فيديو: نموذج تدريب امتحان التفاضل والتكامل • ٢٠١٩ • السؤال الثاني عشر ب

نموذج تدريب امتحان التفاضل والتكامل • ٢٠١٩ • السؤال الثاني عشر ب

٠٣:١٨

‏نسخة الفيديو النصية

أوجد تكامل اللوغاريتم الطبيعي لِـ س بالنسبة لِـ س.

هنلاحظ إن من الصعب إيجاد تكامل اللوغاريتم الطبيعي بالنسبة لِـ س مباشرةً. فممكن نعتبر إننا محتاجين نوجد تكامل حاصل ضرب دالتين. أول دالة هي اللوغاريتم الطبيعي لِـ س، وتاني دالة هي د س. وعلشان نقدر نوجد ناتج تكامل حاصل ضرب دالتين، عندنا طريقتين. أول طريقة هي التكامل بالتعويض. وبتُستخدم لإيجاد ناتج تكامل حاصل ضرب دالتين، إحداهما مشتقّة الأخرى. وتاني طريقة هي التكامل بالتجزيء. وبتُستخدم لإيجاد ناتج تكامل حاصل ضرب دالتين، ليست إحداهما مشتقّة الأخرى. فبما إن الدالتين هي اللوغاريتم الطبيعي لِـ س وَ د س، فهنستخدم طريقة التكامل بالتجزيء.

وعشان نقدر نستخدم طريقة التكامل بالتجزيء، فهنجزّأ التكامل إلى ص مضروبة في د ع. وهيكون ناتج التكامل بيساوي ص في ع ناقص تكامل ع د ص. فهنستخدم طريقة التكامل بالتجزيء لإيجاد ناتج التكامل، عن طريق تنفيذ بعض الخطوات. واللي هتكون … أول خطوة هنجزّأ التكامل إلى تكامل ص في د ع، عن طريق إننا هنفرض ص، وهنفرض د ع. بشرط إن تكون ص دالة من السهل إيجاد تفاضلها، عشان هنوجد د ص. وإن تكون د ع دالة من السهل إيجاد تكاملها، عشان هنوجد ع. وهنوجد ص في ع. وهنوجد تكامل ع في د ص. وبتنفيذ الخطوات، هنفرض إن ص هتساوي اللوغاريتم الطبيعي لِـ س. وإن د ع هتساوي د س. يبقى كده قدرنا نكتب التكامل في صورة: ص في د ع، عن طريق اختيار ص واختيار د ع.

هنوجد د ص. فبما إن ص بتساوي اللوغاريتم الطبيعي لِـ س، فباشتقاق الطرفين هنَجِد إن د ص هتساوي … اشتقاق اللوغاريتم الطبيعي لِـ س بالنسبة لِـ س هيساوي واحد على س. والاشتقاق كان بالنسبة لِـ س، فهتكون مضروبة في د س. وهنكامل د ع عشان نقدر نوجد ع. فَـ ع هتساوي … تكامل د س بالنسبة لِـ س، يعني هيساوي س. يبقى كده قدرنا نوجد ص، وَ د ص، وَ د ع، وَ ع.

هنضرب ص في ع، وهنضرب ع في د ص، وتكون بداخل التكامل. يعني هيكون عندنا تكامل اللوغاريتم الطبيعي لِـ س بالنسبة لِـ س هيساوي ص مضروبة في ع؛ يعني س مضروبة في اللوغاريتم الطبيعي لِـ س. ناقص تكامل ع في د ص؛ يعني س في واحد على س. والتكامل هيكون بالنسبة لِـ س. س في واحد على س هتساوي واحد. فهيكون عندنا تكامل د س. يعني تكامل اللوغاريتم الطبيعي لِـ س بالنسبة لِـ س هيساوي س مضروبة في اللوغاريتم الطبيعي لِـ س. ناقص تكامل واحد بالنسبة لِـ س، أو تكامل د س، هيساوي س زائد ثابت التكامل.

نقدر نبسّط المقدار. هناخد س عامل مشترك. فهيكون عندنا س مضروبة في اللوغاريتم الطبيعي لِـ س زائد واحد زائد ثابت التكامل. يبقى كده قدرنا نوجد ناتج تكامل اللوغاريتم الطبيعي لِـ س بالنسبة لِـ س. وكان بيساوي س مضروبة في اللوغاريتم الطبيعي لِـ س زائد واحد زائد ثابت التكامل.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.