نسخة الفيديو النصية
ﺃﺏ وﺃﺟ قطعتان مماستان للدائرة ﻡ؛ حيث تقع ﺏ وﺟ على محيط الدائرة. ﻡﺃ يساوي ١٤ سنتيمترًا، ونصف قطر الدائرة يساوي سبعة سنتيمترات. أوجد مساحة الجزء الواقع بين القطعتين المماستين والقوس الأصغر ﺏﺟ مقربًا إجابتك لأقرب سنتيمتر مربع.
قد يبدو هذا صعبًا في البداية. لكن يمكننا تقسيم المسألة إلى عدة أجزاء صغيرة. نلاحظ أولًا أنه إذا أضفنا نصفي القطر ﺏﻡ وﻡﺟ إلى الشكل، فسيمكننا تكوين مثلثين قائمي الزاوية. وهما ﺃﺏﻡ وﺃﺟﻡ. وهذا لأن الزاوية المحصورة بين المماس ونصف القطر تساوي ٩٠ درجة. إذن، الزاويتان ﺃﺏﻡ وﺃﺟﻡ يجب أن يكون قياسهما ٩٠ درجة.
بمجرد تحديد ذلك، يمكننا استخدام حساب المثلثات للمثلث القائم الزاوية لإيجاد قياسي الزاويتين ﺃﻡﺏ وﺃﻡﺟ. نرسم المثلث ﺃﻡﺏ خارج الدائرة، ونعلم من المعطيات أن ﻡﺃ يساوي ١٤ سنتيمترًا. إذن طول وتر هذا المثلث يساوي ١٤ سنتيمترًا. وهو الضلع المقابل للزاوية القائمة، ويكون دائمًا أطول ضلع في المثلث. نصف القطر ﻡﺏ يساوي سبعة سنتيمترات. وهذا هو الضلع المجاور، أي الضلع الموجود بجانب الزاوية المحصورة.
يمكننا الآن استخدام نسبة جيب التمام لإيجاد قياس الزاوية 𝜃. جتا 𝜃 يساوي الضلع المجاور مقسومًا على الوتر. في هذه الحالة، لدينا سبعة مقسومًا على ١٤، وهو ما يساوي ٠٫٥. يمكننا حل هذه المعادلة لإيجاد قيمة 𝜃 عن طريق إيجاد الدالة العكسية لنسبة جيب التمام. وهذا يساوي الدالة العكسية لـ جتا ٠٫٥. هذه إحدى النتائج القياسية التي يجب أن نعرفها جيدًا. لكن إذا لم يكن الأمر كذلك، فإننا نحصل على 𝜋 على ثلاثة راديان.
والآن بعد أن أصبحت لدينا هذه المعلومات، يمكننا إيجاد مساحة المثلث ﺃﺏﻡ. وبمجرد أن نحصل عليها، يمكننا إيجاد مساحة الشكل الرباعي ﺃﺏﻡﺟ. وبعد ذلك، يمكننا طرح مساحة القطاع لإيجاد المساحة المطلوبة. توجد في الواقع طريقتان لإيجاد مساحة هذا المثلث.
تتمثل إحدى هاتين الطريقتين في إيجاد طول الضلع الناقص، ثم استخدام صيغة نصف طول القاعدة في الارتفاع. ولكن يمكننا استخدام الصيغة المثلثية: نصف ﺃ شرطة ﺏ شرطة جا ﺟ. الزاوية المحصورة في المثلث ﺃﺏﻡ هي 𝜋 على ثلاثة. وطولا الضلعين ﺃ شرطة وﺏ شرطة يساويان سبعة سنتيمترات و١٤ سنتيمترًا. إذن، المساحة تساوي نصفًا مضروبًا في سبعة مضروبًا في ١٤ مضروبًا في جا 𝜋 على ثلاثة.
مرة أخرى، جا 𝜋 على ثلاثة هي إحدى النتائج القياسية التي يجب أن نعرفها جيدًا. إنها جذر ثلاثة على اثنين. ويمكننا تبسيط ذلك عن طريق قسمة البسط والمقام على اثنين. عندما نفعل ذلك، يمكننا أن نلاحظ أن مساحة هذا المثلث القائم الزاوية تساوي ٤٩ جذر ثلاثة على اثنين وحدة تربيع أو وحدة مربعة.
يمكننا إيجاد مساحة الشكل الرباعي عن طريق ضرب هذه القيمة في اثنين. هذا يساوي اثنين مضروبًا في ٤٩ جذر ثلاثة على اثنين. إذن، مساحة ﺃﺏﻡﺟ تساوي ٤٩ جذر ثلاثة وحدة مربعة.
تذكر أنه لإيجاد المساحة المظللة، علينا طرح مساحة القطاع ﺏﺟﻡ. صيغة مساحة القطاع الذي نصف قطره نق وزاويته 𝜃 راديان هي نصف نق تربيع 𝜃. نعرف قياس الزاوية في القطاع. إنها اثنان في 𝜋 على ثلاثة، أي اثنان 𝜋 على ثلاثة.
إذن المساحة تساوي نصفًا مضروبًا في سبعة تربيع مضروبًا في اثنين 𝜋 على ثلاثة. سبعة تربيع يساوي ٤٩. ويمكننا تبسيط ذلك بقسمة البسط والمقام على اثنين. مساحة القطاع تساوي ٤٩𝜋 على ثلاثة.
المساحة التي نريد إيجادها تساوي الفرق بين المساحتين اللتين حصلنا عليهما. فهي ٤٩ جذر ثلاثة ناقص ٤٩𝜋 على ثلاثة. هذا يساوي ٣٣٫٥٥٧. تذكر أن المطلوب هو تقريب الإجابة لأقرب سنتيمتر مربع. وإذا فعلنا ذلك، فسنجد أن المساحة المطلوبة هي ٣٤ وحدة مربعة أو ٣٤ سنتيمترًا مربعًا.
