فيديو السؤال: تبسيط المقادير العددية باستخدام خواص مرافق الأعداد غير النسبية الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

أوجد قيمة جذر ٢١ زائد جذر ١٣ الكل تربيع مضروبًا في جذر ٢١ ناقص جذر ١٣ الكل تربيع.

لحل هذه المسألة، سنستخدم خواص مرافق الأعداد غير النسبية والصيغة الآتية. عند ضرب جذر ﺃ زائد جذر ﺏ الكل تربيع في مرافقه، وهو جذر ﺃ ناقص جذر ﺏ الكل تربيع، نحصل على ﺃ تربيع ناقص اثنين ﺃﺏ زائد ﺏ تربيع.

في هذا المثال، ﺃ يساوي ٢١ وﺏ يساوي ١٣. وبالتعويض بهاتين القيمتين، نحصل على ٢١ تربيع ناقص اثنين في ٢١ في ١٣ زائد ١٣ تربيع. يمكننا حساب ٢١ تربيع عن طريق ضرب ٢١ في ٢١. ‏‏٢١ في ٢٠ يساوي ٤٢٠، و٢١ في واحد يساوي ٢١. وبجمع هذين العددين، يكون الناتج ٤٤١. إذن ٢١ تربيع يساوي ٤٤١.

الخطوة التالية هي ضرب اثنين في ٢١ في ١٣. اثنان في ٢١ يساوي ٤٢. إذن علينا ضرب ٤٢ في ١٣. ‏‏٤٢ في ١٠ يساوي ٤٢٠، و٤٢ في ثلاثة يساوي ١٢٦. وبجمع هذين العددين، يكون الناتج ٥٤٦. بالتالي، اثنان في ٢١ في ١٣ يساوي ٥٤٦. وأخيرًا، ١٣ تربيع يساوي ١٦٩.

وبجمع الحدود الموجبة نحصل على ٦١٠؛ لأن ٤٤١ زائد ١٦٩ يساوي ٦١٠. وبطرح ٥٤٦ من هذا العدد نحصل على ٦٤. هذا يعني أن جذر ٢١ زائد جذر ١٣ الكل تربيع مضروبًا في جذر ٢١ ناقص جذر ١٣ الكل تربيع يساوي ٦٤.

وهناك طريقة أخرى وهي فك القوسين بشكل منفصل ثم ضرب المقدارين الناتجين. جذر ٢١ زائد جذر ١٣ الكل تربيع يساوي جذر ٢١ زائد جذر ١٣ مضروبًا في جذر ٢١ زائد جذر ١٣. يمكن فك هذين القوسين وتبسيطهما باستخدام طريقة ضرب حدي القوس الأول في حدي القوس الثاني.

بضرب الحدين الأولين، وهما جذر ٢١ في جذر ٢١ نحصل على ٢١. وبضرب الطرفين نحصل على جذر ٢٧٣، لأن ٢١ في ١٣ يساوي ٢٧٣. وبضرب الوسطين، نحصل على جذر ٢٧٣. وأخيرًا، بضرب الحدين الأخيرين نحصل على ١٣؛ لأن جذر ١٣ في جذر ١٣ يساوي ١٣. وبتبسيط هذا المقدار عن طريق جمع الحدود المتشابهة نحصل على ٣٤ زائد اثنين جذر ٢٧٣.

‏‏٢١ زائد ١٣ يساوي ٣٤، وجذر ٢٧٣ زائد جذر ٢٧٣ يساوي اثنين جذر ٢٧٣. يمكننا فك جذر ٢١ ناقص جذر ١٣ الكل تربيع بالطريقة نفسها. باستخدام طريقة ضرب حدي القوس الأول في حدي القوس الثاني، نحصل على ٢١ ناقص جذر ٢٧٣ ناقص جذر ٢٧٣ زائد ١٣، وبتبسيط ذلك نحصل على ٣٤ ناقص اثنين جذر ٢٧٣.

وبذلك نكون قد حسبنا كلًا من جذر ٢١ زائد جذر ١٣ الكل تربيع، وجذر ٢١ ناقص جذر ١٣ الكل تربيع.

الخطوة التالية هي ضرب هذين المقدارين معًا. مرة أخرى، يمكننا فك هذين القوسين باستخدام طريقة ضرب حدي القوس الأول في حدي القوس الثاني. ولكن، نلاحظ أن لدينا فرقًا بين مربعين: ٣٤ زائد اثنين جذر ٢٧٣، و٣٤ ناقص اثنين جذر ٢٧٣.

هذا يعني أننا سنحذف خطوتي ضرب الطرفين والوسطين. علينا فقط أن نضرب الحدين الأولين والحدين الأخيرين. ‏‏٣٤ في ٣٤ أو ٣٤ تربيع يساوي ١١٥٦. اثنان جذر ٢٧٣ في اثنين جذر ٢٧٣ يساوي أربعة في ٢٧٣. وهذا يساوي ١٠٩٢. وبطرح ١٠٩٢ من ١١٥٦ نحصل مرة أخرى على الإجابة ٦٤.