نسخة الفيديو النصية
تتحرك كرة كتلتها خمسة جرامات في خط مستقيم عبر وسط مشبع بالأتربة. تتراكم الأتربة على سطح الكرة بمعدل جرام واحد لكل ثانية. أوجد مقدار القوة المؤثرة على الكرة عند اللحظة ﻥ يساوي خمس ثوان، علمًا بأن إزاحة الكرة تحدد بالعلاقة ﻑ ﻥ تساوي ثلثين ﻥ تكعيب زائد ﻥ تربيع زائد سبعة ﻥ زائد واحد ﻱ؛ حيث ﻱ متجه وحدة في اتجاه الحركة، والإزاحة تقاس بالسنتيمتر.
إننا نريد إيجاد مقدار القوة المؤثرة على الكرة عند زمن معين، حيث ﻥ يساوي خمس ثوان. سنشير إلى مقدار هذه القوة بالحرف ﻕ. ولكي نوجد مقدار هذه القوة، علينا تذكر قانون نيوتن الثاني للحركة. يكتب قانون نيوتن الثاني للحركة عادة على الصورة: القوة تساوي كتلة الجسم في عجلته ﺟ. هذا تعبير للقانون الثاني مناسب للاستخدام عندما لا تتغير الكتلة مع الزمن، وتكون سرعة الحركة غير نسبية. وهناك تعبير أعم للقانون الثاني، وهو أن القوة المحصلة المؤثرة على جسم تساوي المعدل الزمني لتغير كتلته في سرعته.
لدينا هنا كرة كتلتها المبدئية خمسة جرامات. سنسمي هذه القيمة ﻙ صفر، علمًا بأنها تكتسب كتلة نتيجة تراكم الأتربة عليها كل ثانية. وفي الواقع، إذا كتبنا كتلة الكرة على صورة دالة في الزمن، فإنها ستساوي كتلتها الأصلية؛ أي خمسة جرامات، زائد الزمن بالثواني؛ حيث إن كل ثانية تمر يضاف إلى كتلة الكرة جرام واحد.
في هذا السؤال، تتغير كتلة الجسم مع الزمن. وبالتالي، نتجه إلى استخدام هذه الصيغة الأعم للقانون الثاني. عند كتابة هذه المعادلة هنا، نجد أننا نعلم قيمة ﻙ باعتبارها دالة لـ ﻥ، بينما السرعة ﻉ مجهولة حتى الآن.
يمكننا تذكر أن السرعة تساوي المعدل الزمني لتغير الموضع. ولدينا في المعطيات متجه موضع الكرة. هذا يعني أنه يمكننا إيجاد المعدل الزمني لتغير ذلك الموضع والتعويض به عن ﻉ في المعادلة. عندما نوجد المعدل الزمني للتغير أو المشتقة بالنسبة إلى الزمن لدالة الموضع، سنحصل على الناتج اثنان ﻥ تربيع زائد اثنين ﻥ زائد سبعة في اتجاه ﻱ. يعبر هذا المقدار عن ﻉ، وهو ما سنعوض به في المعادلة لإيجاد قيمة ﻕ.
لكن قبل أن نفعل ذلك، يمكننا إجراء خطوة ضرب ﻉ في ﻙ باعتبارها دالة لـ ﻥ؛ أي كتلة الكرة، لكي نتمكن من كتابة هذا التعبير بالكامل في المعادلة لإيجاد قيمة ﻕ. وتوصلنا سابقًا إلى أن الكتلة على صورة دالة في الزمن تساوي خمسة زائد ﻥ جرام.
عندما نضرب هذا الحد في حد السرعة، مع تجاهل وحدات الزمن الموجودة وتجميع أسس ﻥ المتشابهة، سنجد أن حاصل الضرب هذا يساوي اثنين ﻥ تكعيب زائد ١٢ﻥ تربيع زائد ١٧ﻥ زائد ٢٥. هذا هو مقدار ﻙ باعتبارها دالة لـ ﻥ في سرعة الجسم ﻉ. سنعوض إذن بهذا المقدار في القوس لحساب المشتقة بالنسبة إلى الزمن لإيجاد قيمة ﻕ.
أصبحنا الآن مستعدين لحساب مشتقة أخرى بالنسبة إلى الزمن. وعند إجراء ذلك، سنحصل على الناتج ستة ﻥ تربيع زائد ٢٤ﻥ زائد ١٧. هذا ليس بالضبط الناتج الذي نريد إيجاده، لكننا أوشكنا على إيجاده.
نحن نريد إيجاد مقدار القوة ﻕ عند قيمة معينة لـ ﻥ؛ أي عند ﻥ يساوي خمس ثوان. إذن، سنعوض الآن بتلك القيمة المعينة لـ ﻥ لإيجاد مقدار القوة عند هذه اللحظة من الزمن.
عند التعويض بهذه القيمة وإيجاد قيمة ﻕ، نجد أن مقدارها يساوي ٢٨٧. والوحدة المستخدمة هي الداين. إذن، هذا هو مقدار القوة المؤثرة على الكرة عند اللحظة ﻥ يساوي خمس ثوان.
