فيديو الدرس: العد باستخدام التوافيق الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نستخدم التوافيق لحل مسائل العد. التوافيق هي إعادة تنظيم لمجموعة من العناصر. على سبيل المثال، لنقل إن لدينا الحروف ﺃ وﺏ وﺟ وﺩ. يمكننا تنظيم حرفين منها على صورة ﺃﺏ، وﺏﺟ، وﺟﺩ، وهكذا. كل تنظيم هو مثال لأحد التوافيق. لكن الترتيب ليس مهمًّا، لذا ﺃﺏ هو نفسه ﺏﺃ. والآن، بالطبع، إذا كان الترتيب مهمًّا، فإننا في الواقع نحسب تباديل، ومن ثم فإن الصيغة ستكون مختلفة. لذا من المهم جدًّا أن ننتبه إلى الفرق بين التوافيق والتباديل قبل الإجابة عن أي مسألة. مهمتنا الآن هي إيجاد طريقة لحساب ذلك. ولإيجاد صيغة، سنبدأ بتناول مثال.

طلب المعلم من منى أن تختار خمسة موضوعات من بين ثمانية موضوعات قدمت إليها. ما عدد المجموعات المختلفة المكونة من خمسة موضوعات يمكن أن تختارها؟

في هذا السؤال، نريد إيجاد عدد الطرق التي يمكننا بها اختيار خمسة عناصر مختلفة من مجموعة مكونة من ثمانية عناصر. وهنا يكون الترتيب غير مهم. على سبيل المثال، لنفترض أن ثلاثة من الموضوعات التي يمكنها الاختيار منها هي الكسور والأعداد العشرية والنسب المئوية. يمكنها اختيار الكسور أولًا، ثم الأعداد العشرية، ثم النسب المئوية. وبإمكانها أيضًا البدء بالكسور ثم النسب المئوية ثم الأعداد العشرية. إذا سردنا كل هذه الطرق المختلفة، فسنجد أنه توجد ست طرق مختلفة يمكنها بها اختيار الموضوعات الثلاثة. ولكن بالطبع في هذا السياق، اختيار الكسور، والأعداد العشرية، والنسب المئوية هو في الواقع يماثل تمامًا اختيارها بأي ترتيب آخر. في الواقع، عندما نريد اختيار عدد من العناصر من مجموعة أكبر، فإن هذا يعرف بالتوافيق.

ولإيجاد صيغة، سنبدأ إذن بالتفكير في التباديل. هذا عندما يكون الترتيب مهمًّا. في هذه الحالة، توجد ستة تباديل وواحد فقط من التوافيق. والآن لنقل إن ﻥﻝﺭ هو عدد الطرق التي يمكن بها اختيار عدد ﺭ من العناصر من بين مجموعة عددها ﻥ من العناصر عندما يكون الترتيب مهمًّا. ربما نتذكر أن الصيغة التي نستخدمها لحساب ﻥﻝﺭ هي مضروب ﻥ على مضروب ﻥ ناقص ﺭ. في هذه الحالة، نريد إيجاد عدد طرق اختيار خمسة موضوعات من إجمالي ثمانية موضوعات. لذا، علينا حساب ثمانية ﻝ خمسة. بجعل ﻥ يساوي ثمانية وﺭ يساوي خمسة، عدد التباديل هنا هو مضروب ثمانية على مضروب ثمانية ناقص خمسة. وهذا يساوي مضروب ثمانية على مضروب ثلاثة، وهو ما يساوي ٦٧٢٠.

إذن، إذا كان الترتيب مهمًّا، توجد ٦٧٢٠ طريقة لاختيار خمسة موضوعات من ثمانية موضوعات معطاة. لكننا نعلم أن الترتيب هنا ليس مهمًّا. لذا، نحتاج إلى إيجاد طريقة للتخلص من التباديل الزائدة. لنعد إلى مثالنا السابق عن اختيار ثلاثة موضوعات فقط. لاختيار ثلاثة موضوعات من إجمالي ستة موضوعات عندما يكون الترتيب مهمًّا، نحسب ستة ﻝ ثلاثة، وهو ما يعطينا التباديل الستة التي نتوقعها.

وللتخلص من التباديل الزائدة، علينا أن نقسم على مضروب ثلاثة لأننا نريد ثلاثة موضوعات. أي ستة مقسومًا على مضروب ثلاثة، أو ستة مقسومًا على ستة، وهو ما يساوي واحدًا. ذلك يعطينا واحد التوافيق التي كنا نتوقعه. في هذه الحالة، بما أنه توجد خمسة موضوعات، سنقسم ثمانية ﻝ خمسة على مضروب خمسة. ويعطينا ذلك الناتج ٥٦. يمكن لمنى أن تختار ٥٦ مجموعة مكونة من خمسة موضوعات مختلفة من إجمالي ثمانية موضوعات.

الآن، هذا يعطينا صيغة. عند إيجاد عدد التوافيق، لا بد أن يكون عدد التوافيق أقل من إجمالي عدد التباديل. وللأخذ في الاعتبار عدد المرات الزائدة التي حسبنا فيها المجموعة ﺭ نفسها من العناصر، نقسم عدد التباديل على مضروب ﺭ. لذا نحصل على ﻥ توافيق ﺭ، أي عدد طرق اختيار ﺭ من العناصر من ﻥ عندما لا يكون الترتيب مهمًّا، وهو ما يساوي ﻥﻝﺭ على مضروب ﺭ. دعونا نعرف هذا بطريقة أكثر منهجية. يعرف عدد طرق اختيار ﺭ من العناصر من مجموعة من ﻥ من العناصر، عندما لا يكون الترتيب مهمًّا، باسم عدد التوافيق. ونعرفه على صورة ﻥ توافيق ﺭ، ويساوي ﻥﻝﺭ على مضروب ﺭ، وهو ما يساوي بالمثل مضروب ﻥ على مضروب ﺭ في مضروب ﻥ ناقص ﺭ.

ويجدر أيضًا ملاحظة أن الترميز ﻥﻕﺭ يمكن الإشارة إليه على أنه معامل ذات الحدين. وقد تعتمد كيفية تمثيلنا لذلك الترميز في الإنجليزية على مكان تواجدنا في العالم. بوضع هذا في الاعتبار، سنتناول الآن مثالًا يبين كيفية تطبيق هذه الصيغة.

كتب اسم كل طالب من أربعة طلاب على قطعة من الورق ووضعت في قبعة. إذا اختير اسمان اثنان عشوائيًّا من القبعة، فأوجد عدد جميع الاختيارات الممكنة للطالبين.

نريد إيجاد عدد طرق اختيار اسمين من إجمالي أربعة أسماء. ولذلك سنبدأ بأن نقرر إن كنا مهتمين بحساب عدد التوافيق أم عدد التباديل. وهذا كله يتعلق بما إذا كان الترتيب مهمًّا. تحديدًا، إذا كنا نختار من مجموعة من العناصر ونقول إن الترتيب ليس مهمًّا، فإننا بذلك نقول إن ذلك توافيق. أما إذا كان الترتيب مهمًّا، فإننا نتعامل مع تباديل.

دعونا نفكر فيما يحدث عند اختيار اسمين من قبعة. لنفترض أن الاسمين اللذين سحبناهما من القبعة هما علي ونادر. لا يهم إن اخترنا علي أولًا ثم نادر أو اخترنا نادر أولًا ثم علي. هذا يعني أن ما يهمنا هو عدد التوافيق. الترتيب ليس مهمًّا هنا. حسنًا، لنذكر أنفسنا بالصيغة التي نستخدمها. لحساب عدد توافيق اختيار ﺭ من العناصر من مجموعة من ﻥ من العناصر، نوجد ﻥ توافيق ﺭ، وهو ما يساوي ﻥﻝﺭ على مضروب ﺭ.

عندما نحسب من البداية، قد يكون من المنطقي استخدام الصيغة المعدلة مضروب ﻥ على مضروب ﺭ في مضروب ﻥ ناقص ﺭ. والآن، ﻥ هو إجمالي عدد العناصر داخل المجموعة. حسنًا، هنا هذا يمثل أسماء الطلاب. لذا يوجد أربعة طلاب وﻥ يساوي أربعة. إننا نختار اسمين من القبعة. لذا، سنجعل ﺭ يساوي اثنين. لذلك يمكننا القول إن العدد الإجمالي لطرق اختيار هذين الاسمين نحصل عليه بحساب أربعة توافيق اثنين.

بالتعويض في الصيغة، نرى أن هذا يساوي مضروب أربعة على مضروب اثنين في مضروب أربعة ناقص اثنين. يمكن تبسيط ذلك إلى مضروب أربعة على مضروب اثنين في مضروب اثنين. وبما أن مضروب اثنين يساوي اثنين في واحد، فهو يساوي اثنين، وعلى نحو مكافئ يمكن كتابة مضروب أربعة على صورة أربعة في ثلاثة في مضروب اثنين، ونرى أنه يمكننا قسمة البسط والمقام على عامل مشترك هو مضروب اثنين، وعلى عامل آخر هو اثنان. هذا يعني أربعة توافيق اثنين يساوي اثنين في ثلاثة على واحد. وهذا ببساطة يساوي ستة. إذن يوجد إجمالي ست طرق ممكنة لاختيار طالبين.

دعونا الآن نطبق نفس الصيغة ولكن على مسألة تتضمن مجموعات.

افترض أن ﺱ مجموعة تحتوي على ﺱ، حيث ﺱ يساوي عددًا صحيحًا أكبر من أو يساوي ١٠، وأصغر من أو يساوي ١٦، وﻉ مجموعة تحتوي على العنصرين ﺃ وﺏ، حيث ﺃ وﺏ عنصران ينتميان إلى المجموعة ﺱ، وﺃ لا يساوي ﺏ. أوجد قيمة ﻥﻉ؛ حيث ﻥﻉ هو عدد العناصر في ﻉ.

بما أننا نريد إيجاد عدد العناصر في المجموعة ﻉ، دعونا نبدأ بالتدقيق بتفصيل أكثر قليلًا في المجموعة ﻉ. أولًا، نلاحظ أننا مهتمون بالعنصرين ﺃ وﺏ، وهما نفسهما عنصران في المجموعة ﺱ. ثم نلاحظ أيضًا أن المجموعة ﺱ تحتوي فقط على أعداد صحيحة أكبر من أو تساوي ١٠ وأصغر من أو تساوي ١٦. بعبارة أخرى، المجموعة ﺱ تحتوي على العناصر ١٠، ١١، ١٢، ١٣، ١٤، ١٥، ١٦. نلاحظ أن مجموع العناصر في المجموعة ﺱ هو سبعة عناصر. إذن هذا هو عدد العناصر التي نختار منها.

نعرف أيضًا أن ﺃ لا يساوي ﺏ. لذا علينا إيجاد عدد طرق اختيار عنصرين مختلفين من ﺱ حيث الترتيب ليس مهمًّا. أي إننا نحصي عدد التوافيق. هذا يعني أن ﻥﻉ، أي عدد العناصر في المجموعة ﻉ، لا بد أن يساوي سبعة توافيق اثنين. والآن، بالطبع، صيغة إيجاد ﻥ توافيق ﺭ هي مضروب ﻥ على مضروب ﺭ في مضروب ﻥ ناقص ﺭ. بجعل ﻥ يساوي سبعة وﺭ يساوي اثنين، يمكننا إعادة كتابة سبعة توافيق اثنين كما يلي. هذا يساوي مضروب سبعة على مضروب اثنين في مضروب سبعة ناقص اثنين. يبسط مقام هذا المقدار إلى مضروب اثنين في مضروب خمسة. ثم سنعيد كتابة مضروب سبعة على صورة سبعة في ستة في مضروب خمسة. ومضروب اثنين هو ببساطة اثنان في واحد، أي يساوي اثنين.

هذا من ثم يعني أنه يمكننا القسمة على عامل ثابت هو مضروب خمسة، ويمكننا أيضًا القسمة على اثنين. إذن، سبعة توافيق اثنين يبسط إلى سبعة في ثلاثة مقسومًا على واحد، وهو ما يساوي ٢١. إذن، بتحديد أن ﻥﻉ هو عدد طرق اختيار عنصرين من إجمالي سبعة عناصر حيث الترتيب ليس مهمًّا، أوجدنا أن عدد العناصر في المجموعة ﻉ يساوي ٢١.

يجدر ملاحظة أنه يمكننا أيضًا تطبيق هذه الصيغة أكثر من مرة على مسألة عد. دعونا نوضح هذا.

فصل به ١٤ ولدًا و ١٣ نادرتًا. ما عدد الطرق التي يمكن بها اختيار فريق مكون من ثمانية أشخاص من الفصل؛ بحيث يكون كل أعضاء الفريق من نفس الجنس؟

سنختار فريقًا مكونًا من ثمانية أشخاص، ولكن نعرف من المعطيات أن كل عضو في الفريق من الجنس نفسه. بعبارة أخرى، إما سنختار ثمانية أولاد من إجمالي ١٤ ولدًا أو سنختار ثماني بنات من إجمالي ١٣ نادرتًا. في هذه الحالة، بالطبع، الترتيب ليس مهمًّا. يمكننا اختيار ثمانية أولاد أو ثماني بنات بأي ترتيب. تذكر، عندما لا يكون الترتيب مهمًّا، فهذا يعني أننا بصدد حساب التوافيق. تحديدًا، إذا كنا نريد اختيار ﺭ من العناصر من إجمالي ﻥ من العناصر والترتيب ليس مهمًّا، فإننا نوجد ﻥ توافيق ﺭ. ويعطى ذلك بالصيغة مضروب ﻥ على مضروب ﺭ في مضروب ﻥ ناقص ﺭ.

هيا نفعل هذا لمجموعة الأولاد ومجموعة البنات. تذكر، نحن نختار ثمانية أولاد من إجمالي ١٤ ولدًا؟ أي ١٤ توافيق ثمانية. بالتعويض عن ﻥ بـ ١٤ وعن ﺭ بثمانية في الصيغة، نحصل على مضروب ١٤ على مضروب ثمانية في مضروب ١٤ ناقص ثمانية. وهو ما يساوي ٣٠٠٣. إذن توجد ٣٠٠٣ طرق لاختيار ثمانية أولاد من مجموعة من ١٤ ولدًا. وبما أننا سنختار ثماني بنات من إجمالي ١٣ نادرتًا، فإننا في الواقع سنحسب ١٣ توافيق ثمانية. هذه المرة، ذلك يساوي مضروب ١٣ على مضروب ثمانية في مضروب ١٣ ناقص ثمانية، وهو ما يساوي ١٢٨٧.

نعرف الآن عدد طرق اختيار ثمانية أولاد وعدد طرق اختيار ثماني بنات. لإيجاد عدد طرق اختيار ثمانية أولاد أو ثماني بنات، نوجد مجموع القيمتين. بعبارة أخرى، نوجد قيمة ٣٠٠٣ زائد ١٢٨٧، وهو ما يساوي ٤٢٩٠. إذن، توجد ٤٢٩٠ طريقة لاختيار فريق مكون من ثمانية أشخاص من هذه المجموعة، بحيث يكون كل عضو في الفريق من الجنس نفسه.

في المثال الأخير، سنتناول مسألة علينا فيها إيجاد قيمة مجهولة عندما يكون لدينا إجمالي عدد التوافيق.

في إحدى الجامعات، كانت هناك ١٢٠ طريقة لاختيار ١١٩ طالبًا لحضور ندوة. أوجد عدد الطلاب في الجامعة.

للإجابة عن هذا السؤال، سنبدأ بجعل ﻥ إجمالي عدد الطلاب. ونعرف من المعطيات أنه يوجد ١٢٠ طريقة لاختيار ١١٩ طالبًا. وبما أن كل هؤلاء الطلاب يحضرون نفس الندوة، فيفترض أن الترتيب ليس مهمًّا. نعلم أنه عندما لا يكون الترتيب مهمًّا، فنحن بصدد حساب التوافيق. عدد طرق اختيار ١١٩ طالبًا من ﻥ من الطلاب، عندما لا يكون الترتيب مهمًّا، هو ﻥ توافيق ١١٩. ولكن، بالطبع، نعرف من المعطيات أن ذلك يساوي ١٢٠. هيا نستخدم الصيغة ﻥ توافيق ﺭ يساوي مضروب ﻥ على مضروب ﺭ في مضروب ﻥ ناقص ﺭ لإيجاد تعبير مختلف عن ﻥ توافيق ١١٩.

بالتعويض عن ﺭ بـ ١١٩، وهو ما يكافئ مضروب ﻥ على مضروب ١١٩ في مضروب ﻥ ناقص ١١٩. لتحديد ما يحدث هنا في الواقع، سنضرب كلا طرفي هذه المعادلة في مضروب ١١٩. عندما نفعل ذلك، نجد أن الطرف الأيسر يصبح ١٢٠ في مضروب ١١٩.

بعد ذلك، هيا نفكر في الكيفية التي يمكننا بها التعبير عن الطرف الأيمن بطريقة مختلفة. بما أننا نقسم مضروب ﻥ، أي ﻥ في ﻥ ناقص واحد في ﻥ ناقص اثنين وهكذا، على مضروب ﻥ ناقص ١١٩، إذن نحذف مضروب ﻥ ناقص ١١٩ من البسط والمقام. ونرى أن ذلك يساوي ﻥ في ﻥ ناقص واحد وهكذا، وصولًا إلى ﻥ ناقص ١١٨. في الطرف الأيسر، ١٢٠ في مضروب ١١٩ يكافئ مضروب ١٢٠. أي إنه يكافئ ١٢٠ في ١١٩، وهكذا وصولًا إلى اثنين في واحد. إذن لدينا الآن معادلة، ولكن علينا أن ننتبه. في الطرف الأيمن من المعادلة، لدينا ١١٩ حدًّا، بينما في الطرف الأيسر لدينا ١٢٠ حدًّا. ولكن، الطرف الأيمن يماثل ضرب ﻥ في ﻥ ناقص واحد في ﻥ ناقص اثنين، وهكذا وصولًا إلى ﻥ ناقص ١١٨، ثم ضرب ذلك في واحد.

إذن الآن لدينا تعبيران متساويان، ويحتوي كل منهما على حاصل ضرب نفس عدد الحدود. هيا نساوي بين الحد الأكبر في كل تعبير. عندما نفعل ذلك، نجد أن ﻥ يساوي ١٢٠. ولكن بالطبع، يمكننا المساواة بين ثاني أكبر الحدود، لنحصل على ﻥ ناقص واحد يساوي ١١٩. بالحل لإيجاد ﻥ، نجد مجددًا أن ﻥ يساوي ١٢٠. بتكرار هذه العملية مع ثاني أصغر الحدود في كلا الطرفين، نجد أن ﻥ ناقص ١١٨ يساوي اثنين، وهو مجددًا نفسه القول بأن ﻥ يساوي ١٢٠. إذن، أثبتنا أنه يوجد ١٢٠ طالبًا في الجامعة.

والآن هيا نلخص النقاط الرئيسية الواردة في هذا الفيديو. في هذا الفيديو، تعلمنا أن التوافيق هي عدد طرق تنظيم عدد ﺭ من العناصر من مجموعة مكونة من ﻥ من العناصر عندما لا يكون الترتيب مهمًّا. ورأينا أن الصيغة المستخدمة لإيجاد عدد التوافيق ﻥ توافيق ﺭ هي مضروب ﻥ على مضروب ﺭ في مضروب ﻥ ناقص ﺭ. ورأينا أنه، كما أوضحنا، الترميز ن ق ر يمكن الإشارة إليه على أنه معامل ذات الحدين.