نسخة الفيديو النصية
في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نحل المسائل التي تتضمن توافيق.
التوافيق هي مجموعة مكونة من ﺭ من العناصر التي اختيرت دون تكرار من مجموعة مكونة من ﻥ من العناصر. ولا يهم الترتيب. أما التباديل، فهي مجموعة مكونة من ﺭ من العناصر التي اختيرت دون تكرار من مجموعة مكونة من ﻥ من العناصر، والترتيب فيها مهم. نلاحظ أن الاختلاف الأساسي بين هذين التعريفين هو أهمية ترتيب اختيار العناصر. على سبيل المثال، عند اختيار العنصرين ﺃ وﺏ من مجموعة ما، يمكننا اختيار ﺃ ثم ﺏ أو ﺏ ثم ﺃ. في التوافيق، لا يهم الترتيب. لذا، نعتبر هذين الخيارين متماثلين. وبالتالي، توجد طريقة واحدة لاختيارهما. أما في حالة التباديل، فيختلف هذان الخياران عند عكس ترتيب عنصريهما. هذا يعني أن عدد التباديل الناتجة هو اثنان.
نرى هنا أن استخدام التباديل ينتج عنه عدد أكبر. وفي الواقع، ينتج عنه عدد أكبر بمقدار مضروب ﺭ. هذا يعني أنه يمكننا تعريف العدد ﺭ من التوافيق المأخوذة من ﻥ من العناصر بأنه العدد ﺭ من التباديل المأخوذة من ﻥ من العناصر مقسومًا على مضروب ﺭ. ولعلنا نتذكر أن ﻥﻝﺭ يساوي مضروب ﻥ على مضروب ﻥ ناقص ﺭ. وهو ما يعني أن ﻥﻝﺭ مقسومًا على مضروب ﺭ يمكن كتابته على صورة مضروب ﻥ على مضروب ﺭ في مضروب ﻥ ناقص ﺭ. يمكننا الآن تطبيق التعريف التالي. نعرف عدد التوافيق ﺭ من مجموعة مكونة من ﻥ من العناصر بأنه ﻥﻕﺭ، وهو ما يساوي مضروب ﻥ على مضروب ﺭ في مضروب ﻥ ناقص ﺭ.
يمكن قراءة هذا الرمز كـ ﻥﻕﺭ أو ﻥ توافيق ﺭ. ويشار إليه أحيانًا أيضًا بمعامل ذات الحدين. وقد تراه مكتوبًا في بعض الأحيان كما هو موضح. سنتناول الآن الخصائص الأساسية لـ ﻥ توافيق ﺭ، وكيف يمكننا تطبيقها لتبسيط المقادير وحل المعادلات. لنبدأ بتناول مثال نستخدم فيه هذه الصيغة لمساعدتنا في إيجاد قيمة مقدار يحتوي على توافيق.
أوجد قيمة ٢٣ توافيق ثمانية على ٢٣ توافيق ستة بدون استخدام الآلة الحاسبة.
في هذا السؤال، المطلوب منا هو إيجاد خارج قسمة. ولكي نفعل ذلك دون استخدام الآلة الحاسبة، نسترجع أولًا معنى ﻥﻕﺭ أو ﻥ توافيق ﺭ. يمثل ﻥ توافيق ﺭ العدد ﺭ من التوافيق المأخوذة من مجموعة مكونة من ﻥ من العناصر. ويساوي مضروب ﻥ على مضروب ﺭ في مضروب ﻥ ناقص ﺭ. سنبدأ إذن بإيجاد تعبيرين بدلالة المضروبات لكل من ٢٣ توافيق ثمانية و٢٣ توافيق ستة.
نبدأ بـ ٢٣ توافيق ثمانية، ونلاحظ من الصيغة أننا سنجعل ﻥ يساوي ٢٣ وﺭ يساوي ثمانية. هذا يعني أن ٢٣ توافيق ثمانية يمكن كتابته على صورة مضروب ٢٣ على مضروب ثمانية في مضروب ٢٣ ناقص ثمانية. وبما أن ٢٣ ناقص ثمانية يساوي ١٥، يمكننا تبسيط ذلك قليلًا ليصبح لدينا مضروب ٢٣ على مضروب ثمانية في مضروب ١٥.
دعونا نكرر هذه العملية مع ٢٣ توافيق ستة. هذه المرة ﻥ يساوي أيضًا ٢٣، لكن ﺭ يساوي ستة. وبالتالي، ٢٣ توافيق ستة يساوي مضروب ٢٣ مقسومًا على مضروب ستة في مضروب ٢٣ ناقص ستة. يمكن تبسيط ذلك إلى مضروب ٢٣ على مضروب ستة في مضروب ١٧.
والآن، نريد إيجاد خارج قسمة هاتين القيمتين. ٢٣ توافيق ثمانية مقسومًا على ٢٣ توافيق ستة. سنوجد إذن قيمة مضروب ٢٣ على مضروب ثمانية في مضروب ١٥ مقسومًا على مضروب ٢٣ على مضروب ستة في مضروب ١٧. يمكننا جعل هذه العملية الحسابية أسهل بتذكرنا أنه عند القسمة على كسر، نضرب في مقلوب هذا الكسر. إذن، نضرب المقدار ٢٣ توافيق ثمانية في واحد على المقدار ٢٣ توافيق ستة، وهو ما يساوي مضروب ستة في مضروب ١٧ على مضروب ٢٣.
هذه الخطوة مفيدة حقًا؛ لأنه يمكننا الآن التبسيط بالقسمة بسطًا ومقامًا على مضروب ٢٣. في الحقيقة، يمكننا التبسيط أكثر من ذلك أيضًا. دعونا نضرب البسطين ثم نضرب المقامين كلًا على حدة ليصبح لدينا مضروب ستة في مضروب ١٧ على مضروب ثمانية في مضروب ١٥. ونطبق بعد ذلك تعريف المضروب. نعرف أن مضروب ﻥ يساوي ﻥ في ﻥ ناقص واحد في ﻥ ناقص اثنين، وهكذا وصولًا إلى واحد. هذا يعني أن مضروب ١٧ يساوي ١٧ في ١٦ في ١٥، وهكذا.
لكن يمكننا بالطبع كتابة ذلك على صورة ١٧ في ١٦ في مضروب ١٥. وعليه، إذا عوضنا عن مضروب ١٧ في هذا الكسر بـ ١٧ في ١٦ في مضروب ١٥، فسيمكننا قسمة البسط والمقام على مضروب ١٥ ليتبقى لدينا مضروب ستة في ١٧ في ١٦ على مضروب ثمانية. لكن ماذا إذا كتبنا مضروب ثمانية على صورة ثمانية في سبعة في مضروب ستة؟ عندما نفعل ذلك، سيمكننا قسمة البسط والمقام على مضروب ستة. وبذلك يتبقى لدينا ١٧ في ١٦ على ثمانية في سبعة.
في الواقع، لدينا عامل آخر مشترك بين البسط والمقام. فيمكننا قسمة البسط والمقام على ثمانية ليصبح البسط ١٧ في اثنين، والمقام سبعة. ١٧ في اثنين يساوي ٣٤. وبذلك نكون قد وجدنا، دون استخدام الآلة الحاسبة، أن ٢٣ توافيق ثمانية على ٢٣ توافيق ستة يساوي ٣٤ على سبعة.
نلاحظ هنا أنه ببعض المهارة في المعالجة وإعادة كتابة حدود المضروبات، يمكننا تبسيط النتائج بشكل رائع حقًا. سنتعرف الآن على كيفية حل المعادلات باستخدام هذه الصيغ.
إذا كان تسعة توافيق ﺭ يساوي تسعة توافيق ثلاثة، فأوجد جميع قيم ﺭ الممكنة.
لنبدأ مباشرة بتذكر ما نعرفه عن ﻥ توافيق ﺭ. ﻥ توافيق ﺭ، أو ﻥﻕﺭ، الذي يمثل العدد ﺭ من التوافيق المأخوذة من مجموعة مكونة من ﻥ من العناصر، يساوي مضروب ﻥ على مضروب ﺭ في مضروب ﻥ ناقص ﺭ. يمكننا القول إذن إن الطرف الأيمن من هذه المعادلة، وهو تسعة توافيق ﺭ، يمكن كتابته على صورة مضروب تسعة على مضروب ﺭ في مضروب تسعة ناقص ﺭ. وبعد ذلك، يمكننا كتابة الطرف الأيسر، تسعة توافيق ثلاثة، على صورة مضروب تسعة على مضروب ثلاثة في مضروب تسعة ناقص ثلاثة، أو مضروب تسعة على مضروب ثلاثة في مضروب ستة.
وبالطبع كل منهما يساوي الآخر. بعبارة أخرى، مضروب تسعة على مضروب ﺭ في مضروب تسعة ناقص ﺭ يساوي مضروب تسعة على مضروب ثلاثة في مضروب ستة. وبمقارنة الطرفين، يمكننا ربط ﺭ بهذه القيمة. في هذه الحالة، نقول إن ﻥ يساوي تسعة وﺭ يساوي ثلاثة. لكن في الواقع، توجد قيمة أخرى لـ ﺭ. تستند قيمة ﺭ هذه إلى حقيقة أن الضرب عملية إبدالية، أي يمكن إجراؤها بأي ترتيب. بعبارة أخرى، يمكننا عكس الحدين في المقام. وهو ما يعني أنه يمكننا عكس ترتيب العددين ثلاثة وستة.
عندما نفعل ذلك، لا تتغير في الواقع قيمة المقدار. لكن يمكننا الآن أن نقول إن ﻥ لا بد أن يساوي تسعة، وﺭ لا بد أن يساوي ستة. في هذه الحالة، تسعة ناقص ﺭ يجب أن يساوي ثلاثة. بافتراض أن ﺭ يساوي ستة، نجد أن تسعة ناقص ﺭ يساوي تسعة ناقص ستة، وهو ما يساوي ثلاثة بالفعل. وبالتالي، توجد قيمة ثانية لـ ﺭ يمكننا اختيارها. ﺭ يمكن أن يساوي ستة. إذا كان تسعة توافيق ﺭ يساوي تسعة توافيق ثلاثة، فيمكننا القول إن ﺭ يمكن أن يساوي ثلاثة أو ﺭ يمكن أن يساوي ستة.
يوضح هذا المثال تماثل التوافيق. في الواقع، يمكننا التعميم وقول إن ﻥ توافيق ﺭ يساوي دائمًا ﻥ توافيق ﻥ ناقص ﺭ. في المثال التالي، سنتناول ما يسمى العلاقة التكرارية.
بتطبيق العلاقة ﻥ توافيق ﺭ زائد ﻥ توافيق ﺭ ناقص واحد يساوي ﻥ زائد واحد توافيق ﺭ، أوجد قيمة ٥٩ توافيق اثنين زائد ٥٩ توافيق ثلاثة.
تسمى هذه العلاقة بالعلاقة التكرارية. ويمكن أن تساعدنا في تبسيط المقادير. في هذه الحالة، نريد استنتاج قيمة ٥٩ توافيق اثنين زائد ٥٩ توافيق ثلاثة. لنقارن إذن هذا المقدار بالعلاقة التكرارية. في هذه العلاقة، نلاحظ أن لدينا في الطرف الأيمن حدين لهما قيمة ﻥ نفسها. فلدينا ٥٩ توافيق اثنين و٥٩ توافيق ثلاثة. إذن، سنجعل ﻥ يساوي ٥٩. بعد ذلك، لدينا ﺭ وﺭ ناقص واحد. قيمة ﺭ في الحد الأول أكبر. وفي الحد الثاني، قيمة ﺭ أقل بواحد.
لنتخيل إذن أننا سنبدل ترتيب ٥٩ توافيق ثلاثة و٥٩ توافيق اثنين ليتطابقا مع هذا المعيار. عندما نفعل ذلك، سنلاحظ أن ﺭ لا بد أن يساوي ثلاثة. ﺭ ناقص واحد يساوي ثلاثة ناقص واحد، وهو ما يساوي اثنين كالمطلوب. وفقًا للعلاقة المعطاة في السؤال، ٥٩ توافيق ثلاثة زائد ٥٩ توافيق اثنين لا بد أن يساوي ﻥ زائد واحد، أي ٥٩ زائد واحد، توافيق ثلاثة. هذا يساوي ٦٠ توافيق ثلاثة. إذن لاستنتاج قيمة المقدار المعطى في السؤال، علينا إيجاد قيمة ٦٠ توافيق ثلاثة.
لعلنا نتذكر أن ﻥ توافيق ﺭ يساوي مضروب ﻥ على مضروب ﺭ في مضروب ﻥ ناقص ﺭ. علينا ألا نخلط هنا بين ﻥ وﺭ والقيمتين اللتين حددناهما سابقًا. فهذه المرة ﻥ يساوي ٦٠، وﺭ ما يزال يساوي ثلاثة. نصل بذلك إلى أن ٦٠ توافيق ثلاثة يساوي مضروب ٦٠ على مضروب ثلاثة في مضروب ٦٠ ناقص ثلاثة أو مضروب ٦٠ على مضروب ثلاثة في مضروب ٥٧. والآن يمكننا استخدام الآلة الحاسبة لإيجاد قيمة ذلك، لكن دعونا نلق نظرة على تعريف المضروب وكيف يساعدنا على التبسيط.
مضروب ﻥ يساوي ﻥ في ﻥ ناقص واحد في ﻥ ناقص اثنين، وهكذا وصولًا إلى واحد. هذا يعني أن مضروب ٦٠ يساوي ٦٠ في ٥٩ في ٥٨، وهكذا. وبالطبع يمكننا إعادة كتابة ذلك على صورة ٦٠ في ٥٩ في ٥٨ في مضروب ٥٧. هذا يعني أن المقدار ٦٠ توافيق ثلاثة يمكن كتابته كما هو موضح. وهذا رائع لأنه يمكننا الآن قسمة البسط والمقام على عامل ثابت، وهو مضروب ٥٧. وفي الواقع، مضروب ثلاثة يساوي ستة؛ لذا يمكننا أيضًا قسمة البسط والمقام على ستة. ومن ثم نرى أن ٦٠ توافيق ثلاثة يساوي ١٠ في ٥٩ في ٥٨ على واحد. ٥٩ مضروبًا في ٥٨ يساوي ٣٤٢٢. إذن ١٠ في ٥٩ في ٥٨ يساوي ٣٤٢٢٠. وعليه، ٥٩ توافيق اثنين زائد ٥٩ توافيق ثلاثة يساوي ٣٤٢٢٠.
تذكر أننا قلنا إن هذه تسمى العلاقة التكرارية. ويمكن أن تساعدنا في تبسيط المقادير. يمكننا تعميم ذلك بشكل أوسع؛ فنقول إن ﻥ ناقص واحد توافيق ﺭ زائد ﻥ ناقص واحد توافيق ﺭ ناقص واحد يساوي ﻥ توافيق ﺭ.
في المثالين الأخيرين، سنتناول كيفية إيجاد مجموع التوافيق.
أوجد قيمة خمسة توافيق صفر زائد خمسة توافيق واحد زائد خمسة توافيق اثنين وصولًا إلى خمسة توافيق خمسة.
للإجابة عن هذا السؤال، علينا تذكر حقيقتين. أولًا، يمكن إيجاد قيمة ﻥﻕﺭ أو ﻥ توافيق ﺭ بقسمة مضروب ﻥ على مضروب ﺭ في مضروب ﻥ ناقص ﺭ. لكننا نعلم أيضًا أن هذه التوافيق لها تماثل؛ حيث ﻥ توافيق ﺭ يساوي ﻥ توافيق ﻥ ناقص ﺭ.
والآن لنلق نظرة على جميع الحدود في عملية التجميع. نلاحظ أن ﻥ هنا يساوي خمسة. لنبدأ إذن بإيجاد قيمة خمسة توافيق صفر. في هذه الحالة، ﺭ يساوي صفرًا. خمسة توافيق صفر يساوي مضروب خمسة على مضروب صفر في مضروب خمسة ناقص صفر. ومضروب صفر يساوي واحدًا. يصبح لدينا بذلك مضروب خمسة مقسومًا على مضروب خمسة، وهو ما يساوي واحدًا أيضًا. نتيجة لهذا التماثل، نعرف أن ذلك يساوي أيضًا خمسة توافيق خمسة. وبذلك نكون قد وجدنا أن كلًا من خمسة توافيق صفر وخمسة توافيق خمسة يساوي واحدًا.
نريد الآن إيجاد قيمة خمسة توافيق واحد. وهي تساوي مضروب خمسة على مضروب واحد في مضروب خمسة ناقص واحد. مضروب واحد يساوي واحدًا أيضًا. يصبح لدينا بذلك مضروب خمسة على مضروب أربعة. وبما أن مضروب خمسة يساوي خمسة في أربعة في ثلاثة وهكذا، يمكننا كتابته على صورة خمسة في مضروب أربعة. هذا يعني أنه يمكننا قسمة البسط والمقام على مضروب أربعة، ونجد بذلك أن خمسة توافيق واحد يساوي خمسة. وباستخدام التماثل، نستنتج أن خمسة توافيق أربعة يساوي خمسة أيضًا.
والآن، سنوجد قيمة خمسة توافيق اثنين وخمسة توافيق ثلاثة. في حالة خمسة توافيق اثنين، نحصل على مضروب خمسة على مضروب اثنين في مضروب خمسة ناقص اثنين، وهو ما يساوي ١٠. وبما أن هناك تماثلًا، فإن هذا سيساوي خمسة توافيق ثلاثة أيضًا. وهذا يعني أن المجموع يساوي واحدًا زائد خمسة زائد ١٠ زائد ١٠ زائد خمسة زائد واحد، وهو ما يساوي ٣٢.
ليس من قبيل المصادفة أن يكون هذا الحل إحدى قوى العدد اثنين. ففي الواقع، تنص القاعدة العامة على أن مجموع كل ﻥﻕﺭ لقيمة ﻥ معطاة يساوي اثنين أس ﻥ. ويمكننا استخدام رمز المجموع. فنقول إن هذا المجموع من ﺭ يساوي صفرًا إلى ﻥ لـ ﻥﻕﺭ يساوي اثنين أس ﻥ.
لنتناول مثالًا أخيرًا.
أوجد قيمة أربعة توافيق صفر ناقص أربعة توافيق واحد زائد أربعة توافيق اثنين ناقص أربعة توافيق ثلاثة زائد أربعة توافيق أربعة.
نعلم أن التوافيق لها تماثل؛ حيث ﻥﻕﺭ يساوي ﻥﻕﻥ ناقص ﺭ. هذا يعني أن أربعة ﻕ صفر يساوي أربعة ﻕ أربعة، وأربعة ﻕ واحد يساوي أربعة ﻕ ثلاثة. ويمكننا أيضًا أن نقول إن كلًا من ﻥﻕ صفر وﻥﻕﻥ يساوي واحدًا. ومن ثم، فإن أربعة ﻕ صفر وأربعة ﻕ أربعة يساويان واحدًا. وبما أن ﻥﻕﺭ يساوي مضروب ﻥ على مضروب ﺭ في مضروب ﻥ ناقص ﺭ، نستنتج أن أربعة توافيق واحد يساوي مضروب أربعة على مضروب واحد في مضروب ثلاثة، وهو ما يساوي أربعة، ونصل بذلك إلى أن أربعة توافيق واحد يساوي أربعة، وأربعة توافيق ثلاثة يساوي أربعة.
وأخيرًا هيا نوجد قيمة أربعة توافيق اثنين. تساوي هذه القيمة مضروب أربعة على مضروب اثنين في مضروب اثنين، وهو ما يساوي ستة. وبذلك نكون جاهزين لإيجاد قيمة هذا المجموع التناوبي. يمكننا استخدام رمز المجموع كما هو موضح. فنحصل على واحد ناقص أربعة زائد ستة ناقص أربعة زائد واحد، وهو ما يساوي صفرًا. وعليه، فإن قيمة المجموع التناوبي تساوي صفرًا. لدينا قاعدة عامة أخرى هنا. وهي أن المجموع التناوبي لـ ﻥ توافيق ﺭ يساوي صفرًا. بصفة عامة، يمكننا القول إن المجموع من ﺭ يساوي صفرًا إلى ﻥ لسالب واحد أس ﺭ في ﻥ توافيق ﺭ يساوي صفرًا.
في هذا الفيديو، تعلمنا أن العدد ﺭ من التوافيق المأخوذة من مجموعة مكونة من ﻥ من العناصر يعرف بأنه ﻥﻕﺭ أو ﻥ توافيق ﺭ. ويساوي عدد التباديل مقسومًا على مضروب ﺭ أو مضروب ﻥ مقسومًا على مضروب ﺭ في مضروب ﻥ ناقص ﺭ. وعرفنا أن له خاصية انعكاسية؛ حيث ﻥ توافيق ﺭ يساوي دائمًا ﻥ توافيق ﻥ ناقص ﺭ، وكل من ﻥ توافيق صفر وﻥ توافيق ﻥ يساوي دائمًا واحدًا.
كما رأينا أن ﻥ ناقص واحد توافيق ﺭ زائد ﻥ ناقص واحد توافيق ﺭ ناقص واحد يساوي ﻥ توافيق ﺭ. وهذا يسمى الخاصية التكرارية. ويمكن أن تساعدنا هذه الخاصية في تبسيط المقادير. رأينا أيضًا أن المجموع من ﺭ يساوي صفرًا إلى ﻥ لـ ﻥ توافيق ﺭ يساوي اثنين أس ﻥ، وأن المجموع من ﺭ يساوي صفرًا إلى ﻥ لسالب واحد أس ﺭ في ﻥ توافيق ﺭ يساوي صفرًا. وعرفنا أنه باستخدام تعريف ﻥ توافيق ﺭ وخصائصه، يمكننا تبسيط المقادير وحل المعادلات التي تتضمن توافيق.
