فيديو: مثلث باسكال

يوضح الفيديو ما مثلث باسكال، وكيفية استخدامه لإيجاد معاملات مفكوك ذات حدّين مرفوعةٍ لأُسٍّ ما، ومثالًا عليها.

٠٩:٢٦

‏نسخة الفيديو النصية

في الفيديو ده هنتكلم عن ما يسمى بمثلث باسكال. أولًا المثلث ده متسمّي على اسم عالم الرياضيات الفرنسي بليز باسكال. اللي اكتشف النمط اللي هنشوفه دلوقتي، واتسمّى على اسمه. طيب مثلث باسكال بيظهر لمّا بنحاول نرفع ذات حدّين لأُسٍّ ما. وذات الحدّين هي كانت عبارة عن جمع أو طرح لحدّين مختلفين عن بعض.

فلو عندنا ذات حدّين، أ زائد ب، ورفعناها لأُسس مختلفة. يعني هنا أ زائد ب الكل أُس صفر. أ زائد ب الكل أُس واحد. أُس اتنين، أُس تلاتة، أُس أربعة، أُس خمسة. لو فكّينا الأقواس دي، هيظهر لنا النمط اللي هنشوفه دلوقتي. اللي ظاهر قدامنا ده نتيجة فكّ الأقواس اللي إحنا كاتبينها دي. فعندنا أول قوس، أ زائد ب الكل أُس صفر. طبعًا أيّ حاجة أُس صفر بتساوي واحد. فناتج فكّ القوس ده طلع بيساوي واحد. مضروب في أ أُس صفر، اللي هو واحد. في ب أُس صفر.

القوس التاني، أ زائد ب الكل أُس واحد، طلع بيساوي واحد. مضروب في أ أُس واحد، اللي هي أ. مضروب في ب أُس صفر، اللي هي واحد. زائد واحد مضروب في أ أُس صفر. مضروب في ب أُس واحد. يعني اللي هو ده في الآخر بيساوي أ زائد ب. بس إحنا كاتبينه بالتفصيل. ونفس الكلام كرّرناه للأُس تربيع، وأُس تلاتة، وأُس أربعة، وأُس خمسة. كل حدّ كتبناه في صورة معامل، مضروب في أ أُس رقم، مضروب في ب أُس رقم.

طيب ممكن نلاحظ شوية ملحوظات على المفكوكات اللي إحنا كتبناها دي. أول ملحوظة: إن عدد الحدود في أيّ سطر إحنا كاتبينه، بيساوي الأُس اللي على القوس زائد واحد. فهنا عندنا أُس صفر زائد واحد؛ يدّينا حدّ واحد. أُس واحد، نجمع عليه واحد يبقى اتنين؛ هنا فعلًا عندنا حدّين. ننزل آخر سطر مثلًا، أُس خمسة، لو جمعنا عليه واحد، يبقى ستة. فإحنا عندنا واحد، اتنين، تلاتة، أربعة، خمسة، ست حدود. يبقى أيّ سطر عدد الحدود فيه بيساوي الأُس زائد واحد.

الملاحظة التانية: هو إن دايمًا الحدّ الأول بيساوي أ أُس الرقم اللي كان موجود على القوس من برّه. يعني هنا مثلًا عندنا أُس أربعة، فالحدّ الأول طلع أ أُس أربعة. وكمان الحدّ الأخير بيطلع دايمًا ب أُس الرقم اللي كان موجود على القوس. يعني هنا أُس أربعة، فالحدّ الأخير طلع ب أُس أربعة. وده موجود في كل الحالات. فعندنا هنا مثلًا أُس تلاتة. الحدّ الأولاني طلع بيساوي أ أُس تلاتة، والحدّ الأخير بيساوي ب أُس تلاتة.

الملاحظة التالتة: إن الأُس بتاع أ بيبدأ بأكبر قيمة، والأُس بتاع ب بيبدأ بصفر. وكل ما بنزوّد الحدود، الأُس بتاع أ بينقص واحد، والأُس بتاع ب بيزيد واحد. فمثلًا هنا عندنا القوس ده أُس تلاتة. فبدأنا الأُس بتاع أ بيساوي تلاتة، والأُس بتاع ب بيساوي صفر. الحدّ اللي بعده نقّصنا الأُس بتاع أ واحد، فبقى بيساوي اتنين. وزوّدنا الأُس بتاع ب واحد، فبقى بيساوي واحد. وهكذا الحدّ اللي بعده الأُس بتاع أ بقى واحد، والأُس بتاع ب بقى اتنين. وأخيرًا الحدّ الأخير الأُس بتاع أ بقى صفر، والأُس بتاع ب بقى بيساوي تلاتة.

الملحوظة الرابعة: إن دايمًا مجموع الأُس بتاع أ، زائد الأُس بتاع ب، بيساوي الأُس اللي كان موجود على القوس من برّه. يعني هنا عندنا القوس أُس اتنين. فلو بصينا على الحدود، هنلاقي إن الأُس بتاع أ بيساوي اتنين، والأُس بتاع ب بيساوي صفر، مجموعهم بيساوي اتنين. هنا الأُس بتاع أ بيساوي واحد، الأُس بتاع ب بيساوي واحد، مجموعهم بيساوي اتنين. وأخيرًا الأُس بتاع أ هنا بيساوي صفر، والأُس بتاع ب بيساوي اتنين، مجموعهم بيساوي اتنين.

طيب اللي هنعمله في الصفحة اللي جاية، علشان نظهر مثلث باسكال، هو إننا هنكتب نفس النتائج اللي ظهرت قدامنا دي. لكن هنكتب المعاملات بس. يعني مش هنكتب أ أُس كذا، أو ب أُس كذا. فلو عملنا كده، هيظهر لنا … هنا إحنا كتبنا المعاملات فقط، من غير أ أُس كذا، أو ب أُس كذا. واللي ظهر قدامنا ده هو ما يسمّى بمثلث باسكال.

يبقى إذن مثلث باسكال هو المثلث اللي بيتكوّن من المعاملات اللي بتظهر، لمّا بنرفع ذات حدّين لأُس معيّن. كل صفّ من دول مُناظر لأُس ذات الحدّين مرفوعة ليه. فهنا ده بنسميه الصف رقم صفر؛ لأنه مُناظر لذات حدّين مرفوعة لأُس صفر. ده الصف الأول. الصف التاني. الصف التالت. الصف الرابع. الخامس. السادس. وهكذا …

هنا في ملاحظتين عايزين نقولهم بخصوص مثلث باسكال. أولًا: الجنبين بتوع المثلث دايمًا وحايد. يعني الجنب ده والجنب ده، كل المعاملات اللي فيهم بتساوي واحد. الملاحظة التانية: إن أيّ قيمة في مثلث باسكال، بتساوي مجموع القيمتين اللي في الصف اللي فوقه وبيحيطوا بيه. يعني مثلًا ستة دي هي عبارة عن مجموع القيمتين اللي في الصف اللي فوقه وبيحيطوا بيه، اللي هم تلاتة وتلاتة. فتلاتة زائد تلاتة يساوي ستة.

ونفس الطريقة هنا مثلًا عندنا أربعة وواحد. فدول مجموعهم يتحطّ في الصف اللي بعديهم، ما بينهم؛ اللي هو بيساوي خمسة. نفس الطريقة عندنا هنا مثلًا خمسة وعشرة، مجموعهم خمستاشر. فاتْكَتَب ما بينهم في الصف اللي بعديهم. وهكذا … وده معناه إننا نقدر نجيب المعاملات بتاعة أيّ ذات حدّين مرفوعة لأي أُس، بإننا نستخدم مثلث باسكال. زي ما هنشوف في المثال اللي في الصفحة اللي جاية.

هنا المثال بيقول: استخدم مثلث باسكال لحساب أ زائد ب الكل أُس سبعة.

طيب هنا عندنا الأُس بيساوي سبعة. فإحنا عايزين نجيب الصف السابع في مثلث باسكال. طيب في الصفحة اللي فاتت إحنا كتبنا لحدّ الصف السادس في مثلث باسكال. ممكن نكتبه هنا مرة تانية. طيب ده الصف السادس. المعاملات بتاعته كانت: واحد، ستة، خمستاشر، عشرين، خمستاشر، ستة، واحد. دلوقتي عايزين نستخدم الصف ده، عشان نجيب الصف السابع.

طيب أولًا إحنا متوقعين إن الصف السابع هيطلع فيه سبعة زائد واحد من الحدود. يعني هيطلع عندنا تمن حدود، أو تمن معاملات. أولًا الطرفين بتوع الصف ده هيبقوا واحد. هيبقى عندنا هنا في الأول واحد. وفي الآخر هنا هيبقى عندنا واحد. بعد كده نبدأ نحسب القيم من الصف اللي فات. فعندنا ستة وواحد، مجموعهم يبقى سبعة، هنحطه ما بينهم. ستة زائد خمستاشر يبقى واحد وعشرين. خمستاشر زائد عشرين يبقى خمسة وتلاتين. عشرين زائد خمستاشر يبقى خمسة وتلاتين. خمستاشر زائد ستة يبقى واحد وعشرين. ستة زائد واحد يبقى سبعة.

يبقى الصف السابع في مثلث باسكال هو عبارة عن: واحد، سبعة، واحد وعشرين، خمسة وتلاتين، خمسة وتلاتين، واحد وعشرين، سبعة، واحد. ودي هتبقى المعاملات بتاعة الحدود لمفكوك أ زائد ب الكل أُس سبعة.

طيب الخطوة الجاية إننا نكتب الحدود نفسها. فإحنا عندنا أ زائد ب الكل أُس سبعة يساوي … طيب إحنا قلنا إن الأُسُس بتاعة أ بتبدأ بأقصى قيمة، اللي هنا هتبقى سبعة، وبعدين تبدأ تقل. والأُسُس بتاعة ب بتبدأ بصفر، وبعدين تزيد. فيبقى عندنا أ أُس سبعة زائد؛ أ أُس ستة، في ب أُس واحد. زائد أ أُس خمسة، في ب أُس اتنين. زائد أ أُس أربعة، في ب أُس تلاتة. زائد أ أُس تلاتة، في ب أُس أربعة. زائد أ تربيع، في ب أُس خمسة. زائد أ أُس واحد، في ب أُس ستة. زائد ب أُس سبعة. ويبقى دي الأُسُس بتاعة مفكوك أ زائد ب الكل أُس سبعة.

الخطوة الجاية إننا نحطّ المعاملات، اللي حسبناها من مثلث باسكال، جنب الحدود دي بالترتيب كده. فيبقى هنا واحد في أ أُس سبعة. زائد سبعة، في أ أُس ستة، في ب. زائد واحد وعشرين، في أ أُس خمسة، في ب تربيع. زائد خمسة وتلاتين، في أ أُس أربعة، في ب أُس تلاتة. زائد خمسة وتلاتين أ أُس تلاتة ب أُس أربعة. زائد واحد وعشرين أ تربيع ب أُس خمسة. زائد سبعة أ، ب أُس ستة. زائد واحد مضروبة في ب أُس سبعة. ويبقى اللي طلع ده هو مفكوك أ زائد ب الكل أُس سبعة.

كده في الفيديو ده إحنا اتكلمنا عن مثلث باسكال. وشُفنا إزاي ممكن نستخدم مثلث باسكال، علشان نحسب معاملات للحدود بتاعة مفكوك ذات حدّين مرفوعة لأُسٍّ ما.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.