فيديو الدرس: مضروب العدد الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نوجد مضروب أي عدد صحيح موجب ﻥ، الذي يعبر عن حاصل ضرب كل الأعداد الصحيحة الأقل من أو تساوي ﻥ، والأكبر من أو تساوي واحدًا. سوف نتناول فيما بعد كيف يمكننا استخدام مضروبات الأعداد لحل المسائل. سنبدأ بتناول تعريف مضروب العدد.

مضروب أي عدد صحيح موجب ﻥ هو حاصل ضرب كل الأعداد الصحيحة الموجبة الأقل من أو تساوي ﻥ. ونستخدم أيًّا من الترميزين الموضحين، واللذين نقرؤهما كما يأتي: مضروب ﻥ. وهذا يساوي ﻥ مضروبًا في ﻥ ناقص واحد مضروبًا في ﻥ ناقص اثنين، وهكذا، مضروبًا في اثنين مضروبًا في واحد.

يمكننا أيضًا تعريف مضروب الصفر بأنه يساوي واحدًا. ونكتبه على الصورة: مضروب صفر يساوي واحدًا. ولأي عدد صحيح ﻥ؛ حيث ﻥ أكبر من أو يساوي واحدًا، فإن مضروب ﻥ يساوي أيضًا ﻥ مضروبًا في مضروب ﻥ ناقص واحد. يمكننا ملاحظة ذلك من خلال التعريف العام؛ حيث ﻥ ناقص واحد مضروبًا في ﻥ ناقص اثنين، وهكذا، مضروبًا في اثنين مضروبًا في واحد يساوي مضروب ﻥ ناقص واحد. وتعتبر هذه الخاصية مهمة على وجه التحديد عند حل المسائل المعقدة التي تتضمن مضروبات الأعداد. ومع ذلك، سنتدرب في المثال الأول على كيفية حساب مضروب عدد ما.

احسب مضروب أربعة.

سنبدأ بتذكر أن مضروب أي عدد صحيح موجب ﻥ يساوي حاصل ضرب كل الأعداد الصحيحة الموجبة الأقل من أو تساوي ﻥ. هذا يعني أن مضروب ﻥ يساوي ﻥ مضروبًا في ﻥ ناقص واحد مضروبًا في ﻥ ناقص اثنين، وهكذا، مضروبًا في اثنين مضروبًا في واحد. إذن، مضروب أربعة يساوي أربعة مضروبًا في ثلاثة مضروبًا في اثنين مضروبًا في واحد.

وبما أن عملية الضرب عملية إبدالية، فإنه يمكننا ضرب هذه الأعداد الصحيحة بأي ترتيب. على سبيل المثال، أربعة مضروبًا في ثلاثة يساوي ١٢. واثنان مضروبًا في واحد يساوي اثنين. ثم بضرب ١٢ في اثنين، نحصل على الإجابة ٢٤. وبدلًا من ذلك، يمكننا ضرب أربعة في ثلاثة لنحصل على ١٢، ثم ضرب هذا الناتج في اثنين لنحصل على ٢٤، وأخيرًا نضرب ٢٤ في واحد لنحصل على الإجابة النهائية ٢٤. هذا يؤكد أن مضروب أربعة يساوي ٢٤.

سنتناول في المثال الآتي مسألة أكثر تعقيدًا تتضمن مضروبات أعداد.

بسط المقدار مضروب ستة على مضروب أربعة ناقص مضروب ٢٧ على مضروب ٢٨. اكتب إجابتك على صورة كسر.

نتذكر أنه بما أن مضروب ﻥ يساوي حاصل ضرب كل الأعداد الصحيحة الموجبة الأقل من أو تساوي ﻥ، فإن مضروب ﻥ يساوي ﻥ مضروبًا في ﻥ ناقص واحد مضروبًا في ﻥ ناقص اثنين، وهكذا تنازليًّا حتى واحد. هذا يقودنا إلى خاصية رئيسية لمضروبات الأعداد. هذه الخاصية هي أن مضروب ﻥ يساوي ﻥ مضروبًا في مضروب ﻥ ناقص واحد. وهذا يعني أنه بدلًا من حساب كل مضروب على حدة، يمكننا التبسيط والبحث عن العوامل المشتركة بينهما.

يمكننا كتابة مضروب ستة على الصورة: ستة مضروبًا في خمسة مضروبًا في مضروب أربعة. هذا يعني أنه يمكن كتابة الحد الأول من هذا المقدار على الصورة: ستة مضروبًا في خمسة مضروبًا في مضروب أربعة الكل مقسوم على مضروب أربعة. يمكننا بعد ذلك حذف العامل المشترك مضروب أربعة من البسط والمقام، وهو ما يعطينا ستة مضروبًا في خمسة.

وبالطريقة نفسها، يمكننا كتابة مقام الحد الثاني على الصورة: ٢٨ مضروبًا في مضروب ٢٧. يمكننا، هذه المرة، حذف العامل المشترك مضروب ٢٧ من البسط والمقام. ومن ثم، يمكننا تبسيط هذا الحد إلى واحد على ٢٨. ستة مضروبًا في خمسة يساوي ٣٠. لذا، علينا أن نطرح واحدًا على ٢٨ من ٣٠. يمكننا كتابة هذا المقدار على صورة عدد كسري؛ وهو: ٢٩ و ٢٧ على ٢٨. لكن بما أننا نريد كتابة الإجابة على صورة كسر فقط، فسنحول العدد ٣٠ أو ٣٠ على واحد إلى كسر مقامه ٢٨.

ولكي نفعل ذلك، سنضرب ٣٠ في ٢٨. وبما أن ٢٨ مضروبًا في ثلاثة يساوي ٨٤، فإن ٢٨ مضروبًا في ٣٠ يساوي ٨٤٠. هذا يعني أن ٣٠ أو ٣٠ على واحد يساوي ٨٤٠ على ٢٨. وبما أن المقامين قد أصبحا متماثلين، فإنه يمكننا الآن ببساطة طرح البسطين. إذن، يمكننا استنتاج أن المقدار مضروب ستة على مضروب أربعة ناقص مضروب ٢٧ على مضروب ٢٨، مكتوبًا على صورة كسر، يساوي ٨٣٩ على ٢٨.

في المثال الأخير، سنستخدم معرفتنا بمضروبات الأعداد لحل معادلة جبرية.

أوجد مجموعة حل واحد على مضروب ﻥ زائد سبعة زائد واحد على مضروب ﻥ زائد ثمانية يساوي ٢٥٦ على مضروب ﻥ زائد تسعة.

للإجابة عن هذا السؤال، نبدأ بتذكر أنه لأي عدد صحيح ﻥ أكبر من أو يساوي واحدًا، فإن مضروب ﻥ يساوي ﻥ مضروبًا في مضروب ﻥ ناقص واحد. وستكون حقيقة أن ﻥ يجب أن يكون أكبر من أو يساوي واحدًا مهمة عند إيجاد مجموعة الحل.

عند حل مسألة بها مجموع كسرين يساوي كسرًا آخر، فمن الأفضل عادة محاولة حذف المقامات أولًا. في هذا السؤال، سنضرب الحدود الثلاثة في مضروب ﻥ زائد تسعة. هذا يعطينا: مضروب ﻥ زائد تسعة على مضروب ﻥ زائد سبعة زائد مضروب ﻥ زائد تسعة على مضروب ﻥ زائد ثمانية يساوي ٢٥٦ مضروبًا في مضروب ﻥ زائد تسعة على مضروب ﻥ زائد تسعة. في الطرف الأيسر من المعادلة، يمكننا حذف العامل المشترك مضروب ﻥ زائد تسعة، وهو ما يعطينا ٢٥٦.

وباستخدام حقيقة أن مضروب ﻥ يساوي ﻥ مضروبًا في مضروب ﻥ ناقص واحد وأيضًا يساوي ﻥ مضروبًا في ﻥ ناقص واحد مضروبًا في مضروب ﻥ ناقص اثنين، يمكننا إعادة كتابة الطرف الأيمن من المعادلة كما هو موضح. في الحد الأول، يمكننا حذف العامل المشترك مضروب ﻥ زائد سبعة. وفي الحد الثاني، نحذف العامل المشترك مضروب ﻥ زائد ثمانية. أصبح لدينا الآن معادلة لا تحتوي على أي كسور. ‏ﻥ زائد تسعة مضروبًا في ﻥ زائد ثمانية زائد ﻥ زائد تسعة يساوي ٢٥٦.

يمكننا تبسيط الطرف الأيمن إما بإخراج العامل المشترك ﻥ زائد تسعة أو باستخدام طريقة توزيع الأقواس بضرب حدي القوس الأول في حدي القوس الثاني. وبذلك، نجد أن ﻥ زائد تسعة مضروبًا في ﻥ زائد ثمانية يساوي ﻥ تربيع زائد ثمانية ﻥ زائد تسعة ﻥ زائد ٧٢. وعندما نضيف ﻥ زائد تسعة إلى ذلك، نحصل على الناتج ٢٥٦. يمكننا بعد ذلك تجميع الحدود المتشابهة في الطرف الأيمن. هذا يعطينا: ﻥ تربيع زائد ١٨ﻥ. وعند طرح ٢٥٦ من كلا الطرفين، نحصل على سالب ١٧٥. والآن أصبحت لدينا المعادلة التربيعية: ﻥ تربيع زائد ١٨ﻥ ناقص ١٧٥ يساوي صفرًا.

ستكون خطوتنا التالية هي تحليل التعبير الذي يمثل الطرف الأيمن إلى مجموعتين من الأقواس. بما أن معامل ﻥ تربيع يساوي واحدًا، فإننا نعلم بذلك أن الحد الأول في كل مجموعة سيكون ﻥ. وسيكون مجموع الحدين الثانيين موجب ١٨، وحاصل ضربهما سالب ١٧٥. أحد أزواج عوامل العدد ١٧٥ هو:٢٥، وسبعة. هذا يعني أنه بضرب ٢٥ في سالب سبعة، نحصل على سالب ١٧٥. وبما أن ٢٥ زائد سالب سبعة يساوي ١٨، فإننا نجد أن مجموعتي الأقواس لدينا هما: ﻥ زائد ٢٥، وﻥ ناقص سبعة.

وبما أن حاصل ضرب ﻥ زائد ٢٥ وﻥ ناقص سبعة يساوي صفرًا، فإما أن ﻥ زائد ٢٥ يساوي صفرًا أو أن ﻥ ناقص سبعة يساوي صفرًا. هذا يعطينا حلين ممكنين؛ وهما: ﻥ يساوي سالب ٢٥، وﻥ يساوي سبعة. وكما ذكرنا من قبل، نحن نعلم أن ﻥ يجب أن يكون أكبر من أو يساوي واحدًا؛ لأن مضروبات الأعداد معرفة فقط للأعداد الصحيحة غير السالبة. ومن ثم، فإن قيمة ﻥ التي تحقق المعادلة تساوي سبعة. إذن، مجموعة حل المعادلة: واحد على مضروب ﻥ زائد سبعة زائد واحد على مضروب ﻥ زائد ثمانية يساوي ٢٥٦ على مضروب ﻥ زائد تسعة تحتوي على العدد سبعة.

سنلخص الآن النقاط الرئيسية التي تناولناها في هذا الفيديو.

يعرف مضروب أي عدد صحيح موجب ﻥ بأنه حاصل ضرب كل الأعداد الصحيحة الموجبة الأقل من أو تساوي ﻥ؛ بحيث يكون مضروب ﻥ كما هو موضح. الخاصية الرئيسية لمضروب العدد هي أن مضروب ﻥ يساوي ﻥ مضروبًا في مضروب ﻥ ناقص واحد. ويمكننا استخدام هذه الخاصية لتبسيط التعبيرات التي تتضمن مضروبات الأعداد. وعلى الرغم من أننا لم نتناول كيفية إيجاد عدد صحيح مجهول بمعلومية مضروبه من خلال مثال محدد في هذا الفيديو، فإننا نقسم على أعداد صحيحة موجبة متتالية عند محاولة إيجاده.

هذا يعني أنه لإيجاد قيمة ﻥ؛ حيث مضروب ﻥ يساوي ١٢٠، فإننا نقسم على الأعداد الصحيحة واحد واثنين وثلاثة، وهكذا. ‏١٢٠ مقسومًا على واحد يساوي ١٢٠. وبقسمة ذلك على اثنين، نحصل على ٦٠. وبقسمة ٦٠ على ثلاثة، نحصل على ٢٠. و٢٠ مقسومًا على أربعة يساوي خمسة. وأخيرًا، خمسة مقسومًا على خمسة يساوي واحدًا. ومن ثم، يمكننا استنتاج أن ١٢٠ يساوي خمسة مضروبًا في أربعة مضروبًا في ثلاثة مضروبًا في اثنين مضروبًا في واحد، وهو ما يمكن كتابته على الصورة: مضروب خمسة. إذن، قيمة ﻥ؛ حيث مضروب ﻥ يساوي ١٢٠، هي خمسة.