فيديو السؤال: إيجاد نقاط تقع على منحنى معطى وتكون أقرب من نقطة معطاة باستخدام الاشتقاق الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

أوجد النقطتين اللتين تقعان على المنحنى ﺹ تربيع يساوي اثنين ﺱ زائد ٢١، وتعدان الأقرب من النقطة سالب ستة، صفر.

يعطينا السؤال معادلة منحنى. ويطلب منا إيجاد النقطتين اللتين تقعان على هذا المنحنى وتعدان الأقرب من النقطة سالب ستة، صفر. في البداية، دعونا نتذكر صيغة المسافة بين النقطة ﺱ، ﺹ والنقطة ﺃ، ﺏ. باستخدام نظرية فيثاغورس، نجد أن هذه المسافة تساوي الجذر التربيعي لـ ﺱ ناقص ﺃ تربيع زائد ﺹ ناقص ﺏ تربيع.

في الحالة التي لدينا، النقطة ﺱ، ﺹ تقع على المنحنى، والنقطة ﺃ، ﺏ هي سالب ستة، صفر. لذا، باستخدام هذه الصيغة، إذا كانت ﺱ، ﺹ تقع على المنحنى وﺃ، ﺏ تساوي سالب ستة، صفر، فإن طول الخط المستقيم بين النقطة ﺱ، ﺹ والنقطة سالب ستة، صفر يساوي الجذر التربيعي لـ ﺱ ناقص سالب ستة تربيع زائد ﺹ ناقص صفر تربيع.

ويمكننا تبسيط هذا المقدار. بتوزيع التربيعين على الأقواس، نحصل على ﺱ تربيع زائد ١٢ﺱ زائد ٣٦ وﺹ تربيع. لكن تذكر أن النقطة ﺱ، ﺹ تقع على المنحنى، إذن ﺹ تربيع يساوي بالفعل اثنين ﺱ زائد ٢١. ومن ثم، إذا عوضنا عن ﺹ تربيع باثنين ﺱ زائد ٢١، نجد أن الطول يساوي الجذر التربيعي لـ ﺱ تربيع زائد ١٢ﺱ زائد ٣٦ زائد اثنين ﺱ زائد ٢١. وبالطبع، يمكننا تبسيط هذا المقدار أكثر.

‏١٢ﺱ زائد اثنين ﺱ يساوي ١٤ﺱ. و٣٦ زائد ٢١ يساوي ٥٧. بذلك، نكون قد أوجدنا صيغة لطول الخط المستقيم بين النقطة ﺱ، ﺹ الواقعة على المنحنى والنقطة سالب ستة، صفر. وهو يساوي الجذر التربيعي لـ ﺱ تربيع زائد ١٤ﺱ زائد ٥٧. وهذه دالة بدلالة ﺱ بالكامل. ويريد السؤال أن يكون هذا الطول أصغر ما يمكن. هذه إحدى مسائل الحل الأمثل؛ لذا سنحلها بإيجاد النقاط الحرجة لدالة الطول.

نلاحظ أن صيغة الطول هي تركيب دالتين، فهي الجذر التربيعي لدالة كثيرة الحدود. علينا إذن اشتقاق ذلك باستخدام قاعدة السلسلة. تنص قاعدة السلسلة على أنه إذا كانت ﻉ دالة في المتغير ﻕ، وﻕ بدورها دالة في المتغير ﺱ، فإن مشتقة ﻉ لـ ﻕﺱ تساوي ﻕ شرطة ﺱ في ﻉ شرطة عند ﻕﺱ. إذن، سنجعل ﻕﺱ هي الدالة الداخلية. وهي الدالة الكثيرة الحدود ﺱ تربيع زائد ١٤ﺱ زائد ٥٧.

إذن، هذا يعطينا طول الخط المستقيم ﻝ بدلالة ﺱ يساوي الجذر التربيعي لـ ﻕﺱ. بعد ذلك، نجعل ﻉﻕ يساوي الجذر التربيعي لـ ﻕ. وبفعل ذلك، نكون قد أعدنا كتابة الطول ليصبح ﻉ تركيب ﻕ. ‏ﻉ دالة لـ ﻕ، وﻕ بدورها دالة لـ ﺱ. إذن، لاستخدام قاعدة السلسلة، علينا إيجاد مقدارين يعبران عن ﻉ شرطة وﻕ شرطة. لنبدأ بـ ﻉ شرطة.

إنها مشتقة الجذر التربيعي لـ ﻕ بالنسبة إلى ﻕ. باستخدام قوانين الأسس، يمكننا إعادة كتابة الجذر التربيعي لـ ﻕ على الصورة ﻕ أس نصف. ويمكننا اشتقاق ذلك باستخدام قاعدة القوة للاشتقاق. نضرب في أس ﻕ، وهو نصف، ثم نطرح واحدًا من هذا الأس. وهذا يعطينا نصف ﻕ أس سالب نصف، وهو ما سنعيد كتابته على الصورة واحد على اثنين جذر ﻕ.

بعد ذلك، نريد إيجاد مقدار يعبر عن ﻕ شرطة ﺱ. وهي مشتقة ﺱ تربيع زائد ١٤ﺱ زائد ٥٧ بالنسبة إلى ﺱ. سنفعل ذلك باستخدام قاعدة القوة للاشتقاق على كل حد. وهذا يعطينا اثنين ﺱ زائد ١٤. والآن، باستخدام قاعدة السلسلة، يصبح لدينا ﻝ شرطة ﺱ يساوي ﻕ شرطة ﺱ في ﻉ شرطة لـ ﻕﺱ. بالتعويض في التعبيرين عن ﻕ شرطة، وﻉ شرطة، وﻕﺱ، نجد أن ﻝ شرطة ﺱ تساوي اثنين ﺱ زائد ١٤ مقسومًا على اثنين في الجذر التربيعي لـ ﺱ تربيع زائد ١٤ﺱ زائد ٥٧.

ويمكننا تبسيط ذلك قليلًا. سنحذف العامل المشترك اثنين من البسط والمقام. وهذا يعطينا ﻝ شرطة ﺱ يساوي ﺱ زائد سبعة مقسومًا على الجذر التربيعي لـ ﺱ تربيع زائد ١٤ﺱ زائد ٥٧. تذكر أننا نريد إيجاد النقاط الحرجة لهذه الدالة. وهذا حيث تساوي المشتقة صفرًا أو حيث تكون المشتقة غير موجودة. دعونا نبدأ بالتحقق من النقاط حيث تكون المشتقة غير موجودة.

تكون المشتقة غير موجودة إذا كان المقام يساوي صفرًا، أو إذا أخذنا الجذر التربيعي لعدد سالب. للتحقق من حدوث ذلك، سنكمل مربع الدالة التربيعية. لإكمال المربع، نريد ﺱ زائد نصف معامل الحد الذي يتضمن ﺱ الكل تربيع. هذا يعني أنه عندما نفك القوس الذي في الطرف الأيسر، سنضيف ٤٩. إذن، علينا طرح العدد ٤٩. إذن، بفك قوس الطرف الأيسر والتبسيط، نحصل على ﺱ تربيع زائد ١٤ﺱ.

من ثم، لموازنة طرفي هذه المعادلة، كل ما علينا فعله هو إضافة ٥٧. وسالب ٤٩ زائد ٥٧ يساوي ثمانية. وبإكمال المربع، نكون قد أعدنا كتابة الدالة التربيعية في المقام على الصورة ﺱ زائد سبعة الكل تربيع زائد ثمانية. هيا نعوض ذلك في دالة المشتقة. لقد أعدنا الآن كتابة ﻝ شرطة ﺱ لتكون ﺱ زائد سبعة مقسومًا على الجذر التربيعي لـ ﺱ زائد سبعة تربيع زائد ثمانية. والسبب وراء فعل ذلك هو أن هذا يجعل إيجاد النقاط الحرجة أسهل.

‏ﺱ زائد سبعة الكل تربيع هو مربع، أي أكبر من أو يساوي صفرًا. لكننا بعد ذلك نضيف ثمانية إلى هذه القيمة. ومن ثم، يكون المقام دائمًا موجبًا. إننا نأخذ دائمًا الجذر التربيعي لعدد موجب. وبذلك، يكون المقام موجبًا دائمًا. إذن، المشتقة معرفة لجميع قيم ﺱ. إذن، ستكون النقاط الحرجة فقط حيث المشتقة تساوي صفرًا. هذا يعني أن البسط لا بد أن يساوي صفرًا، ما يعني أن ﺱ يساوي سالب سبعة. ومن ثم، أوضحنا أن للدالة نقطة حرجة واحدة، وهي حيث ﺱ يساوي سالب سبعة.

علينا أن نحدد نوع هذه النقطة الحرجة. يمكننا فعل ذلك باستخدام اختبار المشتقتين الأولى أو الثانية. لكننا، في هذه الحالة، سنفعل ذلك بالتفكير في الدالة ﻝ شرطة ﺱ. لقد أوضحنا بالفعل أن مقام ﻝ شرطة ﺱ موجب لجميع قيم ﺱ. لذا، تحديد إذا ما كان ﻝ شرطة ﺱ موجبًا أم سالبًا يعتمد كليًّا على إشارة البسط. يكون البسط سالبًا إذا كان ﺱ أقل من سالب سبعة. ويكون البسط موجبًا إذا كان ﺱ أكبر من سالب سبعة.

لنفكر لبرهة إذن في معنى هذا على التمثيل البياني. الميل عند سالب سبعة يساوي صفرًا. بالنسبة لجميع قيم ﺱ الأقل من سالب سبعة، يكون الميل معرفًا وسالبًا. وبالنسبة إلى جميع قيم ﺱ الأكبر من سبعة، يكون الميل معرفًا وموجبًا. إذن، لدينا دالة متصلة ذات مشتقة متصلة ذات نقطة تحول واحدة عند ﺱ يساوي سالب سبعة. إذن، في الواقع، هذه قيمة صغرى مطلقة للدالة.

آخر ما نفعله هو إيجاد إحداثيات أي نقاط حيث ﺱ يساوي سالب سبعة. سنفعل ذلك بالتعويض بـ ﺱ يساوي سالب سبعة في معادلة المنحنى. بالتعويض بـ ﺱ يساوي سالب سبعة في معادلة المنحنى، نحصل على ﺹ تربيع يساوي اثنين في سالب سبعة زائد ٢١، وهو ما يمكن تبسيطه إلى ﺹ تربيع يساوي سبعة. بعد ذلك، نأخذ الجذر التربيعي لطرفي هذه المعادلة، ونتذكر أننا نحصل على جذر تربيعي موجب وسالب. فنحصل على ﺹ يساوي موجب أو سالب جذر سبعة. وبذلك نكون قد أثبتنا أن النقطتين اللتين تقعان على المنحنى ﺹ تربيع وتساويان اثنين ﺱ زائد ٢١ وتعدان الأقرب من النقطة سالب ستة، صفر؛ هما النقطتان اللتان إحداثياتهما سالب سبعة جذر سبعة، وسالب سبعة سالب جذر سبعة.