكل من الدالتين الجزئيتين. ووفقًا للتمثيل البياني، يمكننا ملاحظة أن معادلة الخط المستقيم باللون الوردي هي سالب اثنين ﺱ، ومعادلة الخط المستقيم باللون البرتقالي هي ثلاثة ﺱ. وهذا يعطينا الدالة المتعددة التعريف ﺩﺱ.

يمكننا تطبيق ذلك الآن على الدالة ﺭﺱ باستخدام هذا التمثيل البياني. لكن هذا لن يعطينا مباشرة قيمة كل من ﺃ وﺏ. لذا بدلًا من ذلك، علينا تحديد كيف ترتبط قيمة كل من ﺃ وﺏ بالدالة المتعددة التعريف. لكي نفعل ذلك، سنلقي نظرة مرة أخرى على الدالة ﺩﺱ. ولكن، في هذه المرة سنلقي نظرة على تعريف القيمة المطلقة لـ ﺩﺱ. بما أن القيمة المطلقة لـ ﺱ تتغير بناء على إذا ما كانت قيمة ﺱ موجبة أو سالبة، فإنه يمكننا معرفة ما يحدث في كلتا الحالتين. في البداية، إذا كانت قيمة ﺱ أكبر من أو تساوي صفرًا، فإن القيمة المطلقة لـ ﺱ ستساوي ﺱ فقط. إذن، ﺩﺱ ستساوي خمسة على اثنين ﺱ زائد نصف ﺱ، وهو ما يمكن أن نحسب قيمته لنحصل على ثلاثة ﺱ، وهو بالطبع ما يساوي الدالة الجزئية الأولى لـ ﺩﺱ.

يمكننا أن نفعل الأمر نفسه عندما تكون قيمة ﺱ أصغر من صفر. في هذه الحالة، القيمة المطلقة لـ ﺱ ستساوي سالب ﺱ، إذن ﺩﺱ ستساوي سالب خمسة على اثنين ﺱ زائد نصف ﺱ، وهو ما يساوي سالب اثنين ﺱ؛ أي الدالة الجزئية الثانية لـ ﺩﺱ. إذن، في حالة الدالة ﺩﺱ، نجد أن مجموع قيمتي المعاملين اللذين سيمثلان قيمة كل من ﺃ وﺏ لـ ﺩﺱ يعطينا ميل الدالة الجزئية الأولى، وعند عكس إشارة المعامل الأول وإضافة المعامل الثاني سنحصل على ميل الدالة الجزئية الثانية. هذا يمثل العلاقة بين معادلة كل دالة جزئية وقيمتي المعاملين الذين نريد إيجادهما.

يمكننا الآن تطبيق هذه العملية نفسها على الدالة ﺭﺱ. وهناك العديد من الطرق المختلفة التي يمكننا اتباعها لإجراء ذلك. على سبيل المثال، يمكننا إيجاد الدالة المتعددة التعريف ﺭﺱ من تمثيلها البياني. ولكن، هذا ليس ضروريًّا. فبدلًا من ذلك، سنفعل هذا مباشرة باستخدام المعادلة المعطاة. هيا نبدأ بالحالة التي يكون فيها ﺱ أكبر من أو يساوي خمسة. في هذه الحالة، القيمة المطلقة لـ ﺱ ناقص خمسة ستساوي ﺱ ناقص خمسة لأنها قيمة موجبة. وهذا يعطينا ﺭﺱ تساوي ﺃ في ﺱ ناقص خمسة زائد ﺏ في ﺱ ناقص خمسة عندما يكون ﺱ أكبر من أو يساوي خمسة. ولقد حددنا هذا الجزء من التمثيل البياني الذي يكون فيه ﺱ أكبر من أو يساوي خمسة باللون الأزرق.

يمكننا بعد ذلك توزيع الأقواس وتبسيط هذا المقدار. وبذلك، نحصل على ﺃ زائد ﺏ مضروبًا في ﺱ ناقص خمسة ﺃ ناقص خمسة ﺏ. وستكون هذه هي الدالة الجزئية للجزء المحدد باللون الأزرق على التمثيل البياني. والآن، هناك بعض الطرق المختلفة التي يمكننا من خلالها استخدام ذلك لإيجاد مقدار بدلالة ﺃ وﺏ. سنستخدم حقيقة أن هذه دالة خطية. وفي أي دالة خطية، يكون معامل ﺱ هو ميل الخط المستقيم. هذا يعني أن ميل الخط المستقيم باللون الأزرق يجب أن يساوي ﺃ زائد ﺏ، ويمكننا إيجاد ميل هذا المستقيم من التمثيل البياني. لكل خمس وحدات إلى اليمين، نتحرك خمس وحدات لأعلى. إذن، ميل هذا الخط المستقيم يساوي واحدًا. ومن ثم، يجب أن يكون معامل ﺱ مساويًا لواحد. وعليه، ﺃ زائد ﺏ يساوي واحدًا.

دعونا نطبق الآن العملية نفسها على الدالة الجزئية الأخرى. في هذه الدالة الجزئية، قيم ﺱ أصغر من خمسة، لذا فإن القيمة المطلقة لـ ﺱ ناقص خمسة ستساوي خمسة ناقص ﺱ. ومن ثم، ﺭﺱ تساوي ﺃ في خمسة ناقص ﺱ زائد ﺏ في ﺱ ناقص خمسة. يمكننا بعد ذلك توزيع الأقواس والتبسيط بالطريقة السابقة نفسها. وهذه المرة، سنحصل على ﺏ ناقص ﺃ مضروبًا في ﺱ زائد خمسة ﺃ ناقص خمسة ﺏ. والآن يمكننا إيجاد مقدار يعبر عن ﺏ ناقص ﺃ عن طريق مساواته بميل المستقيم. يمكننا بعد ذلك إيجاد ميل هذا المستقيم من التمثيل البياني. لكل خمس وحدات نتحركها إلى اليمين، نتحرك ١٥ وحدة لأسفل. وسالب ١٥ مقسومًا على خمسة يساوي سالب ثلاثة. إذن، ميل هذا الخط المستقيم يساوي سالب ثلاثة. ومن ثم، فإن معامل ﺱ يساوي سالب ثلاثة. وعليه، ﺏ ناقص ﺃ يساوي سالب ثلاثة.

وبذلك، أصبح لدينا معادلتان بدلالة ﺃ وﺏ. يمكننا حل هاتين المعادلتين آنيًّا، وهناك عدة طرق مختلفة لإجراء ذلك. سنجمع المعادلتين معًا لحذف ﺃ. وبذلك نجد أن اثنين ﺏ يساوي سالب اثنين، وهو ما يمكننا حله لإيجاد قيمة ﺏ بقسمة الطرفين على اثنين. إذن، ﺏ يساوي سالب واحد. وأخيرًا، يمكننا إيجاد قيمة ﺃ بالتعويض بقيمة ﺏ في إحدى المعادلتين السابقتين. على سبيل المثال، نحن نعلم أن ﺃ زائد ﺏ يساوي واحدًا، وﺏ يساوي سالب واحد، إذن قيمة ﺃ تساوي اثنين.

وبذلك، نكون قد أثبتنا أنه لكي يكون التمثيل البياني الموضح في الشكل (٢) هو التمثيل البياني للدالة ﺭﺱ تساوي ﺃ في القيمة المطلقة لـ ﺱ ناقص خمسة زائد ﺏ في ﺱ ناقص خمسة، فإن قيمة ﺃ يجب أن تساوي اثنين وقيمة ﺏ يجب أن تساوي سالب واحد.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.