فيديو الدرس: حجم متوازي المستطيلات والمكعب الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نحسب حجم متوازي المستطيلات والمكعب بمعلومية أبعادهما، وكيف نحل المسائل التي تتضمن مواقف حياتية. سنفكر فيما يعنيه «الحجم» فعليًّا، وكيف يمكن أن تساعدنا خصائص متوازي المستطيلات والمكعب في استنتاج صيغة لحجمهما وفي استخدامها.

السؤال الأول هنا هو: ما هو المنشور؟ المنشور هو شكل ثلاثي الأبعاد له مقطع عرضي ثابت. بعبارة أخرى، المقطع العرضي له الشكل والمساحة نفسهما على امتداد طوله. فالمنشور الثلاثي، على سبيل المثال، له مقطع عرضي مثلث الشكل. يمكنني أخذ شريحة من هنا أو من هنا، وستظل مساحة هذا المثلث وشكله كما هما. وبالمثل، الأسطوانة لها مقطع عرضي ثابت، وهو على شكل دائرة. ما يعنينا الآن هو متوازي المستطيلات، مثل هذا، وكذلك المكعب. المكعب هو ببساطة منشور مستطيلي أبعاده جميعها متماثلة. نلاحظ أن أوجهه - وهي الأسطح المستوية في الشكل - كلها مربعات.

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نحسب حجم هذه الأشكال. حجم الشكل هو قياس إجمالي ما يشغله الشكل من الفراغ. وأسهل طريقة لقياس ما يشغله الشكل من الفراغ هي التفكير في عدد الوحدات المكعبة التي يحتويها هذا الشكل. الوحدة المكعبة هي مكعب أبعاده وحدة واحدة في وحدة واحدة في وحدة واحدة. دعونا نلق نظرة على مثال لذلك.

أوجد حجم متوازي المستطيلات.

حجم متوازي المستطيلات أو المنشور المستطيلي هو قياس الحيز الذي يشغله من الفراغ. ويمكننا حساب الحجم بالنظر إلى عدد الوحدات المكعبة التي يحتويها الشكل. في هذا المثال، نلاحظ أن متوازي المستطيلات مقسم إلى مكعبات أبعادها سنتيمتر واحد في سنتيمتر واحد في سنتيمتر واحد. وهذا يمثل سنتيمترًا مكعبًا واحدًا. وإحدى الطرق التي نتبعها هنا هي عد المكعبات، بدءًا من الجزء الأمامي من الشكل. لدينا هنا واحد، اثنان، ثلاثة، أربعة، خمسة، ستة، سبعة، ثمانية، تسعة، ١٠، ١١، ١٢، ١٣، ١٤، ١٥ مكعبًا. لكن هل هناك طريقة أسرع لحساب ذلك؟ حسنًا، نعم! لدينا خمسة صفوف، كل منها يحتوي على ثلاثة مكعبات. إذن، كان بإمكاننا ببساطة ضرب خمسة في ثلاثة لنجد أن هناك ١٥ مكعبًا في الجزء الأمامي من الشكل.

ننظر الآن إلى عمق الشكل. وهو سنتيمتران. هذا يعني أن لدينا شريحتين متطابقتين يحتوي كل منهما على ١٥ مكعبًا. لذا، فإن الحجم يساوي ١٥ مضروبًا في اثنين، وهو ما يساوي ٣٠. والآن، كل مكعب حجمه سنتيمتر مكعب واحد. إذن، الحجم الإجمالي لمتوازي المستطيلات هو ٣٠ سنتيمترًا مكعبًا. لكن هل هناك طريقة أسرع لحساب ذلك؟ حسنًا، نعم. فبدلًا من عد المكعبات، رأينا أنه يمكننا ضرب خمسة في ثلاثة، ثم ضرب الناتج في اثنين.

بعبارة أخرى، يمكننا ضرب العرض في الارتفاع في الطول، وهذه هي صيغة إيجاد حجم متوازي المستطيلات أو المنشور المستطيلي. فهو حاصل ضرب طوله في عرضه في ارتفاعه. وهو هنا يساوي خمسة في ثلاثة في اثنين. لكن تذكر أن الضرب عملية إبدالية. إذن، يمكننا فعل ذلك بأي ترتيب والحصول على النتيجة نفسها، وهي ٣٠ سنتيمترًا مكعبًا.

لنلق نظرة الآن على كيفية استخدام هذه الصيغة لحل المسائل التي تتضمن حجم متوازي المستطيلات والمكعب.

أي من التالي يوضح كيف يتأثر حجم متوازي مستطيلات بعد زيادة أبعاده الثلاثة إلى الضعف؟ هل سيكون (أ) ﺟ الجديد يساوي ستة في ﺟ القديم؟ أم (ب) ﺟ الجديد يساوي ﺟ القديم تربيع؟ أم (ج) ﺟ الجديد يساوي اثنين في ﺟ القديم؟ أم (د) ﺟ الجديد يساوي أربعة في ﺟ القديم؟ أم (هـ) ﺟ الجديد يساوي ثمانية في ﺟ القديم؟

للإجابة عن هذا السؤال، سنبدأ بتذكر صيغة حجم متوازي المستطيلات. حجم متوازي المستطيلات (ﺟ) هو حاصل ضرب طوله في عرضه في ارتفاعه. لنرمز إلى حجم الشكل الأصلي بـ ﺟ القديم. وهو يساوي ﻝﺽﻉ. ويمكننا، بالطبع، إجراء ذلك بأي ترتيب. فيمكننا كتابة ﺽﻝﻉ أو أي تركيبة أخرى. سنتناول الآن متوازي المستطيلات الأصلي ونزيد جميع أبعاده إلى الضعف.

ارتفاع الشكل الجديد يساوي اثنين في ﻉ، وهو ما يساوي اثنين ﻉ. والعرض الآن يساوي اثنين في ﻝ. وهو ما يساوي اثنين ﻝ. والطول يساوي اثنين في ﺽ. وهذا يساوي اثنين ﺽ. وبذلك، يمكننا الآن حساب حجم الشكل الجديد. فهو لا يزال يساوي حاصل ضرب جميع أبعاده، لكنه هذه المرة يساوي اثنين ﻝ في اثنين ﺽ في اثنين ﻉ. عندما نضرب مقادير جبرية كهذه، نبدأ بضرب الأعداد. إذن، اثنان في اثنين في اثنين يساوي ثمانية. وعليه، فإن الحجم الجديد هو ثمانية ﻝﺽﻉ.

نقارن الآن الحجم الأصلي بالحجم الجديد. وبما أن الحجم الأصلي هو ﻝﺽﻉ والحجم الجديد هو ثمانية مضروبًا في ذلك، فهذا يعني أن الحجم الجديد يساوي ثمانية مضروبًا في الحجم القديم. إذن، الإجابة الصحيحة هي (هـ) ﺟ الجديد يساوي ثمانية في ﺟ القديم.

سنتناول الآن كيفية استخدام صيغة حجم متوازي المستطيلات في مواقف حياتية.

رجل يحتاج إلى تخزين ١٦١٧٠ سنتيمترًا مكعبًا من الأرز في وعاء. كان مع الرجل صندوق على شكل متوازي مستطيلات أبعاده ٣٥ سنتيمترًا، و٢٢ سنتيمترًا، و٢١ سنتيمترًا، وصندوق آخر على شكل مكعب طول حرفه ٢٢ سنتيمترًا. أي الصندوقين ينبغي للرجل أن يستخدمه؟

تذكر أن قياس السعة أو الحيز الذي يشغله الشكل الثلاثي الأبعاد من الفراغ هو الحجم. وصيغة حجم متوازي المستطيلات أو المنشور المستطيلي هي العرض في الارتفاع في الطول. فهو في الأساس حاصل ضرب أبعاده الثلاثة. ويمكننا حساب حاصل الضرب هذا بأي ترتيب. لدينا أيضًا مكعب في هذه المسألة، لكن المكعب هو ببساطة متوازي مستطيلات أبعاده كلها متساوية. وعليه، فإن حجم المكعب هو طول أحد أحرفه تكعيب. سنبدأ بحساب حجم كل شكل.

أبعاد متوازي المستطيلات هي ٣٥ سنتيمترًا، و٢٢ سنتيمترًا، و٢١ سنتيمترًا. إذن، فإن حجمه يساوي ٣٥ في ٢٢ في ٢١، وهو ما يساوي ١٦١٧٠. نضرب هنا سنتيمترات في سنتيمترات في سنتيمترات. إذن، الوحدة المستخدمة هي السنتيمتر المكعب. في الحقيقة، هذه القيمة هي بالضبط كمية الأرز نفسها التي يحتاج الرجل إلى تخزينها. لكن دعونا نتحقق من ذلك بإيجاد حجم المكعب.

هذه المرة، طول كل حرف يساوي ٢٢ سنتيمترًا. إذن، حجم المكعب يساوي ٢٢ في ٢٢ في ٢٢، أو ٢٢ تكعيب. وعليه، فإن حجمه يساوي ١٠٦٤٨ سنتيمترًا مكعبًا. لكن ذلك صغير جدًّا، لذا ينبغي للرجل أن يستخدم متوازي المستطيلات لتخزين الأرز.

في السؤال التالي، سنتناول كيف نحسب حجم متوازي مستطيلات بمعلومية مساحة أحد أوجهه.

أبعاد متوازي المستطيلات هي ٥٦ سنتيمترًا، و٤٠ سنتيمترًا، و٣٤ سنتيمترًا. ومساحة قاعدة متوازي المستطيلات ب هي ٢٩٠٤ سنتيمترات مربعة، وارتفاعه ٣٦ سنتيمترًا. أيهما أكبر حجمًا؟

نبدأ بتذكر صيغة حجم متوازي المستطيلات أو المنشور المستطيلي. وهي حاصل ضرب أبعاده الثلاثة. يمكننا كتابة ذلك في صورة العرض في الارتفاع في الطول بأي ترتيب. وهكذا، يمكننا حساب حجم متوازي المستطيلات أ بسهولة تامة. فهو ٥٦ مضروبًا في ٤٠ مضروبًا في ٣٤، وهو ما يساوي ٧٦١٦٠. والوحدات هنا بالسنتيمتر، ومن ثم فإن وحدة الحجم هي السنتيمتر المكعب. لكن ماذا عن حجم متوازي المستطيلات ب؟

سنعود هنا إلى صيغة حجم متوازي المستطيلات. وبما أن عملية الضرب عملية إبدالية، فإننا نعرف أنه يمكننا إجراؤها بأي ترتيب. لذا، يمكننا إعادة كتابة ذلك في صورة العرض مضروبًا في الطول مضروبًا في الارتفاع. لكن بالطبع العرض في الطول يعطينا مساحة المستطيل. في هذه الحالة، تكون هذه مساحة قاعدة متوازي المستطيلات. وعليه، يمكننا القول بدلًا من ذلك إن حجم متوازي المستطيلات يساوي مساحة قاعدته مضروبة في ارتفاعه؛ حيث يكون الارتفاع هو الضلع العمودي على القاعدة.

وفي بعض الأحيان نقول أيضًا إن حجم متوازي المستطيلات يساوي مساحة مقطعه العرضي مضروبة في طوله أو ارتفاعه. يمكننا إذن حساب حجم متوازي المستطيلات ب بضرب ٢٩٠٤- وهي مساحة قاعدته - في ارتفاعه الذي يساوي ٣٦. وهذا يعطينا القيمة ١٠٤٥٤٤ سنتيمترًا مكعبًا. نلاحظ بوضوح أن ٧٦١٦٠ أصغر من ١٠٤٥٤٤، ما يعني أن متوازي المستطيلات ب أكبر حجمًا.

سنتعرف الآن على كيفية استخدام معطيات عن الحجم في حل مسائل من مواقف حياتية.

إذا تم صب ٤٠٥ سنتيمترات مكعبة من الماء في إناء على شكل متوازي مستطيلات قاعدته مربعة طول ضلعها ٩ سنتيمترات، فأوجد ارتفاع الماء في الإناء.

في هذا السؤال، لدينا معطيات عن حجم الماء الذي تم صبه في إناء على شكل متوازي مستطيلات. هذا الإناء قاعدته مربعة، وطول ضلعها تسعة سنتيمترات. هيا نرسم ذلك. هذا هو الإناء. لا نعرف ارتفاع الماء في الإناء عند صبه. لنطلق على ذلك ﻉ سنتيمتر. لكننا نعلم أن مقدار الحيز الذي يشغله ذلك من الفراغ هو ٤٠٥ سنتيمترات مكعبة. ونعرف أيضًا أن هذا هو الحجم. وحجم متوازي المستطيلات يساوي مساحة قاعدته مضروبة في ارتفاعه العمودي.

والآن، يمكننا حساب مساحة قاعدة الإناء. إنها ببساطة مربع. إذن، مساحتها تساوي تسعة في تسعة، وهو ما يساوي ٨١. والوحدة هنا هي السنتيمتر. إذن، مساحة قاعدة الإناء تساوي ٨١ سنتيمترًا مربعًا. نعلم أيضًا أن حجم الماء يساوي ٤٠٥ سنتيمترات مكعبة. وافترضنا أن ارتفاعه يساوي ﻉ.

إذن يمكننا تكوين معادلة بدلالة ﻉ. فيمكننا القول إن ٤٠٥، وهو الحجم، يساوي مساحة القاعدة، وهي ٨١، في ﻉ، أو إن ٤٠٥ يساوي ٨١ﻉ. نريد إيجاد قيمة ﻉ. إذن، نقسم كلا طرفي المعادلة على ٨١. هذا يعطينا ﻉ يساوي خمسة. وبذلك، يمكننا القول إن ارتفاع الماء في الإناء يساوي خمسة سنتيمترات.

في المثال الأخير، سنتناول ضرورة الانتباه بشدة عند التعامل مع وحدات مختلفة في الأسئلة.

أوجد حجم متوازي المستطيلات.

نتذكر أن حجم متوازي المستطيلات أو المنشور المستطيلي هو حاصل ضرب أبعاده الثلاثة. إذن، فهو يساوي عرضه مضروبًا في طوله مضروبًا في ارتفاعه. والآن، لا بد أن ننتبه بشدة هنا. فنعلم من المعطيات أن عرض متوازي المستطيلات يساوي ٠٫٥ متر، وطوله يساوي أربعة أمتار. لكن ارتفاعه يساوي ٨٥ سنتيمترًا. فوحدة هذا البعد مختلفة عن البعدين الآخرين. إذن، قبل حساب الحجم، سنتأكد من أن جميع الوحدات متماثلة.

يمكننا فعل ذلك بإحدى طريقتين. فيمكننا تحويل جميع القياسات إلى سنتيمترات، وإيجاد الحجم بالسنتيمتر المكعب؛ أو تحويل القياسات إلى أمتار، وإيجاد الحجم بالمتر المكعب. سنلقي نظرة على كلا المثالين. نعرف أن هناك ١٠٠ سنتيمتر في المتر. إذن، للتحويل من أمتار إلى سنتيمترات، نضرب في ١٠٠. ‏٠٫٥ متر يساوي ٠٫٥ في ١٠٠؛ أي ٥٠ سنتيمترًا. وبالمثل، أربعة أمتار تساوي أربعة في ١٠٠، أي ٤٠٠ سنتيمتر. إذن، حجم متوازي المستطيلات بالسنتيمتر المكعب يساوي ٥٠ في ٤٠٠ في ٨٥، وهو ما يساوي ١٧٠٠٠٠٠ سنتيمتر مكعب.

والآن لنر ما سيحدث عندما نحسب الحجم بالمتر المكعب. هذه المرة، للتحويل من السنتيمترات إلى الأمتار، سنقسم على ١٠٠. إذن، ٨٥ سنتيمترًا يساوي ٨٥ مقسومًا على ١٠٠، وهو ما يساوي ٠٫٨٥ متر. إذن، الحجم، بالمتر المكعب، يساوي ٠٫٥ في أربعة في ٠٫٨٥، وهو ما يعطينا الحجم ١٫٧ متر مكعب. بذلك، نكون قد حسبنا حجم متوازي المستطيلات بكل من السنتيمتر المكعب والمتر المكعب.

من الأخطاء الشائعة أن نعتقد أنه للتحويل بين السنتيمتر المكعب والمتر المكعب، نضرب في ١٠٠ أو نقسم على ١٠٠. فيمكننا أن نرى بوضوح أن الحال ليست كذلك هنا. في الواقع، للتحويل من سنتيمتر مكعب إلى متر مكعب، نقسم على ١٠٠ تكعيب. وللتحويل العكسي، نضرب في ١٠٠ تكعيب.

في هذا الفيديو، تعلمنا أن متوازي المستطيلات هو شكل مصمت يشبه الصندوق إلى حد ما. وله ستة أوجه مستطيلة، ونطلق على أبعاده الطول والعرض والارتفاع. وعلمنا أن حجم هذا المنشور يساوي حاصل ضرب هذه الأبعاد. فهو يساوي العرض في الطول في الارتفاع. ويمكننا حساب ذلك بأي ترتيب.

رأينا أيضًا أنه يمكننا القول، بدلًا من ذلك، إن حجم متوازي المستطيلات يساوي مساحة قاعدته أو مقطعه العرضي مضروبة في ارتفاعه؛ حيث يكون الارتفاع هو البعد العمودي على القاعدة. وتذكر أنه علينا دائمًا التحقق من أن الأبعاد معطاة بالوحدة نفسها قبل حساب حجم شكل ثلاثي الأبعاد.