نسخة الفيديو النصية
أوجد معادلة الخط المستقيم الذي يمر بنقطة تقاطع الخطين المستقيمين اللذين معادلتاهما خمسة ﺱ زائد اثنين ﺹ يساوي صفرًا، وثلاثة ﺱ زائد سبعة ﺹ زائد ١٣ يساوي صفرًا، ويصنع زاوية قياسها ١٣٥ درجة مع الجزء الموجب من المحور ﺹ.
في هذا السؤال، المطلوب منا هو إيجاد معادلة خط مستقيم. ونعلم من المعطيات أن هذا المستقيم يمر بنقاط التقاطع بين خطين مستقيمين آخرين: المستقيم خمسة ﺱ زائد اثنين ﺹ يساوي صفرًا، والمستقيم ثلاثة ﺱ زائد سبعة ﺹ زائد ١٣ يساوي صفرًا. وعلمنا أيضًا أن هذا المستقيم يصنع زاوية قياسها ١٣٥ درجة مع الجزء الموجب من المحور ﺹ. للإجابة عن هذا السؤال، دعونا نبدأ باستخدام المعلومات المعطاة. سنبدأ باستخدام حقيقة أن المستقيم يصنع زاوية قياسها ١٣٥ درجة مع الجزء الموجب من المحور ﺹ. ولمساعدتنا على استخدام هذه المعلومة، دعونا نبدأ برسم المستقيم والزاوية على المخطط.
أولًا، علينا قياس الزاوية من الاتجاه الموجب للمحور ﺹ. وتذكر أن هذه الزاوية موجبة؛ لذا فهي تقاس عكس اتجاه دوران عقارب الساعة. هذا يعطينا شكلًا يبدو كما يلي. يوجد أمر مثير للاهتمام يمكننا ملاحظته بشأن هذه الزاوية. فهي ستتيح لنا إيجاد قياس الزاوية التي يصنعها هذا المستقيم مع الاتجاه الموجب للمحور ﺱ. أولًا، المحور ﺹ هو خط مستقيم، إذن ١٣٥ درجة زائد قياس هذه الزاوية لا بد أن يساوي ١٨٠ درجة. إذن، هذه الزاوية يجب أن يكون قياسها ٤٥ درجة. بعد ذلك، يلتقي المحوران ﺱ وﺹ عند زوايا قائمة.
أخيرًا، مجموع قياسات الزوايا الداخلية في المثلث هو ١٨٠ درجة. إذن، قياس الزاوية المتبقية في هذا المثلث قائم الزاوية يساوي ٤٥ درجة. وهذه هي الزاوية التي يصنعها الخط المستقيم مع الاتجاه الموجب للمحور ﺱ. لنتذكر أنه يمكننا استخدام هذه الزاوية لتحديد ميل المستقيم. نحن نعلم أنه إذا كان الخط المستقيم يصنع زاوية 𝜃 مع الاتجاه الموجب للمحور ﺱ، فإن ميل هذا المستقيم يساوي ظل الزاوية 𝜃. حسنًا، تجدر الإشارة إلى أنه إذا كان قياس الزاوية 𝜃 يساوي ٩٠ درجة، فسنحصل على ظا ٩٠ درجة، وهي قيمة غير معرفة. لكن هذا لن يحدث إلا إذا كان لدينا خط رأسي. يمكننا تطبيق ذلك لإيجاد الميل ﻡ لهذا المستقيم. قياس الزاوية التي يصنعها المستقيم مع الاتجاه الموجب للمحور ﺱ يساوي ٤٥ درجة. إذن، ﻡ يساوي ظا ٤٥ درجة، والذي نعلم أنه يساوي واحدًا.
لدينا الآن ميل الخط المستقيم. ونعلم من المعطيات أن الخط المستقيم يمر بنقطة التقاطع بين خطين مستقيمين معطيين. لذا، إذا أوجدنا إحداثيات نقطة التقاطع هذه، يمكننا إيجاد معادلة الخط المستقيم في صيغة ميل ونقطة. ويمكننا إيجاد إحداثيات نقطة التقاطع بين خطين مستقيمين بتذكر أن قيمتي الإحداثيين ﺱ وﺹ لنقطة التقاطع يجب أن تحققا معادلتي المستقيمين. بعبارة أخرى، علينا حل هاتين المعادلتين باعتبارهما معادلتين آنيتين.
يوجد بعض الطرق المختلفة لإجراء ذلك. على سبيل المثال، يمكننا استخدام طريقة الحذف. لكننا سنستخدم التعويض. يمكننا إعادة ترتيب المعادلة الأولى لجعل ﺹ المتغير التابع. نطرح خمسة ﺱ من كلا طرفي المعادلة ثم نقسم الطرفين على اثنين. نجد أن ﺹ يساوي سالب خمسة على اثنين ﺱ. يمكننا الآن التعويض بهذا المقدار الذي يعبر عن ﺹ في المعادلة الثانية. هذا يعطينا ثلاثة ﺱ زائد سبعة في سالب خمسة على اثنين ﺱ زائد ١٣ يساوي صفرًا.
نريد الآن حل هذه المعادلة لإيجاد قيمة ﺱ، ولنبدأ بتبسيط المعادلة. أولًا، سبعة في سالب خمسة على اثنين يساوي سالب ٣٥ على اثنين. ويمكننا طرح ١٣ من كلا طرفي المعادلة لنحصل على ثلاثة ﺱ ناقص ٣٥ على اثنين ﺱ يساوي سالب ١٣. بعد ذلك، علينا تبسيط الطرف الأيمن. يمكننا فعل ذلك من خلال ملاحظة أن ثلاثة يساوي ستة على اثنين. يمكننا بعد ذلك تبسيط حدي ﺱ. ستة ناقص ٣٥ يساوي سالب ٢٩. إذن، لدينا سالب ٢٩ على اثنين في ﺱ يساوي سالب ١٣.
يمكننا الآن إيجاد قيمة ﺱ بقسمة كلا طرفي المعادلة على سالب ٢٩ على اثنين. هذا يماثل بالطبع ضرب كلا طرفي المعادلة في سالب اثنين على ٢٩. نحصل على ﺱ يساوي سالب ١٣ في سالب اثنين على ٢٩. وإذا حسبنا ذلك، فسنجد أنه يساوي ٢٦ على ٢٩. هذا يعني أننا أوجدنا الآن قيمة الإحداثي ﺱ لنقطة التقاطع بين المستقيمين. علينا الآن إيجاد قيمة الإحداثي ﺹ. يمكننا فعل ذلك بالتعويض بقيمة ﺱ في أي من المعادلتين الآنيتين الأصليتين.
لكن من الأسهل التعويض بهذه القيمة في إعادة الترتيب الخاص بالمعادلة الأولى. وهذا يعطينا أن قيمة الإحداثي ﺹ لنقطة التقاطع بين المستقيمين تساوي سالب خمسة على اثنين مضروبًا في ٢٦ على ٢٩. يمكننا تبسيط هذه المعادلة بحذف العامل المشترك اثنين من البسط والمقام. نحصل على سالب خمسة في ١٣ على ٢٩، والذي يمكننا حسابه ليعطينا سالب ٦٥ على ٢٩. إذن، المستقيم يمر بالنقطة التي إحداثياتها ٢٦ على ٢٩، سالب ٦٥ على ٢٩، وله ميل يساوي واحدًا. هذا يعني أنه يمكننا إيجاد معادلة هذا المستقيم باستخدام صيغة الميل ونقطة لمعادلة الخط المستقيم.
نتذكر أن هذه الصيغة تخبرنا بأن المستقيم الذي ميله ﻡ ويمر بالنقطة التي إحداثياتها ﺱ واحد، ﺹ واحد ستكون معادلته ﺹ ناقص ﺹ واحد يساوي ﻡ في ﺱ ناقص ﺱ واحد. وقد أوضحنا بالفعل أن الخط المستقيم له ميل ﻡ يساوي واحدًا ويمر بالنقطة التي إحداثياتها ٢٦ على ٢٩، سالب ٦٥ على ٢٩. ومن ثم، يمكننا التعويض بهذه القيم في صيغة الميل ونقطة لمعادلة الخط المستقيم لإيجاد معادلته. نحصل على ﺹ ناقص سالب ٦٥ على ٢٩ يساوي واحدًا في ﺱ ناقص ٢٦ على ٢٩.
ويمكننا تبسيط هذه المعادلة. أولًا، الضرب في واحد لا يغير القيمة، وطرح سالب ٦٥ على ٢٩ يكافئ إضافة ٦٥ على ٢٩. هذا يعطينا ﺹ زائد ٦٥ على ٢٩ يساوي ﺱ ناقص ٢٦ على ٢٩. يمكننا تبسيط هذه المعادلة أكثر من ذلك بالتخلص من المقامين. سنفعل ذلك بضرب كلا طرفي المعادلة في ٢٩. هذا يعطينا ٢٩ﺹ زائد ٦٥ يساوي ٢٩ﺱ ناقص ٢٦.
سنكتب هذا الآن على الصورة العامة لمعادلة الخط المستقيم. سنفعل ذلك بطرح ٢٩ﺹ من كلا طرفي المعادلة و٦٥ من كلا طرفي المعادلة. وبما أن سالب ٢٦ ناقص ٦٥ يساوي سالب ٩١، فإن ذلك يعطينا ٢٩ﺱ ناقص ٢٩ﺹ ناقص ٩١ يساوي صفرًا، وهي الإجابة النهائية.
