فيديو الدرس: دوائر التوالي الكهربية الفيزياء

نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو، سوف نتحدث عن دوائر التوالي. هذه الدوائر هي دوائر كهربية لا يمكن فيها للشحنة أن تتبع إلا مسارًا واحدًا وهي تتحرك خلال الدائرة. فهي لا تنقسم أو تتفرع أبدًا إلى فروع مختلفة، بل تتحرك جميعها داخل نفس الحلقة المغلقة والمستمرة.

تأمل هذه الدائرة مثلًا. تتكون هذه الدائرة من بطارية، ومقاومة واحدة هنا، ومقاومة أخرى هنا. اصطلاحيًّا، تتدفق الشحنة من القطب الموجب إلى القطب السالب للبطارية في الدائرة. إذن يمكننا رسم هذا التيار على هذا النحو، عكس اتجاه عقارب الساعة أو عكس حركة عقارب الساعة، في الدائرة. وبما أنه لا يوجد سوى مسار واحد فقط تتبعه الشحنة المتحركة، نعلم أن هذه الدائرة هي دائرة توال.

في حالة هذه الدائرة أو أي دائرة توال أخرى، يتبع كل من فرق الجهد ‪𝑉‬‏، والتيار ‪𝐼‬‏، والمقاومة ‪𝑅‬‏ قواعد معينة. إذا بدأنا بتأمل ‪𝑉‬‏، وهو فرق الجهد، فإننا نعلم بشكل عام أن أي بطارية في الدائرة ستوفر فرق جهد يؤدي إلى تحرك شحنة. وعندما تتحرك الشحنة خلال الدائرة، يجب أن تقل أي زيادة تسببها البطارية في فرق الجهد مع تحرك الشحنة في باقي الدائرة. وفي حين أن البطارية هي المكان الذي يزداد فيه فرق الجهد، فإن مكونات الدائرة المتبقية – وهي في هذه الحالة هاتان المقاومتان – هي المواضع التي يتناقص فيها فرق الجهد.

لنرى كيف يتغير فرق الجهد خلال هذه الدائرة، لنفترض أننا نبدأ من هذه النقطة هنا ونتحرك في اتجاه التيار الاصطلاحي، أي عكس اتجاه عقارب الساعة. إحدى الطرق لتصور كل هذا هي هذه الطريقة. نفتح الدائرة، بداية من هذا القطب السالب للبطارية، ثم نمدها كما لو كانت خطًّا، مع التأكد من تضمين جميع المكونات الأخرى في الدائرة. وهي هاتان المقاومتان في هذه الحالة. ولنفترض أنه، على المحور الرأسي، يوجد فرق الجهد ‪Δ𝑉‬‏. إذن سنبدأ من هنا عند القطب السالب للبطارية، ثم نتحرك في اتجاه التيار الاصطلاحي.

إذا فعلنا ذلك، فسنلاحظ أنه خلال الانتقال عبر هذه البطارية سيزيد فرق الجهد إلى القيمة ‪𝑉‬‏ التي توفرها البطارية. بعد ذلك، بينما نتبع اتجاه تدفق الشحنة، سيظل فرق الجهد عند هذه القيمة حتى نصل إلى المقاومة الأولى. وعند تجاوز الشحنة للمقاومة الأولى، يفقد فرق جهد. وفيما يتعلق بالمقدار المفقود، إذا افترضنا أن قيمة هذه المقاومة تساوي قيمة هذه المقاومة، فإن فرق الجهد المفقود خلال هذه المقاومة الأولى سيساوي نصف فرق الجهد الذي توفره البطارية. سنتطرق للمزيد في هذا الشأن لاحقًا، لكن الآن دعونا نواصل تتبع الشحنة عندما تتحرك عكس عقارب الساعة عبر الدائرة.

بمجرد تجاوز المقاومة الأولى، يظل فرق الجهد ثابتًا حتى نصل إلى المقاومة الثانية. وبالانتقال عبر هذه المقاومة، ينخفض فرق الجهد مرة أخرى. هذه المرة، ينخفض فرق الجهد حتى يصل إلى قيمته الأصلية عند القطب السالب للبطارية، وهي صفر. من تلك النقطة وحتى نصل إلى ما يمكن أن نسميه نقطة بداية الدائرة، وهي القطب السالب للبطارية، يساوي فرق الجهد صفرًا. لاحظ أن فرق الجهد يبدأ وينتهي عند القيمة نفسها، وهذا مطلوب لكي تكتمل هذه الدائرة. نلاحظ أيضًا أن ما نحصل عليه من فرق جهد من البطارية ينخفض عبر المكونات المختلفة للدائرة. ينطبق هذا أيضًا دائمًا على الدوائر الكهربية.

حتى الآن، لم نعط أي تسمية لهاتين المقاومتين. لكن دعونا نفعل ذلك الآن. لنطلق على هذه المقاومة الأولى ‪𝑅‬‏ واحد والمقاومة الثانية ‪𝑅‬‏ اثنين. وبالرجوع إلى الرسم، يمكننا القول إن مقدار فرق الجهد، الذي انخفض عبر ‪𝑅‬‏ واحد، هو ‪𝑉‬‏ واحد. ويمكننا أن نطلق على هذا المقدار من فرق الجهد، الذي انخفض عبر ‪𝑅‬‏ اثنين، ‪𝑉‬‏ اثنين. وبتسمية هذه القيم، يمكننا أن نرى أن ثمة علاقة بين ‪𝑉‬‏ واحد و‪𝑉‬‏ اثنين و‪𝑉‬‏، وهو فرق الجهد الذي توفره البطارية. تحديدًا، يمكننا ملاحظة أن ‪𝑉‬‏ يساوي ‪𝑉‬‏ واحد زائد ‪𝑉‬‏ اثنين.

تحدثنا سابقًا عن احتمال أن تكون قيمة ‪𝑅‬‏ واحد مساوية لقيمة ‪𝑅‬‏ اثنين. هذا يعني أن كلتا المقاومتين لهما نفس قيمة المقاومة بالأوم. لكن إذا كانت ‪𝑅‬‏ واحد تساوي ‪𝑅‬‏ اثنين، فهذا يعني أن الانخفاض في فرق الجهد خلال كلتا المقاومتين متساو. بعبارة أخرى، ‪𝑉‬‏ واحد يساوي ‪𝑉‬‏ اثنين. إذن ‪𝑉‬‏ واحد يساوي ‪𝑉‬‏ اثنين، و‪𝑉‬‏ واحد زائد ‪𝑉‬‏ اثنين يساوي ‪𝑉‬‏. ومن ثم فهذا يعني أن الانخفاض في فرق الجهد خلال المقاومة الأولى، ‪𝑉‬‏ واحد، يساوي فرق الجهد الذي توفره البطارية مقسومًا على اثنين. و‪𝑉‬‏ اثنان، وهو الانخفاض في فرق الجهد خلال المقاومة الثانية، يساوي أيضًا ‪𝑉‬‏ على اثنين. نتذكر هنا أن هذا الاستنتاج يتطلب أن تكون قيمة ‪𝑅‬‏ واحد مساوية لقيمة ‪𝑅‬‏ اثنين.

في دائرة توال بها مقاومتان، عندما يكون لهاتين المقاومتين نفس القيمة بالضبط، يعتبر ذلك حالة خاصة نوعًا ما. وعند حدوث ذلك، تمكننا من التوصل إلى هذا الاستنتاج بشأن فرق الجهد الذي انخفض عبر كل واحدة منهما. لكن حتى إذا لم يكن الأمر كذلك، أي حتى عندما يكون للمقاومتين قيمتان مختلفتان، يظل صحيحًا أن فرق الجهد الذي توفره البطارية يساوي مجموع الانخفاضين في فرق الجهد خلال المقاومتين. وهذه المعادلة قريبة جدًّا من التعبير العام الذي يمكننا كتابته لفرق الجهد في دوائر التوالي.

التعبير الذي يمكننا كتابته سيبدو هكذا. سنقول إن ‪𝑉𝑡‬‏، حيث ‪𝑉𝑡‬‏ هو فرق الجهد الذي توفره البطارية في الدائرة، يساوي ما يلي. فرق الجهد الذي انخفض خلال المقاومة الأولى زائد فرق الجهد الذي انخفض خلال المقاومة الثانية، في حالة وجودها، زائد فرق الجهد الذي انخفض خلال المقاومة الثالثة، في حالة وجودها، وهكذا. ونعني بـ «وهكذا» فرق الجهد الذي ينخفض خلال أي مقاومات أخرى قد توجد في دائرة التوالي.

إذا كان لدينا دائرة توال بها مقاومة واحدة فقط، فإن المعادلة ستكون ببساطة: ‪𝑉𝑡‬‏ يساوي ‪𝑉‬‏ واحد. أما إذا كان لدينا مقاومتان، فستبدو المعادلة هكذا، وهي تشبه كثيرًا المعادلة التي استنتجناها هنا. ثم إذا كان لدينا ثلاث مقاومات، فسنجمع الانخفاض في فروق الجهد خلال هذه المقاومات الثلاثة. وسيساوي ذلك فرق الجهد الكلي الذي توفره البطارية، وهكذا حتى آخر المقاومات التي قد توجد في دائرة التوالي. إذن هذا هو فرق الجهد وكيفية تصرفه في دوائر التوالي.

لننتقل الآن إلى شدة التيار. نتذكر هنا تعريفنا لدائرة التوالي، وهو أنها حلقة مغلقة حيث لا يمكن للشحنة أن تتبع إلا مسارًا واحدًا. يترتب على ذلك أنه عندما تنتقل الشحنة عبر هذه الدائرة، تكون شدة التيار ثابتة عند أي نقطة معطاة. وذلك لأن أي شحنة تصل إلى هذه النقطة ستصل أيضًا إلى هذه النقطة وهذه النقطة وهذه النقطة وهذه النقطة وهذه النقطة وأي نقطة أخرى في دائرة التوالي. فيمكننا القول إن الشحنة ليس أمامها أي خيار سوى اتباع المسار نفسه. لنفترض، في دائرة التوالي هذه، أن لدينا قيمة كلية للتيار سنسميها ‪𝐼‬‏. وما نريد معرفته الآن هو العلاقة بين شدة التيار عند أي نقطة معطاة في الدائرة، ولتكن عند المقاومة ‪𝑅‬‏ واحد أو المقاومة ‪𝑅‬‏ اثنين، وهذه القيمة لشدة التيار الكلية.

مما رأيناه حتى الآن، نظرًا لأنه لا بد لأي شحنة فردية تنتقل عبر الدائرة أن تمر بها كلها، فهذا يعني أنه إذا كانت ‪𝐼‬‏ واحد هي شدة التيار خلال المقاومة الأولى، فإنها تساوي شدة التيار الكلية. وتساوي أيضًا ‪𝐼‬‏ اثنين، وهي ما يمكن أن نطلق عليها شدة التيار خلال المقاومة الثانية. كما أنها أيضًا تساوي شدة التيار عند أي نقطة معطاة سواء في مكون داخل هذه الدائرة أو لا. إذن في دوائر التوالي، قاعدة شدة التيار بسيطة. قيمة شدة التيار ثابتة عند أي نقطة.

يمكننا كتابة ذلك في صورة تعبير عام بهذه الطريقة. فنقول إن شدة التيار الكلية في الدائرة تساوي شدة التيار في المكون الأول، التي تساوي شدة التيار في المكون الثاني، في حالة وجوده، وتساوي شدة التيار في المكون الثالث، في حالة وجوده، وهكذا. حقيقة أن قيمة شدة التيار ثابتة عند أي نقطة في دائرة التوالي عادة ما تكون مفيدة جدًّا عند حل التمارين. حسنًا، لننتقل الآن إلى الخاصية الأخيرة وهي المقاومة.

كيف تتصرف المقاومات في دوائر التوالي؟ لنفترض، تحديدًا، أن لدينا دائرة توال، مثل هذه الدائرة هنا، بها أكثر من مقاومة واحدة. ما نتساءل عنه هو المقاومة المكافئة الكلية لتلك الدائرة. فيما يخص هذه الدائرة، المقاومة المكافئة الكلية لها تساوي مجموع مقاومتيها ‪𝑅‬‏ واحد و‪𝑅‬‏ اثنين. قد يبدو هذا منطقيًّا. لكن يوجد نوع آخر من الدوائر، يعرف بدوائر التوازي، لا تنطبق عليه هذه القاعدة. لكن في هذه الحالة التي لدينا هنا تنطبق هذه القاعدة. في دوائر التوالي، لإيجاد المقاومة الكلية للدائرة، يمكننا كتابة ذلك على صورة معادلة عامة حيث نطلق على المقاومة الكلية ‪𝑅𝑡‬‏. ولإيجاد هذه القيمة، نجمع كل المقاومات الفردية التي قد تظهر في الدائرة معًا.

إذن إذا كان لدينا دائرة توال بها مقاومة واحدة فقط، فإن المقاومة الكلية تساوي قيمة هذه المقاومة. أما إذا كان لدينا دائرة بها مقاومتان كما هو الحال هنا، فإن المقاومة الكلية تساوي ‪𝑅‬‏ واحد زائد ‪𝑅‬‏ اثنين، وهكذا إلى آخر عدد المقاومات في دائرة التوالي. هذه القواعد التي اكتشفناها لدوائر التوالي جديرة بأن نحفظها عن ظهر قلب؛ لأنها تمر علينا مرارًا وتكرارًا عندما نتحدث عن هذه الأنواع من الدوائر.

لنعد خطوة إلى الوراء ونفكر في شكل الدائرة المبسط الذي رسمناه دون أي علامات لقيم ‪𝑉‬‏ أو ‪𝑅‬‏. في بداية تعرفنا على دوائر التوالي، قد يبدو أن ثمة أهمية كبيرة لموضع هذه المكونات المختلفة، أي المقاومتين والبطارية بالنسبة لبعضها البعض. على سبيل المثال، قد نعتقد أن هذه الدائرة تختلف اختلافًا جوهريًّا عن هذه الدائرة.

السبب في اعتقادنا هذا هو أننا نرى أن هذه المقاومة، التي كانت في الأصل هنا في الدائرة، قد تحركت الآن إلى هذا الجانب منها. لمتابعة المثال، قد نعتقد أيضًا أن هذه الدائرة مختلفة كثيرًا عن هذه الدائرة. ويرجع سبب هذا الاعتقاد إلى أن البطارية معكوسة القطبية في هذه الدائرة الثالثة التي رسمناها مقارنة بالدائرة الأولى.

لكن التغييرات التي رسمناها، والتغييرات العديدة الأخرى التي لم نرسمها، لا تغير جوهريًّا خصائص الدائرة التي نتناولها. ففي جميع الحالات، تظل لدينا بطارية واحدة ومقاومتان موصلتان على التوالي. وتحرك الشحنة سواء في اتجاه عقارب الساعة أو عكس اتجاه عقارب الساعة في هذه الدوائر لا يحدث فرقًا فيما يتعلق بأدائها. هذا يعني أنه يوجد عدة طرق مختلفة لرسم نفس الدائرة. هذا ينطبق ما دامت المكونات المختلفة في الدائرة هي نفس المكونات، أي إن البطارية توفر نفس فرق الجهد، وقيمة كل مقاومة هي نفسها. إذن فإن هذه الدوائر تسمى جميعها دوائر متكافئة.

الدوائر المتكافئة تعمل بنفس الطريقة ولها نفس الخصائص. فيما يخص هذه الدائرة، وهي فعليًّا دائرة واحدة على الرغم من أننا رسمناها بثلاث طرق مختلفة، لا يهم ما إذا كانت المقاومتان في الأسفل وأحد الجوانب أو في الجانبين، أو إذا كان القطب الموجب للبطارية يواجه اليسار أو اليمين. في جميع هذه الحالات، يكون أداء الدائرة كما هو. إذن، فهذه كلها تعبيرات مكافئة للدائرة نفسها. ولهذا نقول إنها متكافئة.

بعد أن عرفنا كل هذا عن دوائر التوالي، دعونا نتدرب قليلًا من خلال مثال تدريبي.

وصلت بطارية جهدها 12 فولت على التوالي بمقاومتين. فرق الجهد عبر المقاومة الأولى يساوي أربعة فولت. ما مقدار فرق الجهد عبر المقاومة الثانية؟

في هذه الحالة، لدينا بطارية موصلة على التوالي بمقاومتين. لنبدأ برسم الدائرة. ها هي البطارية، ونعلم أنها توفر فرق جهد قدره 12 فولت. ثم لدينا مقاومتان موصلتان بها على التوالي. لا نعلم قيمتي هاتين المقاومتين. لكن لنطلق عليهما اسمين كي نتمكن من الإشارة إليهما؛ سنطلق على هذه ‪𝑅‬‏ واحد، وهذه ‪𝑅‬‏ اثنين. وتخبرنا المسألة أن فرق الجهد عبر المقاومة الأولى، أي عبر المقاومة التي أطلقنا عليها ‪𝑅‬‏ واحد، يساوي أربعة فولت. لذا دعونا نكتب ذلك بهذه الطريقة. لنفترض أن ‪𝑉‬‏ واحد هو فرق الجهد عبر المقاومة الأولى. إذن ‪𝑉‬‏ واحد يساوي أربعة فولت. ولنطلق ‪𝑉‬‏ اثنين على فرق الجهد عبر ‪𝑅‬‏ اثنين.

والآن نريد إيجاد قيمة ‪𝑉‬‏ اثنين. ولفعل ذلك، يمكننا تذكر شيء عن الدوائر الكهربية. في أي دائرة كهربية، إذا تحركنا في مسار دائري مغلق حول الدائرة، فلا بد أن يكون فرق الجهد عبر هذا المسار بالكامل يساوي صفرًا. هذا يعني أنه لا بد أن نبدأ وننتهي في المكان نفسه. وهذا صحيح لأننا نتحدث عن دائرة. من حيث فرق الجهد، هذا يعني أنه أيًّا كان فرق الجهد الذي توفره البطارية – وهو 12 فولت في هذه الحالة ‪–‬‏ فلا بد من انخفاضه أو تناقصه عبر باقي الدائرة خارج البطارية.

في هذه الحالة، تتكون بقية الدائرة من مقاومتين، ‪𝑅‬‏ واحد و‪𝑅‬‏ اثنين. هذان هما المكانان الوحيدان في الدائرة اللذان ينخفض عندهما فرق الجهد. هذا يعني أنه يمكننا الآن كتابة معادلة بدلالة فروق الجهد المختلفة في الدائرة. يمكننا القول إن فرق الجهد الذي توفره البطارية، وهو 12 فولت، يجب أن يساوي الانخفاض في فرق الجهد عبر ‪𝑅‬‏ واحد، وهو ‪𝑉‬‏ واحد، زائد الانخفاض في فرق الجهد عبر ‪𝑅‬‏ اثنين، الذي أطلقنا عليه ‪𝑉‬‏ اثنين. وبالمناسبة، هذا التعبير الذي كتبناه هنا هو حالة محددة لمعادلة عامة. تنص هذه المعادلة على أن فرق الجهد الكلي الذي توفره بطارية في دائرة توال يساوي مجموع انخفاضات فرق الجهد عبر مختلف مكونات الدائرة.

في هذه المسألة، لدينا مكونان فقط، وهما المقاومتان ‪𝑅‬‏ واحد و‪𝑅‬‏ اثنين. لذا فإن المعادلة تبدو بالأساس هكذا. وهذا ما نراه هنا عند التعويض عن ‪𝑉𝑡‬‏ بـ 12 فولت. في هذه المعادلة، نريد إيجاد قيمة ‪𝑉‬‏ اثنين. ونحن نعلم بالفعل أن ‪𝑉‬‏ واحد يساوي أربعة فولت. وعندما نعوض بذلك، علينا فقط أن نطرح أربعة فولت من كلا طرفي هذه المعادلة. ثم يحذف موجب أربعة فولت مع ناقص أربعة فولت على اليمين. ويتبقى لدينا هذا التعبير: 12 فولت ناقص أربعة فولت يساوي ‪𝑉‬‏ اثنين، و 12 ناقص أربعة يساوي ثمانية. وهذه هي قيمة ‪𝑉‬‏ اثنين. إذن فرق الجهد عبر المقاومة الثانية يساوي ثمانية فولت.

لنلخص الآن ما تعلمناه عن دوائر التوالي. في هذا الدرس، تعلمنا أن دائرة التوالي هي دائرة كهربية لا يوجد بها سوى مسار واحد لانتقال الشحنة. وتعلمنا أيضًا مجموعة من المعادلات التي تصف فرق الجهد، وشدة التيار، والمقاومة في دوائر التوالي. بينت لنا هذه المعادلات أن المقاومة المكافئة الكلية في دوائر التوالي تساوي مجموع المقاومات المنفردة. وقيمة شدة التيار في دائرة التوالي ثابتة عند أي نقطة. وفرق الجهد الذي توفره البطارية يساوي مجموع فروق الجهد التي تنخفض عبر المكونات الأخرى للدائرة. وأخيرًا، تعرفنا على الدوائر المتكافئة، وهي دوائر مرتبة ترتيبًا مختلفًا، ولكنها تعمل بالطريقة نفسها. وهذا ملخص لدوائر التوالي.