فيديو الدرس: القسمة المطولة لكثيرات الحدود بدون باق الرياضيات • الصف الأول الإعدادي

نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نطبق القسمة المطولة على كثيرات الحدود.

كثيرات الحدود - أي المقادير التي تتضمن حدودًا أسسها أعداد كلية موجبة- يمكن قسمتها أحيانًا باستخدام طرق بسيطة مثل التحليل. لكن في حال فشلت هذه الطرق، يمكننا استخدام القسمة المطولة. تشبه هذه العملية إلى حد كبير عملية القسمة المطولة مع الأعداد. دعونا نبدأ بالتذكير بكيفية إجراء القسمة المطولة مع الأعداد.

احسب ٣٥٣١ مقسومًا على ١١.

في هذا السؤال، العدد ٣٥٣١ يسمى «المقسوم»، والعدد ١١ هو «المقسوم عليه». والنتيجة التي نحصل عليها عند إجراء عملية القسمة هذه تسمى «خارج القسمة». سنحاول حل هذه المسألة باستخدام إحدى طرق القسمة القصيرة. كما نرى، نضع المقسوم داخل علامة القسمة القصيرة، ونضع العدد ١١ خارجها. أول ما نفعله هو قسمة الرقم الأول من العدد ٣٥٣١ على ١١. ثلاثة مقسومًا على ١١ يساوي صفرًا. لذا، نضع صفرًا فوق العدد ثلاثة، ونتجاهل أي باق. نأخذ بعد ذلك هذا العدد، صفر، ونضربه في المقسوم عليه. صفر في ١١ يساوي صفرًا. لذا، نضع صفرًا تحت العدد ثلاثة.

بعد ذلك، نطرح الرقمين في هذا العمود. ثلاثة ناقص صفر يساوي ثلاثة. ثم نكتب العدد خمسة بالأسفل. يمكننا، إذا لزم الأمر، كتابة كل الأرقام بالأسفل. لكن الرقم الأول يكفي. والآن، نقسم ٣٥ على ١١. ٣٥ على ١١ يساوي ثلاثة ويتبقى اثنان. سنتجاهل الباقي في الوقت الحالي، ونضيف العدد الصحيح الناتج أعلى العدد خمسة. والآن، نضرب هذا العدد ثلاثة في ١١. ثلاثة في ١١ يساوي ٣٣. إذن، نكتب ٣٣ تحت ٣٥. ومرة أخرى، نطرح. ٣٥ ناقص ٣٣ يساوي اثنين. والآن، نكتب ثلاثة بالأسفل، ونقسم ٢٣ على ١١. العدد الصحيح الناتج هو اثنان. بالطبع يوجد باق، ولكننا سنتجاهله.

والآن، نضرب هذا العدد اثنين في ١١ لنحصل على ٢٢. ونكتب العدد ٢٢ أسفل العدد ٢٣، ثم نطرح مرة أخرى. ٢٣ ناقص ٢٢ يساوي واحدًا. وبذلك نكتب الرقم الأخير بالأسفل. والخطوة الأخيرة التي نفعلها هي قسمة ١١ على ١١. ١١ على ١١ يساوي واحدًا. ونكتب واحدًا فوق العدد واحد في المقسوم. وأخيرًا، نضرب هذا العدد في ١١. قد تبدو هذه الخطوة غير ضرورية، لكننا نجريها للتأكد من وجود باق للقسمة. واحد في ١١ يساوي ١١. وعندما نطرح ١١ من ١١، نحصل على صفر. إذا كانت هذه الإجابة صفرًا، فهذا يعني أنه لا يوجد باق. ١١ هو أحد عوامل العدد ٣٥٣١. وعندما نقسم ٣٥٣١ على ١١، نحصل على ٣٢١.

سنرى الآن كيف سيبدو هذا عند إجراء القسمة المطولة على كثيرات الحدود؛ أي قسمة المقادير الجبرية.

أوجد خارج القسمة عندما يكون اثنان ﺱ تكعيب زائد سبعة ﺱ تربيع ناقص ثمانية ﺱ ناقص ٢١ مقسومًا على اثنين ﺱ زائد ثلاثة.

خارج القسمة هو النتيجة التي نحصل عليها بقسمة عدد على عدد آخر. وينطبق الأمر نفسه على المقادير الجبرية. ومن ثم، سنقسم هذا المقدار التكعيبي على هذا المقدار الخطي. المقسوم — أي العدد الذي سنقسمه، وهو هذا المقدار التكعيبي — يوضع داخل علامة القسمة. والمقسوم عليه، أي اثنان ﺱ زائد ثلاثة، يوضع خارجها. وهذا يشبه قسمة الأعداد بشكل كبير. لكن بدلًا من قسمة كل رقم على حدة، نقسم كل حد على حدة.

سنبدأ بقسمة اثنين ﺱ تكعيب على الحد الذي به أكبر أس للمتغير ﺱ في المقسوم عليه؛ أي اثنين ﺱ تكعيب على اثنين ﺱ. ولقسمة اثنين ﺱ تكعيب على اثنين ﺱ، يمكننا التبسيط بقسمة كليهما على اثنين. وإذا اعتبرنا أن ﺱ هو ﺱ أس واحد، فإننا نعلم أنه عند قسمة الحدود الجبرية التي لها الأساس نفسه، فإننا نطرح أسسها. وبذلك، نحصل على: ﺱ أس ثلاثة مقسومًا على ﺱ أس واحد يساوي ﺱ تربيع. سنضع ﺱ تربيع فوق اثنين ﺱ تكعيب في عمليتنا الحسابية.

بعد ذلك، نأخذ ﺱ تربيع، ونضربه في كل جزء من المقسوم عليه. اثنان ﺱ في ﺱ تربيع يساوي اثنين ﺱ تكعيب، وثلاثة في ﺱ تربيع يساوي ثلاثة ﺱ تربيع. ثم نطرح كل حد من المقدار اثنين ﺱ تكعيب زائد ثلاثة ﺱ تربيع من اثنين ﺱ تكعيب زائد سبعة ﺱ تربيع. اثنان ﺱ تكعيب ناقص اثنين ﺱ تكعيب يساوي صفرًا. وهذه طريقة جيدة للتحقق من صحة العملية الحسابية السابقة التي أجريناها. سبعة ﺱ تربيع ناقص ثلاثة ﺱ تربيع يساوي أربعة ﺱ تربيع. لسنا بحاجة إلى هذا الصفر، لكننا نحتاج إلى كتابة الحد التالي من المقسوم في الأسفل. سنكتب سالب ثمانية ﺱ في الأسفل.

والآن، سنقسم أربعة ﺱ تربيع على اثنين ﺱ. يمكننا التبسيط بقسمة كليهما على العامل اثنين. ومرة أخرى، إذا اعتبرنا أن ﺱ هو ﺱ أس واحد، فإننا نطرح الأسس ونحصل على اثنين ﺱ. ثم نضع اثنين ﺱ فوق سبعة ﺱ تربيع. والآن، سنضرب اثنين ﺱ في كل حد من المقسوم عليه. اثنان ﺱ في اثنين ﺱ يعطينا أربعة ﺱ تربيع. ثم، ثلاثة في اثنين ﺱ يعطينا موجب ستة ﺱ. مرة أخرى، سنجري بعض عمليات الطرح. أربعة ﺱ تربيع ناقص أربعة ﺱ تربيع يساوي صفرًا. ولكننا لا نحتاج لكتابة ذلك بالطبع.

بعد ذلك، نأخذ سالب ثمانية ﺱ، ونطرح موجب ستة ﺱ. إن طرح موجب هذا العدد هو نفسه طرح ستة ﺱ. إذن، نحصل على سالب ١٤ﺱ. وأخيرًا، نكتب الحد الأخير. وهو سالب ٢١. والآن، نقسم سالب ١٤ﺱ على اثنين ﺱ. هذه المرة سنحذف المتغير ﺱ، ونحصل على سالب ١٤ مقسومًا على اثنين، وهو ما يساوي سالب سبعة. وبذلك نضع سالب سبعة فوق سالب ثمانية ﺱ. لقد اقتربنا من الحل، والآن سنضرب سالب سبعة في كل حد من المقسوم عليه. سالب سبعة في اثنين ﺱ زائد ثلاثة يساوي سالب ١٤ﺱ ناقص ٢١.

علينا الآن إجراء عملية الطرح النهائية هذه دائمًا. فهذه العملية ستخبرنا بما إذا كان لدينا باق أم لا. سالب ١٤ﺱ ناقص سالب ١٤ﺱ هو نفسه سالب ١٤ﺱ زائد ١٤ﺱ، وهو ما يساوي صفرًا. وسالب ٢١ ناقص سالب ٢١ يساوي صفرًا أيضًا. وهكذا، فإن الباقي عند قسمة المقدار التكعيبي لدينا على اثنين ﺱ زائد ثلاثة هو صفر. إذن، خارج القسمة عند إجراء عملية القسمة هذه يساوي ﺱ تربيع زائد اثنين ﺱ ناقص سبعة.

في المثال التالي، سنرى كيف أن قسمة كثيرات الحدود، مثل عملية القسمة التي أجريناها للتو، يمكن أن تساعدنا في تبسيط الكسور.

استخدم قسمة كثيرات الحدود لتبسيط ستة ﺱ تكعيب زائد خمسة ﺱ تربيع ناقص ٢٠ﺱ ناقص ٢١ على اثنين ﺱ زائد ثلاثة.

من بين الطرق المتبعة لتبسيط الكسور الجبرية التحليل، وذلك عند الحاجة. ليس من السهل تحليل هذا المقدار التكعيبي في البسط على وجه التحديد. لذا، بدلًا من ذلك، سنسترجع أن هذا الخط في الكسر يعني القسمة. وسنستخدم القسمة المطولة لكثيرات الحدود. نضع المقسوم، أي بسط الكسر، داخل علامة القسمة. ونضع المقسوم عليه، أي المقام، خارجها.

ثم نتذكر أن أول خطوة نفعلها هي أن نأخذ الحد الأول من المقسوم، وهو ستة ﺱ تكعيب، ونقسمه على الحد الأول من المقسوم عليه، وهو اثنان ﺱ. ستة مقسومًا على اثنين يساوي ثلاثة. ثم إذا اعتبرنا أن ﺱ هو ﺱ أس واحد، فإننا نعلم أنه يمكننا طرح هذه الأسس. وﺱ تكعيب على ﺱ أس واحد يساوي ﺱ تربيع. هذا يعني أن ستة ﺱ تكعيب مقسومًا على اثنين ﺱ يجب أن يساوي ثلاثة ﺱ تربيع.

خطوتنا التالية هي ضرب ثلاثة ﺱ تربيع في كل حد من المقسوم عليه. ثلاثة ﺱ تربيع في اثنين ﺱ يساوي ستة ﺱ تكعيب. لاحظ أن هذا يساوي الحد الأول من المقسوم، لذا نعلم أننا ربما نكون قد بدأنا بشكل صحيح. بعد ذلك، نحسب ثلاثة في ثلاثة ﺱ تربيع. هذا يساوي تسعة ﺱ تربيع. خطوتنا التالية هي طرح ستة ﺱ تكعيب زائد تسعة ﺱ تربيع من ستة ﺱ تكعيب زائد خمسة ﺱ تربيع. ستة ﺱ تكعيب ناقص ستة ﺱ تكعيب يساوي صفرًا. لسنا بحاجة إلى كتابة الصفر. ثم خمسة ﺱ تربيع ناقص تسعة ﺱ تربيع يساوي سالب أربعة ﺱ تربيع. ثم نكتب الحد التالي في الأسفل. بعض الأشخاص يكتبون جميع الحدود في الأسفل، لكنني أفضل الحفاظ على بساطة العملية الحسابية.

والآن سنقسم سالب أربعة ﺱ تربيع على اثنين ﺱ. سالب أربعة على اثنين يساوي سالب اثنين. وﺱ تربيع على ﺱ أس واحد يساوي ﺱ. إذن، سالب أربعة ﺱ تربيع على اثنين ﺱ يساوي سالب اثنين ﺱ. وسنضع سالب اثنين ﺱ فوق خمسة ﺱ تربيع في المسألة. والآن، سنضرب سالب اثنين ﺱ في كل حد من المقسوم عليه. اثنان ﺱ في سالب اثنين ﺱ يساوي سالب أربعة ﺱ تربيع، وسالب اثنين ﺱ في ثلاثة يساوي سالب ستة ﺱ.

بعد ذلك، نطرح كلًّا من هذين الحدين من سالب أربعة ﺱ تربيع ناقص ٢٠ﺱ. سالب أربعة ﺱ تربيع ناقص سالب أربعة ﺱ تربيع يساوي سالب أربعة ﺱ تربيع زائد أربعة ﺱ تربيع. إذن هذا يساوي صفرًا، ولا نحتاج إلى كتابته. ثم نحصل على: سالب ٢٠ﺱ ناقص سالب ستة ﺱ. هذا يساوي سالب ٢٠ﺱ زائد ستة ﺱ، وهو ما يساوي سالب ١٤ﺱ. ثم نكتب سالب ٢١ بالأسفل. والآن نقسم سالب ١٤ﺱ على اثنين ﺱ. ‏ﺱ مقسومًا على ﺱ يساوي واحدًا. ومن ثم، نحصل على سالب ١٤ مقسومًا على اثنين، وهو ما يساوي سالب سبعة. إذن، نضيف سالب سبعة هنا. وسنضرب هذا العدد في كل حد من المقسوم عليه. سالب سبعة في اثنين ﺱ يساوي سالب ١٤ﺱ، وسالب سبعة في ثلاثة يساوي سالب ٢١.

ثم نجري عملية طرح أخيرة، وهي خطوة مهمة للغاية؛ لأنها تخبرنا بما إذا كان لدينا باق أم لا. في الواقع، سالب ١٤ﺱ ناقص ٢١ ناقص نفس المقدار يساوي صفرًا. وبذلك نكون قد أكملنا عملية القسمة. عند تبسيط الكسر الجبري، يتبقى لدينا ثلاثة ﺱ تربيع ناقص اثنين ﺱ ناقص سبعة.

في هذه المرحلة، من المفيد حقًّا أن نتحدث باختصار عن كيفية التأكد من الحل. سنجري عملية عكسية. نأخذ خارج القسمة، وهو ناتج عملية القسمة، ونضربه في المقسوم عليه، وعلينا أن نتذكر بالطبع أن المقسوم عليه هو المقدار الجبري الذي نقسم عليه. نضرب ثلاثة ﺱ تربيع ناقص اثنين ﺱ ناقص سبعة في اثنين ﺱ زائد ثلاثة. وعند إجراء هذه الخطوة، يجب أن نحصل على البسط، أو المقسوم.

في المثال التالي، سنتناول كيف نستخدم القسمة المطولة لكثيرات الحدود لإيجاد الحدود الناقصة.

أوجد قيمة ﻙ التي تجعل المقدار ٣٠ﺱ أس خمسة زائد ٥٧ﺱ تربيع ناقص ٤٨ﺱ تكعيب ناقص ٢٠ﺱ أس أربعة زائد ﻙ قابلًا للقسمة على خمسة ﺱ تربيع ناقص ثمانية.

لكي يكون هذا المقدار قابلًا للقسمة على خمسة ﺱ تربيع ناقص ثمانية، فهذا يعني أن خمسة ﺱ تربيع ناقص ثمانية هو أحد عوامله. وإذا كان هذا صحيحًا، فعند إجراء عملية القسمة، لن يكون لدينا باق، أو يتبقى لنا صفر. لذا، دعونا نجر عملية القسمة المطولة. إذا نظرنا جيدًا إلى المقدار الذي أمامنا، فسنرى أن ترتيب الحدود غريب إلى حد ما. فهي تكتب عادة بترتيب تنازلي لقوى ﺱ. وعليه، قد نرغب في إعادة ترتيبها وكتابتها على الصورة: ٣٠ﺱ أس خمسة ناقص ٢٠ﺱ أس أربعة، وهكذا. عند اتباع هذه الطريقة، سنجعل المسألة أسهل قليلًا، ولكنها ستبدو غريبة بعض الشيء.

دعونا نبدأ كالمعتاد. نقسم الحد ذا القوة الأعلى لـ ﺱ من المقسوم على الحد، ذي القوة الأعلى لـ ﺱ أيضًا، من المقسوم عليه. ٣٠ على خمسة يساوي ستة. بعد ذلك، عند قسمة أعداد لها الأساس نفسه، نطرح الأسس. إذن، ﺱ أس خمسة على ﺱ تربيع يساوي ﺱ أس خمسة ناقص اثنين؛ أي ﺱ تكعيب. هذا يعني أن ٣٠ﺱ أس خمسة مقسومًا على خمسة ﺱ تربيع يساوي ستة ﺱ تكعيب. ومن ثم، نكتب ستة ﺱ تكعيب فوق هذا الحد. والآن سنضرب هذه القيمة في كل حد من المقسوم عليه. ستة ﺱ تكعيب في خمسة ﺱ تربيع يساوي ٣٠ﺱ أس خمسة. ثم عندما نضرب ستة ﺱ تكعيب في سالب ثمانية، نحصل على سالب ٤٨ﺱ تكعيب.

والآن، سنكتب ذلك أسفل حد ﺱ تكعيب مباشرة. وبعد ذلك، نضيف حدًّا آخر؛ وهو: صفر ﺱ أس أربعة. ورغم أن هذا ليس أمرًا ضروريًّا تمامًا، فإنه قد يسهل متابعة ما سيحدث لاحقًا. خطوتنا التالية هي طرح هذه الحدود الثلاثة من الحدود المناظرة لها في الأعلى. ٣٠ﺱ أس خمسة ناقص ٣٠ﺱ أس خمسة يساوي صفرًا. سالب ٢٠ﺱ أس أربعة ناقص صفر ﺱ أس أربعة يساوي سالب ٢٠ﺱ أس أربعة. وسالب ٤٨ﺱ تكعيب ناقص سالب ٤٨ﺱ تكعيب يساوي صفرًا.

بعد ذلك، سنكتب ٥٧ﺱ تربيع بالأسفل. والآن سنقسم سالب ٢٠ﺱ أس أربعة على خمسة ﺱ تربيع. سالب ٢٠ على خمسة يساوي سالب أربعة، وﺱ أس أربعة على ﺱ تربيع يساوي ﺱ تربيع. وعند إجراء عملية القسمة هذه، نحصل على سالب أربعة ﺱ تربيع. وهذا هو الحد التالي من خارج القسمة. تذكر أنه كلما أوجدنا حدًّا من خارج القسمة، فإننا نضربه في كل جزء من أجزاء المقسوم عليه. سنحسب إذن سالب أربعة ﺱ تربيع في خمسة ﺱ تربيع، وهو ما يساوي سالب ٢٠ﺱ أس أربعة.

عند ضرب سالب ثمانية في سالب أربعة ﺱ تربيع، نحصل على ٣٢ﺱ تربيع. ويمكننا كتابة ذلك مباشرة أسفل ٥٧ﺱ تربيع. ثم نطرح هذين الحدين من الحدين الموجودين فوقهما مباشرة. سالب ٢٠ﺱ أس أربعة ناقص سالب ٢٠ﺱ أس أربعة يساوي صفرًا. ثم، ٥٧ﺱ تربيع ناقص ٣٢ﺱ تربيع يساوي ٢٥ﺱ تربيع. لقد اقتربنا من إيجاد الحل. سنكتب الآن الحد الأخير في الأسفل؛ إنه الحد ﻙ.

لا داعي لأن تشغل نفسك كثيرًا بأننا لا نعرف قيمة ﻙ بعد. تذكر أننا نبحث عن باق يساوي صفرًا. سنقسم ٢٥ﺱ تربيع على خمسة تربيع. حسنًا، ٢٥ على خمسة يساوي خمسة، وﺱ تربيع مقسومًا على ﺱ تربيع يساوي واحدًا. إذن، الحد الأخير من خارج القسمة هو خمسة. سنأخذ خمسة ونضربها في خمسة ﺱ تربيع وسالب ثمانية. وهذا يعطينا ٢٥ﺱ تربيع ناقص ٤٠.

نحن نعلم الآن أنه بما أننا نطرح الحدين الأخيرين، فسنحصل على باق يساوي صفرًا. إذن، ٢٥ﺱ تربيع زائد ﻙ ناقص ٢٥ﺱ تربيع ناقص ٤٠ يجب أن يعطينا صفرًا. حسنًا، ٢٥ﺱ تربيع ناقص ٢٥ﺱ تربيع يساوي صفرًا أيضًا. وللتأكد من أن الباقي يساوي صفرًا، وحيث إن المقدار لدينا يقبل القسمة على خمسة ﺱ تربيع ناقص ثمانية، يمكننا القول إن ﻙ ناقص سالب ٤٠ يجب أن يساوي صفرًا. ‏ﻙ ناقص سالب ٤٠ هو نفسه ﻙ زائد ٤٠.

هيا نطرح ٤٠ من كلا الطرفين لإيجاد قيمة ﻙ. هذا يعطينا ﻙ يساوي سالب ٤٠. إذن، قيمة ﻙ التي تجعل المقدار يقبل القسمة على خمسة ﺱ تربيع ناقص ثمانية هي ﻙ يساوي سالب ٤٠. لاحظ أنه في هذه المرحلة، يمكننا المضي قدمًا وضرب خارج القسمة. أي ستة ﺱ تكعيب ناقص أربعة ﺱ تربيع زائد خمسة في خمسة ﺱ تربيع ناقص ثمانية. إذا أجرينا العملية الحسابية بشكل صحيح، فسنحصل على المقدار: ٣٠ﺱ أس خمسة زائد ٥٧ﺱ تربيع ناقص ٤٨ﺱ تكعيب ناقص ٢٠ﺱ أس أربعة ناقص ٤٠.

سنلخص الآن بعض النقاط الأساسية الواردة في هذا الدرس. في هذا الفيديو، رأينا أنه لإجراء القسمة المطولة لكثيرات الحدود، فإننا نستخدم عملية مشابهة للعملية المستخدمة مع الأعداد. وبدلًا من قسمة كل رقم على حدة، نقسم كل حد على حدة. ورأينا أيضًا أننا إذا حصلنا على باق يساوي صفرًا، أي إن عملية الطرح النهائية تساوي صفرًا، فسيكون المقسوم عليه أحد عوامل المقسوم. بعبارة أخرى، المقسوم يقبل القسمة على المقسوم عليه دون باق. وأخيرًا، رأينا أنه يمكننا التحقق من أي عملية قسمة باستخدام العملية العكسية. بعبارة أخرى، نأخذ خارج القسمة، أي الناتج، ونضربه في المقسوم عليه، أي المقدار الجبري الذي نقسم عليه. إذا حصلنا على المقسوم، فسنعلم أننا أجرينا العملية الحسابية بشكل صحيح.