فيديو: زوايا الاتجاه للمتجهات وإيجاد الصورة الإحداثية باستخدامها

سوزان فائق

يوضح الفيديو تعريف زوايا اتجاه المتجهات وحسابها بمعلومية مركبتي المتجه، وإيجاد الصورة الإحداثية (المركبة) للمتجهات باستخدام معياره وزاوية اتجاهه، ومثالًا عليها.

٠٨:٢٢

‏نسخة الفيديو النصية

في الفيديو ده هنتكلّم على زوايا الاتجاه للمتجه. وإزّاي هنوجد الصورة الإحداثية للمتجه، باستخدام زوايا الاتجاه. يمكن كتابة المتجه م، اللي هو بيساوي أ وَ ب، باستخدام زاوية الاتجاه التي يصنعها المتجه م، مع الاتجاه الموجب لمحور س. وده اللي هنشوفه في الفيديو ده.

يعني لو عندنا المتجه م اللي قدامنا ده، اللي هو أ وَ ب. لو حلّلناه في صورة متركبتين متعامدتين. اللي هم معيار م مضروبة في الـ جتا 𝜃، ومعيار م في الـ جا 𝜃. فمن الممكن استخدام الزاوية 𝜃 دي، بإن إحنا نكتب المتجه على صورة تركيب خطّي لمتجهَي الوحدة س وَ ص. متجهَي الوحدة س وَ ص، اللي هم بيمثّلوا اتجاه الجزء الموجب لمحور السينات، اللي هو واحد وصفر. وللصادات الجزء الموجب صفر وواحد، كما يأتي.

المتجه م لمّا هيساوي أ وَ ب، هنعوّض بقيمة المتجهين المتعامدين. اللي هم هيساوي قيمة الـ أ، اللي هي بتساوي معيار المتجه م مضروبة في الـ جتا 𝜃. والـ ب معيار المتجه م مضروبة في الـ جا 𝜃. ولو هنحطّها في صورة تركيب خطّي لمتجهَي الوحدة … فبناخد الحدّ الأول، اللي هو معيار المتجه م مضروب في الـ جتا 𝜃، ونحطّه في اتجاه الموجب لمحور السينات. زائد معيار المتجه م في جا 𝜃، ونضربه في اتجاه الموجب لمحور الصادات. يبقى كده قدرنا نستفيد بزاوية اتجاه المتجه، اللي بيصنعها المتجه م مع محور السينات. بإن إحنا نوصل للصورة تركيب خطّي لمتجهَي الوحدة.

طب إزّاي هنوجد الصورة الإحداثية لمتجه، باستخدام زوايا الاتجاه؟ نقلب الصفحة وناخد مثال، ونشوف إزّاي. اوجد الصورة الإحداثية للمتجه م، الذي طوله عشرة، وزاوية اتجاهه مية وعشرين درجة مع الأفقي. أول حاجة هنوجد الصورة الإحداثية للمتجه م، بدلالة معيار المتجه م، والزاوية 𝜃. يعني هيساوي … المتجه م هيساوي مركبتين. واحدة فيها الطول مضروب في جتا 𝜃. والتاني الطول مضروب في جا 𝜃. يبقى طول المتجه م مضروب في جتا الـ 𝜃. وطول المتجه م مضروب في الـ جا 𝜃.

يبقى اللي هيساوي الطول عشرة في جتا 𝜃 جتا مية وعشرين درجة، دي المركبة الأولى. والمركبة التانية هتبقى العشرة في الـ جا للمية وعشرين درجة. هنعوّض بقيم الـ جتا مية وعشرين، والـ جا مية وعشرين. الـ جتا مية وعشرين بسالب نص، يبقى عشرة في سالب نص. وعشرة في جذر تلاتة على اتنين. يبقى المتجه م، الصورة الإحداثية بتاعته هتبقى سالب خمسة، وخمسة جذر تلاتة.

عشان نتأكد إن الحل بتاعنا سليم، هنرسم المتجه اللي هو سالب خمسة وخمسة جذر تلاتة. ونشوف طوله كام، وزاويته مع محور السينات اللي مع الأفقي، هتبقى قيمتها كام. سالب خمسة وخمسة جذر تلاتة، اللي هي هتساوي تقريبًا تمنية وسبعة من عشرة. هيبقى تمثيله بالشكل اللي قدامنا ده. ولو جينا قِسْنا الزاوية، هنلاقيها مية وعشرين درجة، مع الاتجاه الموجب لمحور السينات.

وعلشان نتأكد من إن الطول سليم، بنحسب المسافة ما بين السالب خمسة وتمنية وسبعة من عشرة، ونقطة الأصل اللي هي صفر وصفر. هنجيب المسافة ما بين نقطتين، اللي هي هتمثّل معيار المتجه م. هتبقى الجذر التربيعي للسالب خمسة تربيع زائد خمسة جذر تلاتة تربيع. هتساوي عشرة. وهي فعلًا القيمة المعطاة في السؤال. يبقى الزاوية طلعت فعلًا مية وعشرين درجة مع الأفقي. والمعيار بيساوي عشرة. كده عرفنا إزّاي هنوجد الصورة الإحداثية بمعلومية زوايا الاتجاه. وكمان إزّاي هنوجد صورة التركيب الخطّي لمتجهَي الوحدة، باستخدام زوايا الاتجاه. فاضل إن إحنا نعرف إزّاي هنوجد زوايا الاتجاه، بمعلومية المتجه. نقلب الصفحة.

لو رسمنا المتجه م، اللي هو قيمته أ وَ ب بالشكل ده. هنلاقي إن يمكن إيجاد زاوية اتجاه المتجه، مع الاتجاه الأفقي اللي هو الموجب لمحور الـ س، بِحلّ المعادلة المثلثية اللي بتقول … ظا 𝜃 بتساوي قيمة الـ ب، على قيمة الـ أ. وقيمة الـ ب بتساوي معيار المتجه م مضروب في الـ جا 𝜃. وقيمة الـ أ معيار المتجه م مضروب في الـ جتا 𝜃. وبعد كده، باستخدام الدالة العكسية للـ ظا، نقدر نحصل على قيمة الزاوية 𝜃. اللي هي الزاوية اللي بيصنعها المتجه م، مع محور السينات من الاتجاه الموجب. نقلب الصفحة، وناخد مثال، إزّاي هنحسب زوايا الاتجاه للمتجهات.

اوجد زاوية اتجاه كلّ من المتجهات الآتية، مع الاتجاه الموجب لمحور س. المتجه ك يساوي تلاتة في اتجاه الـ س، زائد سبعة في اتجاه الـ ص. والـ ر بيساوي أربعة وسالب خمسة. المتجه ك محطوط في صورة تركيب خطّي لمتجهَي الوحدة. اللي هي أ في اتجاه الـ س، زائد ب في اتجاه الـ ص. علشان نحسب الـ 𝜃، يبقى ظا 𝜃 هتساوي قيمة الـ ب، على الـ أ.

بالنسبة للمتجه ك، يبقى الـ 𝜃 بتاعته هتساوي الدالة العكسية للـ ظا لقيمة الـ ب على الـ أ، اللي هي سبعة على تلاتة. لو رسمنا المتجه ك، علشان نحدّد الرُّبع اللي فيه الزاوية 𝜃، هيبقى بالشكل ده. هنلاقيها في الرُّبع الأول. باستخدام الآلة الحاسبة، هنلاقي إن الـ 𝜃 هتساوي تقريبًا ستة وستين وتمنية من عشرة درجة.

بالنسبة للمتجه ر، هو محطوط في الصورة الإحداثية أ وَ ب. يبقى المتجه ر، الـ 𝜃 بتاعته هتساوي ظا الدالة العكسية لها لقيمة الـ ب على الـ أ، اللي هي سالب خمسة على الأربعة. لو رسمناه، السالب خمسة اللي هي قيمة الصادات دي قيمة سالبة، والسينات أربعة قيمة موجبة. يبقى الزاوية دي هتبقى في الرُّبع الرابع. وباستخدام الآلة الحاسبة، هنلاقيها تقريبًا تساوي سالب واحد وخمسين وتلاتة من عشرة درجة.

وبما إن المتجه ر ده، موجود في الرُّبع الرابع. يبقى نقدر نقول إن الزاوية بتاعته هتساوي تلتمية وستين درجة، ناقص واحد وخمسين وتلاتة من عشرة درجة. اللي هي هتساوي تلتمية وتمنية درجة وسبعة من عشرة. يعني لو جينا قِسْنا بالمنقلة، هنلاقي دي قيمتها تلتمية وتمنية وسبعة من عشرة درجة.

يبقى عرفنا في الفيديو ده، إيه هي زوايا الاتجاه للمتجه. إزّاي هنستخدمها بإيجاد صورة التركيب الخطّي لمتجهَي الوحدة لمتجه. وكمان إزّاي هنوجد الصورة الإحداثية للمتجه. وإزّاي أصلًا هنحسب زاوية اتجاه المتجه.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.