تم إلغاء تنشيط البوابة. يُرجَى الاتصال بمسؤول البوابة لديك.

فيديو السؤال: إيجاد المعادلة المتجهة لمستقيم التقاطع بين مستويين الرياضيات

أوجد المعادلة المتجهة للخط المستقيم الناتج عن تقاطع المستويين ٣ﺱ + ﺹ − ٥ﻉ = ٠، ﺱ + ٢ﺹ + ﻉ + ٤ = ٠.

٠٦:٤٤

‏نسخة الفيديو النصية

أوجد المعادلة المتجهة للخط المستقيم الناتج عن تقاطع المستويين ثلاثة ﺱ زائد ﺹ ناقص خمسة ﻉ يساوي صفرًا، وﺱ زائد اثنين ﺹ زائد ﻉ زائد أربعة يساوي صفرًا.

لإيجاد المعادلة المتجهة للخط المستقيم الناتج عن تقاطع مستويين، علينا إيجاد متجه الموضع ﺃ لنقطة تقع في كلا المستويين، أي تقع على خط التقاطع. علينا بعد ذلك إيجاد متجه اتجاه ﻫ غير صفري ومواز للخط المستقيم. ولإيجاد نقطة تقع في كلا المستويين، نبدأ باختيار قيمة لأحد المتغيرات. دعونا نختر ﺹ يساوي صفرًا. نلاحظ أنه يمكننا هنا اختيار أي من المتغيرات الثلاثة ونحدد أي قيمة له؛ لأنه يوجد عدد لا نهائي من النقاط على أي خط في الفضاء.

باختيار قيمة محددة للمتغير، مثل ﺹ يساوي صفرًا، فإن النقطة المناظرة على مستقيم التقاطع يكون لها قيمتان محددتان للمتغيرين الآخرين. إذن، باستخدام القيمة المحددة لـ ﺹ، وهي ﺹ صفر يساوي صفرًا، يمكننا حل معادلتي المستويين لإيجاد قيمة ﺱ صفر وﻉ صفر باستخدام ﺹ يساوي ﺹ صفر.

بالتعويض عن ﺹ بصفر في معادلتي المستويين، يصبح لدينا في المعادلة الأولى ثلاثة ﺱ ناقص خمسة ﻉ يساوي صفرًا. وفي المعادلة الثانية، يصبح لدينا ﺱ زائد ﻉ زائد أربعة يساوي صفرًا. بإضافة خمسة ﻉ وقسمة طرفي المعادلة الأولى على ثلاثة، نحصل على ﺱ يساوي خمسة على ثلاثة ﻉ، وهو ما نعوض به بعد ذلك عن ﺱ في المعادلة الثانية. بضرب الطرفين في ثلاثة ثم تجميع الحدود المتشابهة، نحصل على ثمانية ﻉ زائد ١٢ يساوي صفرًا. وبالحل لإيجاد قيمة ﻉ، نحصل على سالب ثلاثة على اثنين، وهذا يساوي سالب ١٫٥.

بالتعويض بهذه القيمة في المعادلة التي حصلنا عليها من ﻡ واحد، نجد أن ﺱ يساوي خمسة على ثلاثة مضروبًا في سالب ثلاثة على اثنين. وبحذف العدد ثلاثة في كل من البسط والمقام، نحصل على ﺱ يساوي سالب خمسة على اثنين، وهو ما يساوي سالب ٢٫٥. ومن ثم، فإن متجه الموضع ﺃ لنقطة على الخط المستقيم مركباته هي ﺱ صفر يساوي سالب ٢٫٥ وﺹ صفر يساوي صفرًا وﻉ صفر يساوي سالب ١٫٥.

نفرغ الآن بعض المساحة، وستكون الخطوة التالية هي إيجاد متجه اتجاه مواز لمستقيم التقاطع. ولفعل ذلك، نوجد حاصل الضرب الاتجاهي لمتجهين عموديين على المستويين. يمكننا إيجاد المتجهين العموديين بسهولة من معادلتي المستويين من خلال قراءة معاملات المتغيرات لكل مستوى. إذن، المتجه العمودي على المستوى رقم واحد مركباته هي ثلاثة وواحد وسالب خمسة. وبالمثل، المتجه العمودي على المستوى رقم اثنين مركباته هي واحد واثنان وواحد. نتذكر الآن أن حاصل الضرب الاتجاهي لمتجهين في فضاء ثلاثي الأبعاد هو محدد المصفوفة التي تكون عناصر صفها الأول هي متجهات الوحدة ﺱ وﺹ وﻉ، وعناصر صفيها الثاني والثالث هي مركبات المتجهين.

بالفك باستخدام الصف الأول، نحصل على محدد مصفوفة من الرتبة اثنين في اثنين عناصرها هي واحد، سالب خمسة، اثنان، واحد مضروبًا في ﺱ ناقص محدد مصفوفة من الرتبة اثنين في اثنين عناصرها هي ثلاثة، سالب خمسة، واحد، واحد مضروبًا في ﺹ زائد محدد المصفوفة التي عناصرها ثلاثة، واحد، واحد، اثنان مضروبًا في ﻉ. وبتذكر أن محدد المصفوفة من الرتبة اثنين في اثنين التي عناصرها ﺃ، ﺏ، ‏ﺟ، ‏ ﺩ يساوي ﺃﺩ ناقص ﺏﺟ، نجد أن متجه الاتجاه ﻫ يساوي واحدًا ناقص سالب ١٠ﺱ ناقص ثلاثة ناقص سالب خمسة ﺹ زائد ستة ناقص واحد ﻉ. وهذا يساوي ١١ﺱ ناقص ثمانية ﺹ زائد خمسة ﻉ. إذن، متجه اتجاه المستقيم الناتج عن تقاطع المستويين مركباته هي ١١ وسالب ثمانية وخمسة.

نفرغ بعض المساحة، ويصبح لدينا الآن متجه الموضع ﺃ لنقطة على مستقيم التقاطع ومتجه الاتجاه ﻫ. ومن ثم، فإن المعادلة المتجهة للخط المستقيم الناتج عن تقاطع المستويين المعطيين هي ﺭ يساوي المتجه الذي مركباته سالب ٢٫٥ وصفر وسالب ١٫٥ زائد ﻙ مضروبًا في المتجه الذي مركباته ١١ وسالب ثمانية وخمسة. تجدر الإشارة إلى أن النقطة ﺃ حصلنا عليها من خلال اختيار القيمة ﺹ يساوي صفرًا. وفي الواقع، كان بإمكاننا اختيار قيمة محددة لـ ﺱ أو ﻉ بدلًا من ذلك. فنحصل على نقطة أخرى لـ ﺃ، لكنها تقع أيضًا على مستقيم التقاطع.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.