فيديو الدرس: معادلة الخط المستقيم: صورة الجزأين المقطوعين الرياضيات

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نمثل خطًّا مستقيمًا على صورة الجزأين المقطوعين باستخدام التقاطع مع المحورين ﺱ وﺹ.

٢٠:٣٧

‏نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نمثل خطًّا مستقيمًا على صورة الجزأين المقطوعين باستخدام التقاطع مع المحورين ﺱ وﺹ. حسنًا، من المهم أن نكون على دراية بالفعل ببعض الصور المختلفة التي يمكن أن تعطى بها معادلة الخط المستقيم. على سبيل المثال، لدينا صيغة الميل والمقطع؛ ﺹ يساوي ﻡﺱ زائد ﺏ؛ حيث ﻡ يمثل ميل الخط المستقيم، وﺏ يمثل الجزء المقطوع من المحور ﺹ. لدينا أيضًا صيغة الميل ونقطة؛ ﺹ ناقص ﺹ واحد يساوي ﻡ مضروبًا في ﺱ ناقص ﺱ واحد؛ حيث ﻡ هو ميل الخط المستقيم كما ذكرنا من قبل، وﺱ واحد، ﺹ واحد هما إحداثيات أي نقطة تقع على الخط المستقيم.

تفيدنا الصور المختلفة لمعادلة الخط المستقيم في سياقات متعددة؛ فهي توضح لنا خصائص مختلفة للتمثيل البياني للخط المستقيم. على سبيل المثال، من السهل كثيرًا تحديد الميل والجزء المقطوع من المحور ﺹ لخط مستقيم بمعلومية معادلته المعطاة بصيغة الميل والمقطع. كما تسمح لنا هذه الصور المختلفة بإيجاد معادلة الخط المستقيم بمعلومية مجموعات مختلفة من المعطيات.

وتعتمد صورة الجزأين المقطوعين لمعادلة الخط المستقيم على حقيقة أن العديد من الخطوط المستقيمة تتقاطع مع المحورين ﺱ وﺹ مرة واحدة فقط. لكن هناك استثناءين لذلك؛ وهما الخطوط المستقيمة الأفقية والخطوط المستقيمة الرأسية، فكل خط من هذه الخطوط يوازي أحد محوري الإحداثيات؛ ومن ثم لا يقطعه. إذن، لا يمكننا كتابة معادلات الخطوط المستقيمة الأفقية والخطوط المستقيمة الرأسية على صورة الجزأين المقطوعين. لكن جميع الخطوط المستقيمة القطرية تقطع بالفعل محوري الإحداثيات مرة واحدة فقط. والآن، سنسمي هاتين النقطتين هنا؛ ﺃ، صفر هي النقطة التي يقطع عندها الخط المستقيم المحور ﺱ، وصفر، ﺏ هي النقطة التي يقطع عندها الخط المستقيم المحور ﺹ. قيمتا ﺃ وﺏ تمثلان الجزأين المقطوعين من المحورين ﺱ وﺹ بالخط المستقيم، على الترتيب.

ومن ذلك، سنعرف صورة الجزأين المقطوعين لمعادلة الخط المستقيم كما يلي. صورة الجزأين المقطوعين لمعادلة الخط المستقيم الذي يقطع المحور ﺱ عند ﺃ، صفر، ويقطع المحور ﺹ عند صفر، ﺏ هي ﺱ على ﺃ زائد ﺹ على ﺏ يساوي واحدًا. في الواقع، استنتاج هذه الصورة لمعادلة الخط المستقيم هو أمر بسيط نسبيًّا. إننا نعلم، بوجه عام، أن ميل الخط المستقيم المار بنقطتين إحداثياتهما ﺱ واحد، ﺹ واحد وﺱ اثنان، ﺹ اثنان يعطى بالصيغة ﻡ يساوي ﺹ اثنين ناقص ﺹ واحد على ﺱ اثنين ناقص ﺱ واحد؛ أي التغير في ﺹ على التغير في ﺱ. وإذا عوضنا بإحداثيات تقاطع المحورين ﺱ وﺹ مع الخط المستقيم؛ أي الإحداثيات ﺃ، صفر وصفر، ﺏ، فسيصبح لدينا ﻡ يساوي صفرًا ناقص ﺏ على ﺃ ناقص صفر، وهو ما يمكن تبسيطه إلى سالب ﺏ على ﺃ.

سنسترجع بعد ذلك صيغة الميل ونقطة لمعادلة الخط المستقيم؛ وهي ﺹ ناقص ﺹ واحد يساوي ﻡ مضروبًا في ﺱ ناقص ﺱ واحد؛ حيث ﻡ هو الميل، وﺱ واحد، ﺹ واحد هما إحداثيات أي نقطة على المستقيم. وعند التعويض بالميل الذي حسبناه للتو، والنقطة ﺃ، صفر عن ﺱ واحد، ﺹ واحد نحصل على ﺹ ناقص صفر يساوي سالب ﺏ على ﺃ مضروبًا في ﺱ ناقص ﺃ. يمكننا توزيع القوس في الطرف الأيسر لنحصل على ﺹ يساوي سالب ﺏ على ﺃ في ﺱ زائد ﺏ. وبقسمة طرفي المعادلة على ﺏ، نحصل على ﺹ على ﺏ يساوي سالب ﺱ على ﺃ زائد واحد. وأخيرًا، بإضافة ﺱ على ﺃ إلى طرفي المعادلة، نحصل على ﺱ على ﺃ زائد ﺹ على ﺏ يساوي واحدًا. وبذلك نكون قد توصلنا إلى صورة الجزأين المقطوعين لمعادلة الخط المستقيم الذي يقطع المحور ﺱ عند النقطة ﺃ، صفر ويقطع المحور ﺹ عند النقطة صفر، ﺏ.

علينا أن نلاحظ بالطبع أن ﺃ وﺏ؛ أي الجزأين المقطوعين من المحورين ﺱ وﺹ، هما مقاما الكسرين لدينا. ومن ثم، يمكننا مباشرة تحديد الجزأين المقطوعين من المحورين ﺱ وﺹ بالخط المستقيم بمعلومية معادلته على هذه الصورة. والعكس صحيح؛ حيث يمكننا أيضًا كتابة معادلة الخط المستقيم على صورة الجزأين المقطوعين بمعلومية الجزأين المقطوعين من المحورين ﺱ وﺹ. سنتناول الآن بعض الأمثلة التي نستخدم فيها صورة الجزأين المقطوعين لمعادلة الخط المستقيم. في المثال الأول، سنتدرب على إيجاد معادلة الخط المستقيم على هذه الصورة بمعلومية إحداثيات النقطتين اللتين يقطع عندهما المحوران.

إذا قطع خط مستقيم المحور ﺱ عند ستة، صفر، وقطع المحور ﺹ عند صفر، خمسة، فاكتب معادلة الخط المستقيم على صورة الجزأين المقطوعين.

دعونا نسترجع أولًا صورة الجزأين المقطوعين لمعادلة الخط المستقيم. صورة الجزأين المقطوعين لمعادلة الخط المستقيم الذي يقطع المحور ﺱ عند ﺃ، صفر، ويقطع المحور ﺹ عند صفر، ﺏ هي ﺱ على ﺃ زائد ﺹ على ﺏ يساوي واحدًا. وعلمنا من المعطيات أن هذا المستقيم يقطع المحور ﺱ عند ستة، صفر؛ لذلك فإن قيمة ﺃ هي ستة. وعلمنا أيضًا أن المستقيم يقطع المحور ﺹ عند صفر، خمسة؛ لذلك فإن قيمة ﺏ هي خمسة. بالتعويض بـ ﺃ يساوي ستة وﺏ يساوي خمسة في صورة الجزأين المقطوعين لمعادلة الخط المستقيم، سنحصل على الإجابة. ‏ﺱ على ستة زائد ﺹ على خمسة يساوي واحدًا.

سنتناول الآن مثالًا عكس ما تناولناه للتو. سنتعرف على كيفية تحديد الجزأين المقطوعين من المحورين ﺱ وﺹ بخط مستقيم بمعلومية معادلته على صورة الجزأين.

اذكر إحداثيات نقطتي تقاطع المحورين ﺱ وﺹ مع الخط المستقيم ﺱ على ثلاثة ناقص ﺹ على اثنين يساوي واحدًا.

عند النظر جيدًا إلى الصورة المعطاة لمعادلة هذا الخط المستقيم، سنلاحظ أنها تشبه إلى حد كبير صورة الجزأين المقطوعين لمعادلة الخط المستقيم. صورة الجزأين المقطوعين هي ﺱ على ﺃ زائد ﺹ على ﺏ يساوي واحدًا؛ حيث يقطع الخط المستقيم المحور ﺱ عند ﺃ، صفر، ويقطع المحور ﺹ عند صفر، ﺏ. لكن إذا نظرنا جيدًا إلى هذه المعادلة، فسنجد أن هناك علامة طرح بدلًا من علامة الجمع بين الحدين في الطرف الأيمن. ومن ثم، علينا إعادة كتابة المعادلة المعطاة بحيث تتوافق تمامًا مع صورة الجزأين المقطوعين. وبعد ذلك، سيكون بإمكاننا استخدامها لتحديد إحداثيات نقطتي التقاطع مع المحورين ﺱ وﺹ.

في ضوء معرفتنا بالعمليات الجبرية، نحن نعلم أن طرح ﺹ على اثنين هو نفسه جمع سالب ﺹ على اثنين، أو يمكننا التعامل مع ذلك على أنه جمع ﺹ على سالب اثنين. لا يهم ما إذا كنا سنكتب هذا السالب في بسط الكسر أو مقامه. لذا يمكننا إعادة كتابة المعادلة ﺱ على ثلاثة ناقص ﺹ على اثنين يساوي واحدًا لتصبح على الصورة ﺱ على ثلاثة زائد ﺹ على سالب اثنين يساوي واحدًا. التغير الوحيد هنا في الحد الثاني. إننا لا نفضل عادة أن نترك قيمة سالبة في مقام أي كسر هكذا. لكن عندما نفعل ذلك هنا، نجد أن المعادلة تتطابق تمامًا مع صورة الجزأين المقطوعين لمعادلة الخط المستقيم.

يمكننا الآن تحديد الجزأين المقطوعين من المحورين ﺱ وﺹ بالنظر إلى مقامي الكسرين. مقام الحد الذي به ﺱ هو ثلاثة؛ ما يعني أن قيمة ﺃ هي ثلاثة؛ ومن ثم فإن إحداثيات نقطة التقاطع مع المحور ﺱ هي ثلاثة، صفر. وبالنظر إلى الحد الثاني، نجد أن المقام تحت ﺹ هو سالب اثنين. وهذا يعني أن قيمة ﺏ هي سالب اثنين؛ ومن ثم فإن إحداثيات نقطة التقاطع مع المحور ﺹ هي صفر، سالب اثنين. إذن بإعادة كتابة المعادلة المعطاة لتتطابق مع صورة الجزأين المقطوعين لمعادلة الخط المستقيم، وجدنا أن إحداثيات نقطة التقاطع مع المحور ﺱ لهذا المستقيم هي ثلاثة، صفر، وإحداثيات نقطة التقاطع مع المحور ﺹ هي صفر، سالب اثنين.

في هذا المثال كان علينا توخي الحذر؛ وذلك لأن الجزء المقطوع من المحور ﺹ له قيمة سالبة. وعلينا الانتباه أيضًا إذا كانت قيمة أحد الجزأين المقطوعين كسرية.

حسنًا، سنفترض أن لدينا خطًّا مستقيمًا معادلته هي خمسة ﺱ زائد سبعة ﺹ يساوي واحدًا. للوهلة الأولى، قد نظن أن معادلة هذا الخط المستقيم مكتوبة على صورة الجزأين المقطوعين؛ حيث ﺃ يساوي خمسة وﺏ يساوي سبعة. ومن ثم، نستنتج أن الخط المستقيم يقطع المحور ﺱ عند النقطة خمسة، صفر، ويقطع المحور ﺹ عند النقطة صفر، سبعة، لكن هذا غير صحيح. فإذا قارنا بين هذه المعادلة وصورة الجزأين المقطوعين لمعادلة الخط المستقيم، فسنجد أن الحدين اللذين يحتويان على ﺱ وﺹ يجب قسمتهما على الثابتين اللذين يمثلان الجزأين المقطوعين من المحورين ﺱ وﺹ، لا ضربهما في الثابتين.

الشيء الذي علينا الانتباه إليه هنا هو أن خمسة ﺱ يساوي ﺱ مقسومًا على خمس. وهذا لأن ﺱ مضروبًا في خمسة هو نفسه ﺱ مقسومًا على واحد على خمسة، ويمكننا كتابة ذلك على الصورة ﺱ على خمس. وبالطريقة نفسها، سبعة ﺹ يساوي ﺹ على سبع. إذن، يمكن إعادة كتابة هذه المعادلة على الصورة ﺱ على خمس زائد ﺹ على سبع يساوي واحدًا، وهذه المعادلة الآن أصبحت على صورة الجزأين المقطوعين. يمكننا الآن التوصل إلى استنتاج صحيح؛ وهو أنه بما أن قيمة ﺃ هي خمس؛ فإن الخط المستقيم يقطع المحور ﺱ عند النقطة خمس، صفر. وبما أن قيمة ﺏ هي سبع، فإن الخط المستقيم يقطع المحور ﺹ عند النقطة صفر، سبع.

في بعض الأحيان، تعطى معادلات الخط المستقيم بصيغ أخرى، مثل صيغة الميل ونقطة أو صيغة الميل والمقطع. والتحويل بين مختلف الصور هو مهارة أساسية؛ وذلك لأن هذه الصور تساعدنا في تحديد الخصائص المختلفة للخط المستقيم. سنتناول الآن مثالًا سنعيد فيه ترتيب معادلة الخط المستقيم المعطاة بصيغة الميل والمقطع لتصبح على صورة الجزأين المقطوعين.

اكتب معادلة الخط المستقيم ﺹ يساوي سالب اثنين ﺱ زائد ستة على صورة الجزأين المقطوعين.

دعونا نسترجع أولًا أن صورة الجزأين المقطوعين لمعادلة الخط المستقيم — الذي يقطع المحور ﺱ عند ﺃ، صفر ويقطع المحور ﺹ عند صفر، ﺏ — هي ﺱ على ﺃ زائد ﺹ على ﺏ يساوي واحدًا. علينا إذن أن نأخذ المعادلة المعطاة ونعيد ترتيبها. سنبدأ بإضافة اثنين ﺱ إلى طرفي المعادلة، وهذا يعطينا اثنين ﺱ زائد ﺹ يساوي ستة. حسنًا، لدينا الآن الحدان اللذان يحتويان على ﺱ وﺹ في أحد طرفي المعادلة، ولدينا الحد الثابت في الطرف الآخر. لكن هذه المعادلة ليست على صورة الجزأين المقطوعين؛ لأن الحد الثابت في الطرف الأيسر يجب أن يساوي واحدًا. لذا، علينا قسمة كلا الطرفين على ستة. وبذلك يصبح لدينا اثنان ﺱ على ستة زائد ﺹ على ستة يساوي واحدًا.

يمكننا بعد ذلك تبسيط الكسر الأول بحذف العامل المشترك اثنين من كل من البسط والمقام لنحصل على ﺱ على ثلاثة زائد ﺹ على ستة يساوي واحدًا. وبذلك، أصبحت هذه المعادلة على صورة الجزأين المقطوعين. وبالرغم من أن السؤال لم يطلب منا ذلك، لكن يمكننا استخدام هذه الصورة لتحديد الجزأين المقطوعين من المحورين ﺱ وﺹ لهذا الخط المستقيم. قيمة ﺃ هي ثلاثة، وقيمة ﺏ هي ستة.

حسنًا، لقد عرفنا في هذا المثال أنه من المهم للغاية ألا نخلط بين صورة الجزأين المقطوعين لمعادلة الخط المستقيم والصورة العامة ﺃﺱ زائد ﺏﺹ يساوي ﺟ. في هذه الخطوة، كانت المعادلة على الصورة العامة؛ لذا تعين علينا قسمة جميع حدود المعادلة على ستة لتحويلها إلى صورة الجزأين المقطوعين.

سنتعرف الآن على كيفية إيجاد ميل خط مستقيم معادلته معطاة على صورة الجزأين المقطوعين. عندما ذكرنا صورة الجزأين المقطوعين في بداية الفيديو، حسبنا ميل الخط المستقيم. وعرفنا أن ميل الخط المستقيم الذي يمر بالنقطتين ﺃ، صفر وصفر، ﺏ يساوي سالب ﺏ على ﺃ. ومن ثم، يمكننا القول إن هذا نتيجة عامة. أي إن ميل الخط المستقيم المعطى معادلته على صورة الجزأين المقطوعين — ﺱ على ﺃ زائد ﺹ على ﺏ يساوي واحدًا — يساوي سالب ﺏ على ﺃ؛ حيث ﺃ، صفر هي إحداثيات نقطة التقاطع مع المحور ﺱ وصفر، ﺏ هي إحداثيات نقطة التقاطع مع المحور ﺹ. وهذه النتيجة العامة مفيدة حقًّا؛ لأنها تمكننا من إيجاد ميل أي خط مستقيم معادلته معطاة على صورة الجزأين المقطوعين دون الحاجة إلى إعادة ترتيب معادلته أو رسم تمثيله البياني.

سنتناول الآن مثالًا أخيرًا سنحسب فيه كلًّا من الجزأين المقطوعين وميل الخط المستقيم المعطى معادلته على صورة الجزأين المقطوعين.

التمثيل البياني للمعادلة ﺱ على أربعة زائد ﺹ على ١٢ يساوي واحدًا هو خط مستقيم. ما إحداثيات نقطة تقاطع المحور ﺱ مع الخط المستقيم؟ ما إحداثيات نقطة تقاطع المحور ﺹ مع الخط المستقيم؟ ما ميل الخط المستقيم؟

علينا هنا ملاحظة أن معادلة الخط المستقيم معطاة على صورة الجزأين المقطوعين؛ ﺱ على ﺃ زائد ﺹ على ﺏ يساوي واحدًا. ونحن نعرف أنه بالنسبة لأي خط مستقيم معادلته معطاة على هذه الصورة، تكون إحداثيات نقطة التقاطع مع المحور ﺱ هي ﺃ، صفر، وإحداثيات نقطة التقاطع مع المحور ﺹ هي صفر، ﺏ. وعليه، يمكننا إيجاد إحداثيات نقطتي تقاطع المحورين ﺱ وﺹ مع هذا الخط المستقيم عن طريق المقارنة بين المعادلة المعطاة والصورة العامة وتحديد قيمتي ﺃ وﺏ؛ وهما مقاما الكسرين لدينا. نلاحظ أولًا أن قيمة ﺃ، وهي القيمة المقسوم عليها ﺱ، تساوي أربعة؛ ومن ثم فإن إحداثيات نقطة التقاطع مع المحور ﺱ هي أربعة، صفر. وبالمثل، قيمة ﺏ تساوي ١٢؛ ومن ثم فإن إحداثيات نقطة التقاطع مع المحور ﺹ هي صفر، ١٢.

سنتناول بعد ذلك ميل هذا الخط المستقيم. يمكننا الآن حسابه باستخدام إحداثيات النقطتين اللتين حددناهما وتقعان على الخط المستقيم. أو يمكننا تذكر النتيجة العامة التي تنص على أن ميل أي خط مستقيم معادلته معطاة على صورة الجزأين المقطوعين يساوي سالب ﺏ على ﺃ. ولقد حددنا للتو قيمة ﺏ وهي ١٢، وقيمة ﺃ وهي أربعة. إذن، لدينا ﻡ يساوي سالب ١٢ على أربعة، وهو ما يساوي سالب ثلاثة. وبذلك نكون قد انتهينا من إجابة السؤال. إذن، إحداثيات نقطة التقاطع مع المحور ﺱ هي أربعة، صفر، وإحداثيات نقطة التقاطع مع المحور ﺹ هي صفر، ١٢، وميل هذا الخط المستقيم هو سالب ثلاثة.

سنختتم الآن بتلخيص بعض النقاط الرئيسية في هذا الفيديو. صورة الجزأين المقطوعين لمعادلة الخط المستقيم الذي يقطع المحور ﺱ عند ﺃ، صفر، ويقطع المحور ﺹ عند صفر، ﺏ هي ﺱ على ﺃ زائد ﺹ على ﺏ يساوي واحدًا. قيمتا ﺃ وﺏ يمثلان الجزأين المقطوعين من المحورين ﺱ وﺹ بالخط المستقيم. ميل الخط المستقيم الذي تعطى معادلته على صورة الجزأين المقطوعين يساوي سالب ﺏ على ﺃ. لقد عرفنا أيضًا أنه يمكننا التحويل بين الصور المختلفة لمعادلة الخط المستقيم عن طريق إعادة ترتيب المعادلة. وعلينا الانتباه جيدًا لتجنب الخلط بين صورة الجزأين المقطوعين والصورة العامة ﺃﺱ زائد ﺏﺹ يساوي ﺟ.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.