فيديو السؤال: اشتقاق الدوال الكسرية الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

أوجد اشتقاق ﺩﻥ يساوي واحدًا ناقص ٨١ﻥ أس أربعة الكل مقسوم على ثلاثة ﻥ الكل مرفوع لأس خمسة.

مطلوب منا اشتقاق الدالة ﺩﻥ، ويمكننا ملاحظة أن ﺩﻥ هي خارج قسمة دالتين. في البسط، لدينا واحد ناقص ٨١ﻥ أس أربعة. وفي المقام، لدينا ثلاثة ﻥ الكل مرفوع لأس خمسة. لذا، قد نرغب في اشتقاق الدالة باستخدام قاعدة القسمة. لأنه يمكننا اشتقاق البسط والمقام بالنسبة إلى ﻥ. وهذه طريقة صحيحة.

لكن في حالتنا هذه توجد طريقة أبسط. بدلًا من استخدام قاعدة القسمة مباشرة، سنوزع أولًا الأس خمسة على القوسين في المقام. عندما نفعل ذلك، نجد أن ﺩﻥ تساوي واحدًا ناقص ٨١ﻥ أس أربعة الكل مقسوم على ٢٤٣ﻥ أس خمسة. والآن يمكننا أن نلاحظ شيئًا مثيرًا للاهتمام. ألا وهو أنه يمكننا قسمة كلا الحدين في البسط على المقام. وبذلك، نحصل على واحد على ٢٤٣ﻥ أس خمسة ناقص ٨١ﻥ أس أربعة مقسومًا على ٢٤٣ﻥ أس خمسة.

والآن يمكننا البدء في التبسيط. في الحد الثاني، ٨١ على ٢٤٣ يساوي ثلثًا. ويمكننا أيضًا طرح أربعة من أس المتغير ﻥ في كل من البسط والمقام. هذا يعطينا واحدًا على ٢٤٣ﻥ أس خمسة ناقص واحد على ثلاثة ﻥ. وآخر شيء سنفعله هو استخدام قوانين الأسس لإعادة كتابة عوامل ﻥ من المقام إلى البسط. وهذا يعطينا ﻥ أس سالب خمسة على ٢٤٣ ناقص ﻥ أس سالب واحد على ثلاثة.

والآن نلاحظ أنه يمكننا إيجاد قيمة مشتقات كلا الحدين باستخدام قاعدة القوى للاشتقاق. نريد الضرب في أس ﻥ ثم نطرح واحدًا من هذا الأس، لذا يمكننا إيجاد قيمة مشتقة ﺩﻥ لكل حد. في الحد الأول، أس ﻥ هو سالب خمسة. لذا علينا الضرب في هذا الأس ثم نطرح واحدًا من هذا الأس. هذا يعطينا سالب خمسة ﻥ أس سالب ستة مقسومًا على ٢٤٣. وفي الحد الثاني، أس ﻥ يساوي سالب واحد. لذا نضرب في سالب واحد ثم نطرح واحدًا من هذا الأس.

إذن، نطرح سالب واحد في ﻥ أس سالب اثنين مقسومًا على ثلاثة. وبالطبع، يمكننا التبسيط. طرح سالب واحد في ﻥ أس سالب اثنين على ثلاثة يساوي إضافة ﻥ أس سالب اثنين على ثلاثة. وأخيرًا، نعيد ترتيب هذه الحدود لنحصل على ثلث ﻥ أس سالب اثنين ناقص خمسة على ٢٤٣ في ﻥ أس سالب ستة. وهذه هي الإجابة النهائية.

في هذا السؤال، كان لدينا الدالة ﺩﻥ تساوي واحدًا ناقص ٨١ﻥ أس أربعة الكل مقسوم على ثلاثة ﻥ الكل مرفوع لأس خمسة. وكان مطلوبًا منا اشتقاق تلك الدالة. وبدلًا من فعل ذلك باستخدام قاعدة القسمة، تمكنا من تحويل التعبير إلى صورة يمكننا اشتقاقها باستخدام قاعدة القوى للاشتقاق. وأوجدنا ﺩ شرطة ﻥ يساوي ثلث ﻥ أس سالب اثنين ناقص خمسة على ٢٤٣ﻥ أس سالب ستة.