فيديو: تركيب دالتين

أحمد مدحت

يوضح الفيديو مفهوم تركيب الدوال، وكيفية تركيب دالتين، من خلال أمثلة توضيحية.

١٠:٤٠

‏نسخة الفيديو النصية

هنتكلّم عن تركيب دالتين.

في الفيديو ده، هنعرف يعني إيه تركيب دالتين، وكمان هنعرف إزّاي نقدر نعمله. بالنسبة لتركيب دالتين، فهو عبارة عن طريقة من الطرق اللي بنستخدمها علشان ندمج دالتين مع بعض. ولمّا بنركّب دالتين، فإحنا بنستخدم قيم دالة منهم علشان نحسب قيم الدالة التانية.

بالنسبة لتركيب دالتين، فإحنا في الأول هنفرض إن إحنا عندنا دالتين همّ الدالة د، والدالة ر. بحيث إن هيبقى مدى الدالة ر مجموعة جزئية من مجال الدالة د. وبالتالي هتبقى الدالة المركّبة د تركيب ر، أو د بعد ر، نقدر نوصفها بإن هيبقى د تركيب ر س، أو د بعد ر س هيساوي د ر س.

وعلشان نعرف إزّاي نوجد الدالة المركّبة د تركيب ر، أو د بعد ر س، ففي الأول بيبقى عندنا قيم س. قيم س دي هتكون مجال الدالة ر، واللي هنستخدمها علشان نجيب قيم الدالة ر س، واللي هو المدى بتاعها. بعد كده هنعتبر المدى بتاع الدالة ر ده هو المجال بتاع الدالة د، واللي هنستخدمه علشان نجيب قيم الدالة د عند قيم المدى بتاع الدالة ر. يعني في الآخر هيبقى عندنا المدى بتاع الدالة د بعد ما استخدمنا المدى بتاع الدالة ر كمجال للدالة د.

وبكده يبقى إحنا أوجدنا الدالة المركّبة د تركيب ر س، أو د بعد ر س. بالنسبة للتركيب بتاع دالتين، فهو ممكن يكون غير معرّف. فلو فرضنا إن إحنا عندنا الدالتين د وَ ر. فبالنسبة للدالة المركّبة د تركيب ر س، أو د بعد ر س، هتكون معرّفة بس عند قيم س اللي هتخلّي مدى الدالة ر س مجموعة جزئية من مجال الدالة د. وبالمثل برضو هتبقى الدالة المركّبة ر تركيب د س أو ر بعد د س معرّفة بس عند قيم س اللي هتخلّي مدى الدالة د س مجموعة جزئية من مجال الدالة ر. كده يبقى إحنا عرفنا يعني إيه تركيب دالتين.

هنبدأ نشوف مثال نعرف بيه إزّاي نركّب دالتين، بس في الصفحة اللي جايّة. فهنقلب الصفحة. هيظهر لنا مثال. عندنا في المثال: عايزين نوجد الدالة د تركيب ر س، والدالة ر تركيب د س لكل زوج من الدوال الآتية، إذا كان ده ممكن.

وعندنا مطلوبين همّ أ وَ ب. هنبدأ بالمطلوب أ في الصفحة دي، وهنشوف المطلوب ب في الصفحة اللي جايّة. هنشوف المطلوب أ. بالنسبة للمطلوب أ، فمعطى الدالتين د وَ ر على شكل مجموعة مكوّنة من أزواج مرتّبة. هنبدأ الأول بالدالة د تركيب ر. وعلشان نوجدها، فإحنا أول حاجة هنوجد القيم بتاعة الدالة ر س. بعد كده هنستخدم المدى بتاعها؛ علشان نوجد قيم الدالة د س. فهنستخدم الشكل ده. وبالتالي محتاجين نحدّد قيم س، واللي هتبقى عبارة عن مجال الدالة ر. فلمّا هنرجع للدالة ر، هنلاقي إن قيم س هتبقى تمنية، وخمسة، وعشرة، وتسعة.

بعد كده هنبدأ نجيب قيم الدالة ر عند س تساوي تمنية، وعند س تساوي خمسة، وعند س تساوي عشرة، وعند س تساوي تسعة. فهنلاقي أول حاجة إن قيمة الدالة ر عند س تساوي تمنية هي خمستاشر. وبالتالي هيبقى عندنا … وبالتالي هيبقى عندنا د بعد ر س عند س تساوي تمنية، هتساوي د خمستاشر. بعد كده هنبدأ نشوف هل خمستاشر موجودة في مجال الدالة د ولّا لأ. فهنلاقيها موجودة. وهنلاقي إن د خمستاشر تساوي حداشر. معنى كده إن هتبقى قيمة الدالة المركّبة د تركيب ر س عند س تساوي تمنية هي حداشر. بعد كده بالنسبة لقيمة الدالة ر عند س تساوي خمسة، فهنلاقيها واحد. وبالتالي هيبقى د تركيب ر س عند س تساوي خمسة تساوي د واحد.

بعد كده هنبدأ نشوف هل واحد موجود في مجال الدالة د ولّا لأ. فهنلاقيه موجود. وهنلاقي إن د واحد بتساوي تمنية. معنى كده إن د تركيب ر س عند س تساوي خمسة يساوي تمنية. بنفس الطريقة، هنجيب د تركيب ر س عند س تساوي عشرة، ود تركيب ر س عند س تساوي تسعة. بكده هتبقى الدالة د تركيب ر تساوي مجموعة بتتكوّن من أزواج مرتّبة. وهي الزوج المرتّب تمنية وحداشر، والزوج المرتّب خمسة وتمنية، والزوج المرتّب عشرة وتسعة، والزوج المرتّب تسعة وتلتاشر. وده معناه إن المجال هيبقى عبارة عن المجموعة تمنية، وخمسة، وعشرة، وتسعة. أمَّا بالنسبة للمدى، فهيبقى المجموعة حداشر، وتمنية، وتسعة، وتلتاشر. بكده يبقى إحنا جِبنا الدالة د تركيب ر س، وحدّدنا المجال والمدى بتوعها.

هنبدأ نشوف الدالة التانية ر تركيب د س في الصفحة اللي جايّة. فهنقلب الصفحة. علشان هنوجد الدالة ر تركيب د س، فإحنا في الأول هنوجد قيم الدالة د س. بعد كده هنستخدم المدى؛ علشان نجيب قيم الدالة ر س. يبقى أول حاجة هنحدّد قيم س، واللي هتكون عبارة عن مجال الدالة د. فلمّا هنرجع للدالة د، هنلاقي إن قيم س هتبقى واحد، وصفر، وخمستاشر، وأربعتاشر. يبقى معنى كده إن إحنا عايزين نجيب قيم الدالة ر بعد د س عند س تساوي واحد، وصفر، وخمستاشر، وأربعتاشر.

بعد كده هنوجد قيمة الدالة ر بعد د عند س تساوي واحد. وبالتالي أول حاجة هنجيب قيمة الدالة د عند س تساوي واحد. فهنلاقي إن د واحد بتساوي تمنية. معنى كده إن ر بعد د عند س تساوي واحد هتساوي ر تمنية. بعد كده هنشوف هل التمنية موجودة في مجال الدالة ر ولّا لأ. هنلاقي إن التمنية موجودة في مجال الدالة ر. وهنلاقي إن ر تمنية بتساوي خمستاشر. يبقى معنى كده إن قيمة الدالة ر بعد د عند س تساوي واحد هي خمستاشر.

بعد كده هنجيب قيمة الدالة ر بعد د عند س تساوي صفر. وبالتالي هنبدأ إن إحنا نجيب قيمة الدالة د عند س تساوي صفر. فهنلاقي إن د صفر بتساوي تلتاشر. يبقى معنى كده إن الدالة ر بعد د عند س تساوي صفر تساوي ر تلتاشر. الخطوة اللي بعد كده إن إحنا هنبدأ نشوف هل تلتاشر دي موجودة في مجال الدالة ر ولّا لأ. هنلاقيها مش موجودة. وبالتالي هتبقى الدالة ر بعد د عند س تساوي صفر غير معرّفة.

بنفس الطريقة، هنجيب قيم الدالة ر بعد د عند س تساوي خمستاشر، وعند س تساوي أربعتاشر. بعد ما جِبنا قيم الدالة ر بعد د عند س تساوي واحد وصفر، وخمستاشر وأربعتاشر، لقينا إن الدالة دي هتبقى غير معرّفة عند س تساوي صفر وعند س تساوي خمستاشر. وده لأن تلتاشر وحداشر مش موجودين في المجال بتاع الدالة ر. وبكده نقدر نقول: إن الدالة ر تركيب د تساوي مجموعة مكوّنة من أزواج مرتّبة. وهي الزوج المرتَّب واحد وخمستاشر، والزوج المرتَّب أربعتاشر وتسعة. وبالنسبة للمجال بتاع الدالة دي، فهيساوي المجموعة واحد وأربعتاشر. أمَّا بالنسبة للمدى، فهيساوي المجموعة خمستاشر وتسعة. بكده يبقى إحنا أوجدنا الدالة ر تركيب د س. وكمان حدّدنا لها المجال والمدى.

بعد كده هنشوف المطلوب ب في الصفحة اللي جايّة. هنقلب الصفحة، هيظهر لنا المطلوب. بالنسبة للمطلوب ب، فإحنا عندنا إن د س تساوي اتنين س ناقص خمسة، وَ ر س تساوي أربعة س. هنبدأ الأول بإن إحنا نوجد الدالة د تركيب ر س. بالنسبة للدالة د تركيب ر س، أو الدالة د بعد ر س، فإحنا أول حاجة عندنا إنه ر س بتساوي أربعة س. فهنعوّض مكانها. وبالتالي هيبقى د تركيب ر س تساوي د أربعة س. وإحنا عندنا الدالة د س بتساوي اتنين س ناقص خمسة. فهنعوّض مكان س بأربعة س. فهيبقى د تركيب ر س بيساوي اتنين في أربعة س، ناقص خمسة.

فلمّا هنبسّط المقدار ده، هنلاقي إن الدالة د تركيب ر س تساوي تمنية س ناقص خمسة. وهي دي الدالة د تركيب ر س، أو الدالة د بعد ر س. وبالنسبة للمجال بتاع الدالة دي، فهيكون عبارة عن مجموعة الأعداد الحقيقية. وبالنسبة للمدى، فهو برضو مجموعة الأعداد الحقيقية.

بعد ما خلّصنا الدالة د تركيب ر س، هنبدأ نشوف الدالة ر تركيب د س. بالنسبة للدالة ر تركيب د س، أو الدالة ر بعد د س، فإحنا هنعوّض مكان د س باتنين س ناقص خمسة. فهيبقى عندنا الدالة ر تركيب د تساوي ر اتنين س ناقص خمسة. بعد كده هنعوّض مكان س في الدالة ر س باتنين س ناقص خمسة. وبالتالي الدالة هتساوي أربعة في، اتنين س ناقص خمسة. لمّا هنبسّط المقدار ده، هنلاقي إن الدالة بتساوي تمنية س ناقص عشرين. وبكده هتبقى الدالة ر تركيب د س هي تمنية س ناقص عشرين.

أمَّا بالنسبة للمجال بتاع الدالة دي، فهيكون عبارة عن مجموعة الأعداد الحقيقية. والمدى بتاعها، فبرضو هيكون مجموعة الأعداد الحقيقية. هنلاحظ من خلال المثال ده إن معظم الحالات بتكون الدالة د تركيب ر ما بتساويش الدالة ر تركيب د. وبالتالي هيكون ترتيب الدالتين لمّا بنيجي نركّبهم مهمّ جدًّا.

بكده يبقى إحنا في الفيديو ده، عرفنا إن تركيب دالتين هو طريقة بنستخدمها علشان ندمج دالتين مع بعض. وكمان عرفنا إن إحنا لمّا بنركّب دالتين فإحنا بنستخدم قيم دالة منهم علشان نحسب قيم الدالة التانية. وكمان عرفنا إن ساعات الدالة الناتجة عن تركيب دالتين بتكون غير معرّفة. وكمان عرفنا إن ترتيب الدالتين بيكون مهمّ لمّا بنركّبهم.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.