فيديو: طريقة جاوس-جوردن للحذف

يوضح الفيديو الفرق بين الصورة المثلثية والصورة المثلثية المختزلة للمصفوفات، ويشرح طريقة جاوس-جوردن للحذف، ومثالًا عليها.

٠٥:٤٠

‏نسخة الفيديو النصية

طريقة جاوس جوردن للحذف.

في الفيديو ده هنتعلّم طريقة جاوس جوردن للحذف، في المصفوفات. إذا استمرّينا في العمليات على صفوف المصفوفات، بعد الوصول للصورة المثلثية للدالة الموسَّعة. بنوصل لمصفوفة بيكون فيها أول معامل غير صفري في كل صف بيساوي واحد، وباقي عناصر المصفوفة بتساوي صفر. يعني قطر المصفوفة بيتكوّن من معامل غير صفري بيساوي واحد، وباقي المصفوفة أصفار، ما عدا العمود الأخير. وبنسمي الشكل ده، الصورة المثلثية المختزَلة للمصفوفة.

وبتتميز الصورة المثلثية المختزلة، إنها بتكون صورة وحيدة لكل نظام معادلات، مهما كان شكل العمليات اللي تمّت على المصفوفة. بينما الصورة المثلثية ممكن تكون بأكتر من صورة لكل نظام معادلات. والخطوات اللي بتوصّلنا للشكل ده، بنسميها طريقة جاوس جوردن للحذف. نسبةً للعالِمين كارل فريدريك جاوس، وَوليام جوردن.

نحل مثال. أوجد حل نظام المعادلات: س ناقص ص زائد ع يساوي صفر. وسالب س زائد اتنين ص ناقص تلاتة ع بيساوي سالب خمسة. واتنين س ناقص تلاتة ص زائد خمسة ع بيساوي تمنية. نكتب المصفوفة الموسَّعة المناظرة لنظام المعادلات. ونجري العمليات على الصفوف، لحدّ ما نوصل للصورة المثلثية المختزلة. فأول حاجة نكتب المصفوفة، ونبدأ العمليات على الصفوف. ونظرًا لأننا ممكن نستعمل عمليات مختلفة على الصفوف، لحل نفس نظام المعادلات. فممكن نحلّ بنمط معيّن، بيمنع إجراء عمليات بدون داعي.

وده بإننا هنبدأ بالعنصر الأول في الصف الأول، ونوصّله لواحد. بعد كده نبدأ العمليات على العنصر الأول في الصف التاني، ونوصّله لصفر. بعد كده نوصّل العنصر الأول في الصف التالت، لصفر. بعدين العنصر التاني في الصف التالت، لصفر. بعدين العنصر التالت في الصف التالت، لواحد. بعدين نطلع للصف التاني، ونوصّل العنصر التالت، لصفر. بعدين نوصّل العنصر التاني، لواحد. ونطلع للصف الأول، ونوصّل العنصر التاني، لصفر. بعدين نوصّل العنصر التالت، لصفر. وبالشكل ده، هتكون عناصر القطر بتساوي واحد، وباقي عناصر المصفوفة بتساوي أصفار. والعمود الأخير هيكون فيه قيم س، وَ ص، وَ ع.

نبدأ نحلّ. بما إن العنصر الأول في الصف الأول بيساوي واحد، فهنوصّل العنصر الأول في الصف التاني لصفر. وده هيبقى بإننا نجمع الصف الأول مع الصف التاني، ونكتب الناتج مكان الصف التاني. ننقل اللي وصلنا له في صفحة تانية، ونكمّل. بعدين نوصّل العنصر الأول في الصف التالت لصفر. وده هيبقى بإننا نجمع سالب اتنين في الصف الأول، مع الصف التالت، ونكتب الناتج مكان الصف التالت. بعدين نوصّل العنصر التاني في الصف التالت لصفر. وده هيبقى بإننا نجمع الصف التاني، مع الصف التالت، ونكتب الناتج في الصف التالت.

نلاحظ إن كده وصلنا للصورة المثلثية للمصفوفة. بما إن العنصر التالت في الصف التالت بقى بيساوي واحد، فنوصّل العنصر التالت في الصف التاني لصفر. وده هيبقى بإننا نجمع اتنين في الصف التالت، مع الصف التاني، ونكتب الناتج في الصف التاني. ننقل اللي وصلنا له لصفحة تانية، ونكمّل. كده العنصر التاني في الصف التاني بقى بيساوي واحد، فهنوصّل العنصر التاني في الصف الأول لصفر. وده هيبقى بإننا نجمع الصف التاني مع الصف الأول، ونكتب الناتج في الصف الأول. بعدين آخر خطوة، نوصّل العنصر التالت في الصف الأول لصفر. وده هيبقى بإننا هنضرب الصف التالت في سالب واحد، ونجمعه على الصف الأول، ونكتب الناتج في الصف الأول.

وبكده نبقى وصلنا للصورة المثلثية المختزلة. ومن هنا نقدر نقول إن حل نظام المعادلات، من الصف الأول، هنلاقي س بتساوي سالب اتنين. ومن الصف التاني، هنلاقي ص بتساوي واحد. ومن الصف التالت، هنلاقي ع بتساوي تلاتة. أو ممكن نكتب الحل على الصورة: سالب اتنين، واحد، تلاتة. ولو عاوزين نتحقّق من الإجابة، ممكن نعوّض قيم س وَ ص وَ ع، في نظام المعادلات الأصلي. ونشوف إذا كان هيحقّق المعادلات، ولّا لأ.

يبقى في الفيديو ده اتعلّمنا طريقة جاوس جوردن للحذف، في المصفوفات. وبيها ما بنحتاجش إننا نستخدم التعويض لإيجاد المتغيرات.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.