نسخة الفيديو النصية
حاوية مياه طويلة بها فتحات جانبية صغيرة على ارتفاعات مختلفة من الأرض، كما هو موضح في الشكل. يتسرب الماء من فتحات الحاوية، ويوضح الشكل تسرب الماء من الفتحة 𝐴 فقط. يقطع الماء المتسرب من الفتحات مسافات أفقية مختلفة عن الحاوية. يفترض أن يكون حجم الماء المتسرب من الحاوية ضئيلًا؛ لذا يكون الانخفاض في ارتفاع عمود الماء بسبب تسرب المياه مهملًا. من أي الفتحات سيقطع الماء مسافة أفقية أبعد عن الحاوية؟
نلاحظ هنا حاوية يتسرب منها الماء، بها أربع فتحات جانبية 𝐴، و𝐵، و𝐶، و𝐷. يتسرب الماء من خلال الفتحات الأربع، ويقطع الماء المتسرب منها مسافات أفقية مختلفة قبل أن يصل إلى الأرض. ونريد أن نعرف من أي هذه الفتحات الأربع سيقطع الماء مسافة أفقية أبعد. يمكننا أن نطلق على المسافة الأفقية التي يقطعها كل تيار ماء متسرب مدى التيار. إذا فكرنا في السبب الذي يجعل الماء يتسرب من هذه الحاوية، فسنفهم أن الأمر يتعلق بضغط المياه في عمود الماء. على سبيل المثال، إذا نظرنا إلى الماء الذي يتسرب من الفتحة 𝐷، فإن كل هذا المائع الموجود هنا ينشئ ضغطًا يجبر الماء على الخروج عبر هذه الفتحة.
بإفراغ بعض المساحة على الشاشة لإيجاد الحل، يمكننا تذكر أن الضغط الناتج عن مائع كثافته 𝜌 يساوي تلك الكثافة مضروبة في عجلة الجاذبية الأرضية 𝑔 في عمق المائع 𝑑. إذا افترضنا أن الارتفاع الكلي لعمود الماء هو الحرف الكبير 𝐻، وأنه لا يتغير حتى مع تسرب الماء ببطء من خلال هذه الفتحات الصغيرة، وإذا افترضنا كذلك أن المسافة من مستوى سطح الأرض إلى فتحة معينة في الحاوية هي الحرف الصغير ℎ، ففي هذه الحالة، العمق 𝑑 لفتحة معينة يساوي الحرف الكبير 𝐻 ناقص الحرف الصغير ℎ.
إذن، ينص تطبيق مبدأ باسكال على هذه المسألة على أن الضغط الذي يجبر الماء على الخروج عبر أي فتحة معينة في الحاوية يساوي كثافة الماء 𝜌 مضروبة في عجلة الجاذبية الأرضية 𝑔 مضروبة في عمق هذه الفتحة الذي يساوي الحرف الكبير 𝐻 ناقص الحرف الصغير ℎ. يمكننا تكوين فكرة عن تأثير هذا الضغط من خلال النظر عن قرب إلى إحدى الفتحات الموجودة في جدار الحاوية. هذا هو جدار الحاوية، وهذه هي الفتحة الصغيرة الموجودة في هذا الجدار التي تسمح بتسرب الماء.
حتى هذه المرحلة، يمكننا افتراض أن الماء على يسار هذا الخط ساكن لا يتحرك. لكن بسبب هذا الضغط 𝑃 الناتج عن كل المائع الموجود أعلى هذه الفتحة في عمود الماء، لا ينتج ضغط مؤثر لأسفل عند هذا الارتفاع فحسب، بل ينشأ في الواقع ضغط متساو في جميع الاتجاهات. وإذا لم يكن الأمر كذلك، أي إذا كان الضغط، على سبيل المثال، أكبر في اتجاه واحد منه في اتجاه آخر، فهذا سيجعل المائع يتحرك عند هذه النقطة. لكننا نفترض أن هذا المائع ساكن.
لكن عندما يؤثر هذا الضغط على جزيء الماء الموجود هنا، فإن هذا الجزيء لا يظل ساكنًا. وبدلًا من ذلك، فإنه يتسارع إلى اليمين عبر جدار الحاوية. سنفترض أنه عندما يصل جزيء الماء هذا إلى الجدار الخارجي للحاوية، تتوقف عجلته الأفقية ويدخل في مرحلة السقوط الحر. وهذا ما ينتج عنه إذن تيار الماء الذي نراه يتدفق من جانب الحاوية.
الآن، كلما زاد الضغط 𝑃، أي كلما زاد عمق فتحة معينة، زادت قوة الدفع على جزيء الماء ليتسارع. من هذا المنظور، يمكننا القول إنه كلما انخفض ارتفاع الفتحة الموجودة في جدار الحاوية، زادت سرعة خروج ذلك الماء من الحاوية. فعلى سبيل المثال، الماء المتسرب من الفتحة 𝐴، تكون سرعة خروجه قليلة نسبيًّا، نظرًا لأنه ليس هناك كمية كبيرة من الماء تؤثر بضغط يدفع الماء للخروج من خلال هذه الفتحة، بينما تكون سرعة خروج الماء المتسرب من الفتحة 𝐷 كبيرة نسبيًّا، نظرًا لأن هناك ضغطًا كبيرًا يدفع الماء للخروج من خلالها.
لكن هذا لا يعني بالضرورة أن الماء المتسرب من الفتحة 𝐷 سيقطع مسافة أفقية أبعد، أو بمعنى آخر أن له مدى أكبر مقارنة مع الماء المتسرب من أي من الفتحات الأخرى. فعلى الرغم من أن الماء المتسرب من الفتحة 𝐷 سيقطع مسافة أفقية أسرع من الماء المتسرب من أي من الفتحات الأخرى، فسيكون أمامه أيضًا وقت أقل ليتحرك أفقيًّا قبل أن يصل إلى مستوى سطح الأرض. هذا يعني أن الزمن المستغرق لسقوطه على الأرض سيكون أقل من الزمن الذي يستغرقه سقوط الماء المتسرب من الفتحات 𝐶، أو 𝐵، أو 𝐴.
هذه إذن هي الصيغة التي يمكننا كتابتها. مدى تيار الماء المتسرب من فتحة معينة يساوي سرعة خروج هذا الماء، ونسميها 𝑣h لأنها سرعة متجهة أفقية، مضروبة في الزمن الذي يستغرقه الماء المتسرب من هذه الفتحة ليسقط على الأرض. لاحظ أن هذه المعادلة هي تطبيق للعلاقة التي تنص على أن السرعة المتوسطة 𝑣 لجسم ما تساوي المسافة التي يقطعها هذا الجسم مقسومة على الزمن المستغرق لقطع هذه المسافة. هنا، تكون السرعة المتجهة الأفقية لتيار الماء المتسرب ثابتة خلال هبوطه. ومن ثم، إذا ضربنا هذه السرعة المتجهة في الزمن الذي يستغرقه الماء ليسقط من هذه الفتحة على الأرض، فإن حاصل الضرب يساوي مدى تيار الماء، أي المسافة الأفقية المقطوعة.
حتى الآن، رأينا أنه كلما زاد عمق الفتحة الموجودة في جدار الحاوية، زادت السرعة المتجهة الأفقية لخروج الماء من تلك الفتحة. ومن ناحية أخرى، فإن الماء المتسرب من هذه الفتحة السفلية الأبعد نسبيًّا سيكون أمامه وقت أقل للسقوط قبل أن يصل إلى سطح الأرض. الماء المتسرب من الفتحة ذو المدى الأكبر سيعطينا أكبر ناتج بناء على الدالة ذات المتغيرين العكسيين.
لننظر عن كثب إلى 𝑣h و𝑡 السقوط، بدءًا من السرعة المتجهة الأفقية لخروج الماء. قلنا إنه بالنسبة إلى جزيء الماء الذي يكون في حالة سكون ويتسارع إلى الحركة، فإن حركة هذا الجزيء ترجع إلى الضغط الناتج عن المائع المحيط به. إلى جانب معرفة أن هذا الضغط يساوي كثافة الماء في عجلة الجاذبية الأرضية في الكمية التي تساوي الحرف الكبير 𝐻 ناقص الحرف الصغير ℎ، يمكننا أن نتذكر من مبدأ باسكال أن الضغط بشكل عام يساوي القوة مقسومة على المساحة. أو بإعادة ترتيب ذلك قليلًا، نقول إن القوة تساوي الضغط في المساحة.
في هذه المسألة، تكون هذه المساحة هي مساحة مقطع عمود المائع. إذا أطلقنا على هذه المساحة الحرف الكبير 𝐴 وعرفنا أنها ثابتة على امتداد ارتفاع الحاوية، يمكننا القول إن القوة 𝐹 المؤثرة على جزيء الماء تساوي الضغط 𝜌 في 𝑔 في الحرف الكبير 𝐻 ناقص الحرف الصغير ℎ الكل مضروب في مساحة مقطع عمود المائع.
في الخطوة التالية، دعونا نتذكر قانون نيوتن الثاني للحركة، والذي ينص على أن القوة المحصلة المؤثرة على الجسم تساوي كتلة هذا الجسم في عجلته. وبقسمة كلا طرفي هذه المعادلة على الكتلة 𝑚، نجد أن العجلة تساوي القوة مقسومة على الكتلة. ومن ثم، فإن عجلة جزيء الماء عندما يبدأ في الحركة تساوي كثافة الماء في عجلة الجاذبية الأرضية مضروبة في الحرف الكبير 𝐻 ناقص الحرف الصغير ℎ الكل في مساحة المقطع 𝐴 مقسومًا على كتلة جزيء الماء 𝑚.
هناك أمر مهم يجب ملاحظته بشأن هذه العجلة. عند ارتفاع معين في الحاوية، أي لأي قيمة معطاة للحرف الصغير ℎ، تكون هذه العجلة 𝑎 ثابتة. هذا يعني أنه عند تسارع الجزيئات عبر هذه الفتحة الموجودة في جدار الحاوية، يمكن وصف حركتها بما يسمى أحيانًا معادلات الحركة. وتنطبق هذه المعادلات في النهاية على حركة الجزيئات ذات العجلة الثابتة، مثل جزيء الماء هنا.
بشكل عام، توجد أربع معادلات للحركة. لكننا سنتناول هنا إحداها فقط. تنص هذه المعادلة على أنه لأي جسم ذي عجلة ثابتة، مربع سرعته المتجهة النهائية يساوي مربع سرعته المتجهة الابتدائية زائد اثنين في عجلته في إزاحته 𝑠. عندما نطبق هذه المعادلة على هذه المسألة، فإننا نفعل ذلك حتى نتمكن من إيجاد السرعة المتجهة الأفقية لجزيء الماء هنا عندما يغادر جدار الحاوية. ونسمي هذه السرعة المتجهة 𝑣h. إذن نريد هنا إيجاد قيمة 𝑣h تربيع.
عندما يبدأ جزيء الماء في التسارع، فإن سرعته الابتدائية وسرعته المتجهة الابتدائية تساوي صفرًا. وعليه، فإن 𝑣h تربيع يساوي صفر تربيع زائد اثنين في 𝑎 في 𝑠. تعطى عجلة جزيء الماء بواسطة هذا المقدار، بينما الإزاحة 𝑠 هي سمك جدار الحاوية. إذن، 𝑣h تربيع يساوي اثنين في 𝑎 في 𝑠. وعندما نعوض بقيمة العجلة 𝑎، نحصل على المقدار الكلي الذي يعبر عن 𝑣h تربيع. لكن في معادلة المدى التي لدينا، نلاحظ أنه ليس لدينا 𝑣h تربيع، بل 𝑣h فحسب. لذا ما سنفعله هو أخذ الجذر التربيعي لكلا طرفي هذه المعادلة حتى يلغي كل من مربع 𝑣h والجذر التربيعي أحدهما الآخر في الطرف الأيسر.
لدينا الآن مقدار يعبر عن 𝑣h، على الرغم من أنه يبدو معقدًا للغاية. دعونا نتذكر أن معظم القيم في هذا المقدار ثوابت. وكل ما يهمنا حقًّا الانتباه إليه هو القيمة الموجودة بين القوسين، أي الحرف الكبير 𝐻 ناقص الحرف الصغير ℎ، ما دام أن لها تأثيرًا على 𝑣h. بإفراغ بعض المساحة على الشاشة، يمكننا إعادة كتابة 𝑣h لتأكيد هذه الحقيقة. لدينا هنا الجذر التربيعي الأول، والذي يتضمن جميع الكميات التي لا تتغير. وهو مضروب في الجذر التربيعي الثاني، والذي يتضمن الكمية التي يمكن أن تتغير، أي الحرف الصغير ℎ. وبهذا، يصبح المقدار الذي يعبر عن 𝑣h على هذا النحو.
والآن، لنوجد مقدارًا يعبر عن 𝑡 السقوط، وهو الزمن الذي يستغرقه الماء المتسرب من فتحة معينة للسقوط على الأرض. عندما يتسرب الماء من فتحة معينة، تكون عجلته ثابتة. وهي تساوي عجلة الجاذبية الأرضية 𝑔. ومن ثم، يمكننا وصف هذا الماء المتسرب باستخدام معادلة الحركة مرة أخرى. هذه المرة، تنص المعادلة التي نستخدمها على أن إزاحة الجسم تساوي السرعة المتجهة الابتدائية للجسم في الزمن المستغرق زائد نصف عجلة هذا الجسم 𝑎 في مربع الزمن المستغرق. في هذا التطبيق للمعادلة، تكون هذه الإزاحة هي الإزاحة الرأسية للماء عند سقوطه على الأرض. بعبارة أخرى، هي ارتفاع الفتحة الموجودة في جدار الحاوية، أي الحرف الصغير ℎ.
كما رأينا، عندما يتسرب الماء من الفتحة لأول مرة، تكون له سرعة متجهة أفقية فقط ولا تكون له سرعة متجهة رأسية. إذن 𝑣i، أي السرعة المتجهة التي تكون في الاتجاه الرأسي للماء في الحالة لدينا، تساوي صفرًا. لكن هذا لا يستمر لفترة طويلة بسبب العجلة التي تسببها الجاذبية الأرضية 𝑔. في هذا التطبيق للمعادلة، الزمن المستغرق 𝑡 يساوي 𝑡 السقوط، وهو الزمن الذي يستغرقه الماء المتسرب من الفتحة ليسقط على الأرض. إذن، هكذا نكتب المعادلة الحركية في هذه الحالة. ℎ يساوي نصف 𝑔 في 𝑡 السقوط تربيع. إذا ضربنا كلا طرفي هذه المعادلة في اثنين على 𝑔، فإن اثنين مضروبًا في نصف في الطرف الأيمن يساوي واحدًا، و𝑔 مقسومًا على 𝑔 يساوي واحدًا. إذن، 𝑡 السقوط تربيع يساوي اثنين في ℎ مقسومًا على 𝑔. إذا أخذنا الجذر التربيعي لكلا الطرفين، فسيلغي كل من مربع 𝑡 السقوط والجذر التربيعي أحدهما الآخر. الآن، أصبح لدينا مقدار مبسط يعبر عن 𝑡.
الآن بعد أن حصلنا على مقدارين يعبران عن كل من 𝑡 السقوط و𝑣h، دعونا نر كيف يمكن دمجهما معًا للحصول على المدى الكلي 𝑅. بالنظر إلى حاصل ضرب هذين المقدارين، نلاحظ أن لدينا الجذر التربيعي لـ 𝑔 والجذر التربيعي لواحد على 𝑔. إذن، حاصل ضربهما يساوي واحدًا. كما نلاحظ أيضًا أن لدينا الجذر التربيعي لاثنين في الجذر التربيعي لاثنين. هذا يعني أنه يمكننا أخذ اثنين عاملًا مشتركًا من داخل علامة الجذر التربيعي. ولمعرفة كيفية الوصول لأقصى مدى، علينا التركيز هنا على حاصل ضرب هذين الجذرين التربيعيين. في الواقع، يمكننا إعادة كتابتهما تحت جذر تربيعي واحد حتى تكون كل هذه الثوابت مضروبة في الجذر التربيعي للكمية التي تساوي الحرف الكبير 𝐻 ناقص الحرف الصغير ℎ في الحرف الصغير ℎ.
لنتذكر أن الحرف الصغير ℎ هو ارتفاع فتحة معينة عن مستوى سطح الأرض. عند تحديد أي من الفتحات الأربع يتسرب منها الماء بمسافة أفقية أكبر، فإننا نغير بالأساس الحرف الصغير ℎ ونرى قيمة الحرف الصغير ℎ التي يصل عندها هذا المقدار لقيمته العظمى. لكي نفهم كيف يحدث ذلك، دعونا نفترض أننا نعوض بقيمتين مختلفتين عن الحرف الصغير ℎ. لنفترض أن الحرف الصغير ℎ يساوي صفرًا. هذا يعني أن لدينا فتحة في قاعدة عمود الماء. في هذه الحالة، هذه القيمة هنا تساوي صفرًا. وعليه، فإن القيمة بداخل الجذر التربيعي تساوي صفرًا، ومن ثم فإن المدى الكلي يساوي صفرًا أيضًا. وبما أن مدى الماء المتسرب من هذه الفتحة يساوي صفرًا، فلا يمكن أن تكون هذه هي أقصى مسافة أفقية.
الآن، لنجرب أقصى ارتفاع. لنفترض أن الفتحة موجودة أعلى عمود الماء. بعبارة أخرى، الحرف الصغير ℎ يساوي الحرف الكبير 𝐻. إذا كان الأمر كذلك، فإن الحرف الصغير ℎ هذا سيساوي الحرف الكبير 𝐻. ومن ثم، نحصل على الحرف الكبير 𝐻 ناقص الحرف الكبير 𝐻، أو صفر. إذن، إذا كان الحرف الصغير ℎ هو قيمة الحرف الكبير 𝐻 العظمى هذه، فإن المدى سيساوي صفرًا مرة أخرى. هذا لأنه لن يكون هناك ضغط لدفع الماء أفقيًّا خارج الفتحة الموجودة في جدار الحاوية. قيمة الحرف الصغير ℎ التي تزيد من قيمة هذا المقدار للحد الأقصى ستكون في موضع ما بين صفر والحرف الكبير 𝐻. وفي الحقيقة، إذا افترضنا أن الحرف الصغير ℎ يساوي نصف الحرف الكبير 𝐻 بالضبط، فسينتج عن ذلك الحصول على قيمة عظمى لهذا المقدار أسفل علامة الجذر التربيعي. وتحديدًا، هذا المقدار يساوي الحرف الكبير 𝐻 ناقص الحرف الكبير 𝐻 مقسومًا على اثنين الكل مضروب في الحرف الكبير 𝐻 على اثنين. وحاصل الضرب هذا يساوي الحرف الكبير 𝐻 تربيع على أربعة.
في هذا السؤال، لا نحتاج إلى إيجاد القيمة العظمى للمدى 𝑅. بل نريد فقط تحديد أي من الفتحات الأربع سيتسرب منها الماء الذي له مدى أكبر. بناء على تحليلنا، فإن الفتحة ذات الارتفاع الأقرب إلى الحرف الكبير 𝐻 على اثنين، أي نصف الارتفاع الكلي لعمود الماء، سيتسرب منها الماء الذي له مدى أفقي أكبر. بالنظر إلى الفتحات الأربع الموجودة في الحاوية، نلاحظ أن الفتحة 𝐷 قريبة جدًّا، إن لم تكن موجودة عند نقطة منتصف عمود الماء هذا. ومن ثم، نقول إن الماء المتسرب عبر هذه الفتحة له المدى الأكبر. من بين الفتحات 𝐴، و𝐵، و𝐶، و𝐷 التي يتسرب منها الماء، فإن الماء الذي يتسرب عبر الفتحة 𝐷 سيقطع أكبر مسافة أفقية قبل أن يصل إلى سطح الأرض.
