فيديو: الدوال النسبية

يوضح الفيديو تعريف الدوال النسبية، ومجالها، والدالة الرئيسية لها (دالة المقلوب)، وسلوك الدالة عند اقترابها من الصفر واللانهاية، ومفهوم الخطوط التقاربية.

١٣:٤٦

‏نسخة الفيديو النصية

الدوال النسبية.

في الفيديو ده هنتكلم عن الدوال النسبية، صورتها بتكون إيه. هنتكلم عن خصائصها من خلال التمثيل البياني ليها. خلينا أول حاجة مع بعض نشوف شكل الدوال النسبية بيكون إيه.

الدالة النسبية هي دالة على الصورة د س تساوي أ س على ب س. أ س عندنا وَ ب س هي دوال كثيرات حدود، وَ ب س عندنا لا تساوي صفر. لو جينا نشوف مجال الدوال النسبية دي، خلينا نشوف كده مع بعض بيكون إيه.

مجال الدوال النسبية بيكون جميع قيم س الحقيقية ما عدا أصفار المقام. أصفار المقام عندنا هي أصفار الدالة ب س؛ أي قيم س التي تجعل الدالة كثيرة الحدود ب س تساوي صفر، بنسميها أصفار المقام. والمجال عندنا لا يتضمّن قيم س دي.

خلينا بعد كده نشوف مع بعض الدالة الرئيسية للدوال النسبية، وهي دالة المقلوب. الدالة الرئيسية للدوال النسبية عندنا بنسميها دالة المقلوب، أو بنقول عليها هي الدالة الأم للدوال النسبية. وهي عبارة عن د س تساوي واحد على س، حيث س لا تساوي صفر؛ لأن لو عوضنا عن قيمة س تساوي صفر، هنلاقي إن الدالة تصبح غير معرّفة. وبالتالي بنقول س تساوي صفر بتمثّل نقطة عدم تعريف للدالة.

بنلاقي إن التمثيل البياني لدالة المقلوب بيكون زي ما إحنا شايفين كده. خلينا نتكلم عن خصائص هذه الدالة. وأول حاجة هنتكلم عنها وهي المجال.

بنلاقي إن مجال دالة المقلوب بيكون عبارة عن الفترة المفتوحة من سالب ما لا نهاية إلى صفر، اتحاد الفترة المفتوحة من صفر إلى ما لا نهاية الموجبة. بنلاحظ عندنا إن جميع القيم لـ س ينفع نعوّض بيها، ما عدا الـ صفر زي ما قلنا من شوية، س لا تساوي صفر؛ لأن الدالة بتصبح غير معرّفة. طب بعد ما عرفنا إن س تساوي صفر بتمثل لنا نقطة عدم تعريف للدالة. إيه رأيكم لو جينا نشوف سلوك الدالة عند س تساوي الصفر دي؟

خلينا نفتح مع بعض صفحة جديدة كده مع بعض.

آخر حاجة عرفناها إن عندنا دالة المقلوب د س تساوي واحد على س. وطبعًا س لا تساوي صفر. وعرفنا إن ده بيكون التمثيل البياني ليها. وقلنا إن عند س تساوي صفر بتمثّل نقطة عدم تعريف. وقلنا هندرس سلوك الدالة عند س تساوي صفر. خلينا مع بعض نشوف سلوك الدالة عند س تساوي صفر.

بنلاقي نهاية د س لمّا س بتقرّب من اليمين للصفر، تساوي ما لا نهاية الموجبة. ونهاية د س لمّا س بتقرب من اليسار للصفر، تساوي ما لا نهاية السالبة.

لو جينا نوضّح الكلام ده على التمثيل البياني لدالة المقلوب اللي قدامنا، هنلاحظ إن كل ما قيمة س بتقرّب من اليمين من الصفر، ده الصفر عندنا، بنلاحظ إن قيمة الدالة بتقترب من الما لا نهاية. وكل ما قيمة س بتقرّب من الصفر من اليسار، بنلاحظ إن قيمة الدالة بتقرّب من السالب ما لا نهاية.

الخاصية اللي هنتكلم عنها بعد كده لدالة المقلوب هي سلوك طرفَي الدالة. خلينا نشوف كده مع بعض. خلينا نتكلم عن سلوك طرفَي الدالة. من خلال التمثيل البياني اللي قدامنا لدالة المقلوب، بنلاحظ إن كل ما قيمة س بتزداد، بنلاحظ إن قيمة الدالة بتقرب من الصفر. وكل ما قيمة س بتقل، بنلاحظ إن قيمة الدالة بتقرّب برضو من الصفر. وبكده بنقول إن نهاية د س لمّا س بتئول إلى سالب ما لا نهاية تساوي صفر. ونهاية د س لمّا س بتقرّب من ما لا نهاية الموجبة تساوي صفر.

الخاصية اللي هنتكلم عنها بعد كده لدالة المقلوب هي الخطوط التقاربية. خلينا مع بعض كده نشوف، تعريف الخطوط التقاربية: هي خطوط يقترب منها التمثيل البياني للدالة ولكن لا يقطعها. خلينا نطبق الكلام ده على التمثيل البياني اللي قدامنا.

زي ما إحنا شايفين كده، بنلاحظ إن التمثيل البياني للدالة بيقترب من محور السينات، ولكن لا يقطعه. وبرضو بنلاحظ هنا إنه بيقترب منه، ولكن لا يقطعه. وبالتالي بنقول هنا عندنا إن محور السينات هنا يمثّل خط تقاربي أفقي لدالة المقلوب. خلينا نكتب ده مع بعض كده.

زي ما إحنا شايفين كده، كتبنا محور السينات اللي معادلته د س تساوي صفر يمثّل خط تقاربي أفقي. بنلاحظ برضو إن التمثيل البياني للدالة اللي قدامنا بيقترب من محور الصادات، ولكن لا يقطعه. وبالتالي بنقول عندنا إن محور الصادات هنا يمثّل خط تقاربي رأسي. خلينا نكتب ده كده مع بعض: محور الصادات اللي معادلته س تساوي صفر، معادلة الخط س تساوي صفر، يمثل خط تقاربي رأسي.

يبقى إحنا اتكلمنا بشكل بسيط عن الخطوط التقاربية. خلينا مع بعض في صفحة جديدة كده نربط الخطوط التقاربية بسلوك الدالة.

خلينا نفتح صفحة جديدة ونشوف.

دلوقتي هنفتكر مع بعض تعريف الخطوط التقاربية، وهنعمل مقارنة بين الخطوط التقاربية الأفقية، والخطوط التقاربية الرأسية، وإزاي نقدر نتعرّف إن اللي قدامنا ده خط تقاربي؛ سواء أفقي أو رأسي، ونربط ده بسلوك الدالة.

خلينا مع بعض كده نشوف. الخطوط التقاربية هي خطوط يقترب منها التمثيل البياني للدالة، ولكن لا يقطعها. عندنا نوعين من الخطوط التقاربية؛ الخط التقاربي الرأسي، والخط التقاربي الأفقي. أول نوع هنتكلم عنه هو الخط التقاربي الرأسي.

الخط التقاربي الرأسي بيبيّن قيم س اللي بتكون عندها الدالة غير معرّفة. خلينا نشوف كده مع بعض على التمثيل البياني للدالة النسبية اللي قدامنا. الدالة د س تساوي خمسة على س زائد اتنين لكل تربيع. بنلاحظ إن فيه خط تقاربي رأسي زي ما إحنا شايفين كده عند س تساوي سالب اتنين. فبالتالي بنقول س تساوي سالب اتنين، هي نقطة عدم تعريف للدالة. أو بنقول الدالة غير معرّفة عند س تساوي سالب اتنين.

طب إزاي عرفنا ده؟ خلينا نتأكد منه إذا كان صح ولا غلط. لو جينا نشوف الدالة اللي عندنا، الدالة النسبية، بنلاحظ عندنا إن المقام س زائد اتنين لكل تربيع. وطبعًا أصفار المقام هنا هي عبارة عن س تساوي سالب اتنين. وبكده بنقول إن فعلًا عند س بتساوي سالب اتنين، الدالة غير معرّفة.

يبقى إحنا من خلال الخط التقاربي الرأسي عرفنا نقطة عدم التعريف للدالة. طيب إمتى نقول إن الخط بتاعنا ده خط تقاربي رأسي؟ خلينا نشوف كده الشرط. بنقول الخط س يساوي ج، هو خط تقاربي رأسي للدالة، إذا كان، إذا كان فيه شرطين، على الأقل واحد فيهم يتحقق، مش لازم الاتنين يتحققوا، كفاية واحد، أو الاتنين لو اتحققوا مع بعض مش مشكلة، بس على الأقل واحد يتحقق. خلينا نشوف إيه هي الشروط دي.

أول شرط نهاية د س، لمّا س بتئول من ناحية اليسار إلى ج، تساوي موجب أو سالب ما لا نهاية. أو … شايفين كده مكتوب إيه؟ أو؛ يعني مش لازم الشرطين مع بعض، كفاية شرط واحد. أو نهاية د س لمّا س تئول من اليمين إلى ج تساوي موجب أو سالب ما لا نهاية.

خلينا نفهم مع بعض كده اللي مكتوب ده، من خلال التمثيل البياني للدالة اللي قدامنا، خلينا نطبقه عليها. إحنا عرفنا من شوية إن عندنا خط تقاربي رأسي، عند س تساوي سالب اتنين. وبكده بنقول إن ج عندنا هنا هي عبارة عن سالب اتنين. فبنلاحظ عندنا إن كل ما قيمة س بتقرّب من اليمين لـ ج اللي هي السالب اتنين يعني، أو قيمة س بتقرب من سالب اتنين ولكن من اليسار، بنلاحظ إن قيمة الدالة بتزداد أوي زي ما إحنا شايفين كده.

وبالتالي بنقول س تساوي سالب اتنين هو خط تقاربي رأسي. نلاحظ عندنا مكتوب موجب أو سالب ما لا نهاية. معنى إيه الكلام ده؟ معنى الكلام ده، ده مثال تاني، لو لقينا إن قيمة س بتقرب من ج من اليمين، ولقينا إن قيمة الدالة بتزداد أوي، فبنقول خط تقاربي. أو ممكن قيمة الدالة بتقل أوي، بنقول برضو خط تقاربي. يبقى يا بتزيد يا بتقل؛ عشان كده بنقول موجب أو سالب ما لا نهاية.

لو جينا نتكلم بعد كده عن الخط التقاربي الأفقي، فالخط التقاربي الأفقي بيبيّن سلوك طرفَي التمثيل البياني للدالة. لو جينا نشوف التمثيل البياني لدالة نسبية، وهي د س تساوي ستة س تربيع على س تربيع زائد اتنين. زي ما إحنا شايفين كده، فيه خط تقاربي أفقي عند د س تساوي ستة. آدي الخط التقاربي الأفقي اللي إحنا شايفينه ده، هنلاحظ هنا إن كل ما قيمة س بتزيد أو بتقل؛ فالخط التقاربي الرأسي هو اللي بيبيّن لنا سلوك طرفَي التمثيل البياني للدالة بتاعتنا.

بعد كده هنتكلم عن إزاي نعرف الخط ده خط تقاربي أفقي ولا لأ. خلينا نشوف كده مع بعض.

الخط د س يساوي ج، هو خط تقاربي أفقي للدالة، إذا كان … زي ما إحنا شايفين فيه كلمة أو، همّ شرطين لازم على الأقل يتحقق واحد فيهم، زي ما قلنا في الخط التقاربي الرأسي بالظبط … نهاية د س لمّا س تئول إلى ما لا نهاية السالبة يساوي ج، ونهاية د س لمّا س تئول إلى ما لا نهاية الموجبة تساوي ج.

يبقى يا الشرط ده أو الشرط ده، على الأقل واحد فيهم يتحقق.

لو جينا نوضح الشرطين دول على التمثيل البياني اللي قدامنا، زي ما إحنا شايفين فيه خط تقاربي أفقي عند د س تساوي ستة. وبالتالي عندنا ج هنا تساوي ستة. بنلاحظ إن كل ما قيمة س بتزيد، بنلاحظ إن قيمة الدالة بتقترب من ج اللي هي بستة. وبنلاحظ إن كل ما قيمة س بتقل، بنلاقي إن قيمة الدالة بتقترب برضو من ج اللي هي هنا بستة.

وبكده يبقى إحنا قدرنا نربط الخطوط التقاربية بسلوك الدالة، ووضّحنا إيه اللي بيبيّنه الخطوط التقاربية. زي ما شُفنا كده الخط التقاربي الرأسي بيبيّن نقاط عدم التعريف للدالة. والخط التقاربي الأفقي بيبيّن سلوك طرفَي التمثيل البياني للدالة.

يبقى إحنا في الفيديو ده اتعرّفنا على الصورة العامة للدوال النسبية. وشفنا مع بعض الدالة الرئيسية للدوال النسبية، وهي دالة المقلوب. واتعرفنا على خصائصها من خلال التمثيل البياني ليها. بعد كده اتكلمنا عن الخطوط التقاربية وعرفنا معناها إيه. وإن فيه نوعين منها خطوط تقاربية رأسية، وخطوط تقاربية أفقية، وإزاي نقدر نتعرف عليها من خلال الشروط اللي إحنا قلنا عليها. وعرفنا إيه هو اللي بيبيّنه كل نوع منهم؛ الخط التقاربي الرأسي بيبيّن إيه، والخط التقاربي الأفقي بيبيّن إيه.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.