نسخة الفيديو النصية
إذا كان ﺹ يساوي ﺱ مرفوعًا للقوة ﺱ مرفوعًا للقوة ﺱ، فأوجد ﺩﺹ على ﺩﺱ.
لدينا الدالة ﺹ، ومطلوب منا إيجاد مشتقتها بالنسبة إلى ﺱ. اللافت للنظر في هذه الدالة هو أن المتغير ﺱ مرفوع للقوة ﺱ الذي هو نفسه متغير مرفوع مرة أخرى للقوة ﺱ. من الصعب قليلًا تحديد أي طريقة من طرق الاشتقاق المعروفة يمكننا تطبيقها على هذه الدالة. فهذه ليست دالة قوة، ﺱ أس ﻙ؛ حيث ﻙ عدد ثابت، وليست دالة أسية على الصورة ﺏ أس ﺱ؛ حيث ﺏ عدد ثابت. إذن، كيف يمكننا اشتقاق الدالة ﺹ؟
سنستخدم طريقة تسمى الاشتقاق اللوغاريتمي. وهي عملية تتضمن أربع خطوات؛ تتمثل الخطوة الأولى في حساب اللوغاريتم الطبيعي لكلا الطرفين؛ حيث يكون اللوغاريتم الطبيعي لـ ﺹ هو اللوغاريتم الطبيعي لـ ﺩﺱ، علمًا بأن اللوغاريتم الطبيعي هو لوغاريتم للأساس ﻫ؛ حيث ﻫ عدد أويلر، ويساوي بالتقريب ٢٫٧١٨٢٨ وهكذا مع توالي الأرقام. وعند حساب اللوغاريتم الطبيعي، علينا أن نحدد أن ﺹ أكبر من صفر؛ لأن اللوغاريتم الطبيعي لصفر غير معرف، ولا يمكن حساب اللوغاريتم لقيم سالبة.
من ثم، في الدالة ﺹ، لدينا ﺹ يساوي ﺱ مرفوعًا للقوة ﺱ مرفوعًا للقوة ﺱ. وبحساب اللوغاريتم الطبيعي، يصبح اللوغاريتم الطبيعي لـ ﺹ في الطرف الأيمن، واللوغاريتم الطبيعي لـ ﺱ مرفوعًا للقوة ﺱ مرفوعًا للقوة ﺱ في الطرف الأيسر. لكن كيف يساعدنا ذلك رغم أن الأمر قد أصبح أكثر تعقيدًا على ما يبدو؟ حسنًا، هذا يقودنا إلى الخطوة الثانية في الاشتقاق اللوغاريتمي. وتتمثل في استخدام قوانين اللوغاريتمات للتفكيك أو التبسيط. في المسألة هنا، يتضمن اللوغاريتم أسسًا بداخله. ويمكننا تفكيك ذلك باستخدام قاعدة القوة للوغاريتمات. تنص هذه القاعدة على أن لوغاريتم ﺏ مرفوعًا للقوة ﺟ للأساس ﺃ يساوي ﺟ في لوغاريتم ﺏ للأساس ﺃ، ما يعني أننا نضع الأس ﺟ أمام اللوغاريتم، ونحصل على حاصل الضرب.
بتطبيق ذلك على الطرف الأيسر، يصبح لدينا ﺱ مرفوعًا للقوة ﺱ في اللوغاريتم الطبيعي لـ ﺱ. حسنًا، لدينا الآن حاصل ضرب في الطرف الأيسر، لكن لاحظ أن أحد العاملين ما زال ﺱ مرفوعًا للقوة ﺱ، وعلينا كتابة ذلك على صورة يمكننا اشتقاقها. لذا دعونا نجرب تطبيق الخطوتين الأولى والثانية للاشتقاق اللوغاريتمي مرة أخرى؛ لنرى إذا ما كان بإمكاننا تبسيط ذلك أكثر. بحساب اللوغاريتم الطبيعي لكلا الطرفين مرة أخرى، نجد أن اللوغاريتم الطبيعي للوغاريتم الطبيعي لـ ﺹ يساوي اللوغاريتم الطبيعي لـ ﺱ مرفوعًا للقوة ﺱ في اللوغاريتم الطبيعي لـ ﺱ.
والآن، أصبح لدينا في الطرف الأيسر اللوغاريتم الطبيعي لحاصل ضرب. لذا، يمكننا تطبيق قاعدة الضرب للوغاريتمات، وهي: لوغاريتم ﺏ في ﺟ للأساس ﺃ يساوي لوغاريتم ﺏ للأساس ﺃ زائد لوغاريتم ﺟ للأساس ﺃ. وبجعل ﺏ يساوي ﺱ أس ﺱ، وﺟ يساوي اللوغاريتم الطبيعي لـ ﺱ، يصبح لدينا اللوغاريتم الطبيعي لـ ﺱ مرفوعًا للقوة ﺱ زائد اللوغاريتم الطبيعي للوغاريتم الطبيعي لـ ﺱ. ومرة أخرى، نلاحظ أن اللوغاريتم الطبيعي في الحد الأول بالطرف الأيسر يتضمن أسًّا بداخله، ومن ثم يمكننا استخدام قاعدة القوة للوغاريتمات مرة أخرى. هذا يعني أنه يمكننا وضع الأس ﺱ أمام اللوغاريتم الطبيعي ونضرب فيه.
وبذلك، أصبح لدينا الآن في الطرف الأيسر مجموعة من الدوال التي نعرف كيفية اشتقاقها. وهذا يقودنا إلى الخطوة الثالثة من الاشتقاق اللوغاريتمي، وهي اشتقاق كلا الطرفين بالنسبة إلى ﺱ. دعونا نفرغ بعض المساحة، لدينا ﺩ على ﺩﺱ للوغاريتم الطبيعي للوغاريتم الطبيعي لـ ﺹ يساوي ﺩ على ﺩﺱ للطرف الأيسر. وهو ﺱ في اللوغاريتم الطبيعي لـ ﺱ زائد اللوغاريتم الطبيعي للوغاريتم الطبيعي لـ ﺱ. يمكننا تقسيم الطرف الأيسر؛ لأننا نعلم أن مشتقة مجموع عدة دوال تساوي مجموع المشتقات. سنبدأ باشتقاق الحد الثاني؛ حيث يمكننا بعد ذلك تطبيق الطريقة نفسها على الطرف الأيمن.
لاشتقاق هذا الحد، يمكننا تطبيق النتيجة المعروفة، وهي ﺩ على ﺩﺱ للوغاريتم الطبيعي لـ ﻉ يساوي واحدًا على ﻉ في ﺩﻉ على ﺩﺱ؛ حيث ﻉ دالة في ﺱ قابلة للاشتقاق. وهذا ينطبق على قيم ﻉ الأكبر من صفر. وبالنسبة إلى الحد الثاني، لدينا ﻉ يساوي اللوغاريتم الطبيعي لـ ﺱ، ونعلم أن ﺩﻉ على ﺩﺱ يساوي واحدًا على ﺱ. وبناء على النتيجة هذه، لدينا ﺩ على ﺩﺱ للوغاريتم الطبيعي لـ ﻉ يساوي واحدًا على اللوغاريتم الطبيعي لـ ﺱ في واحد على ﺱ. وهذا يساوي واحدًا على ﺱ في اللوغاريتم الطبيعي لـ ﺱ. يمكننا الآن تطبيق العملية نفسها على الطرف الأيمن؛ حيث ﻉ هذه المرة يساوي اللوغاريتم الطبيعي لـ ﺹ.
تذكر أننا نعلم من النتيجة التي لدينا أننا سنحصل على واحد على ﻉ في ﺩﻉ على ﺩﺱ، ما يساوي واحدًا على اللوغاريتم الطبيعي لـ ﺹ في مشتقتها بالنسبة إلى ﺱ. لكن تذكر أن ﺹ هي في الواقع دالة في ﺱ. ومن ثم، وفقًا للنتيجة التي لدينا، فإن مشتقتها ستساوي واحدًا على ﺹ في ﺩﺹ على ﺩﺱ، إذن، المشتقة في الطرف الأيمن تساوي واحدًا على اللوغاريتم الطبيعي لـ ﺹ في واحد على ﺹ في ﺩﺹ على ﺩﺱ. سنفرغ بعض المساحة، وهكذا سنحصل على واحد على ﺹ في اللوغاريتم الطبيعي لـ ﺹ في ﺩﺹ على ﺩﺱ في الطرف الأيمن. والآن، يتبقى لدينا الحد الأول في الطرف الأيسر. لدينا مشتقة حاصل ضرب بالنسبة إلى ﺱ. وهو ﺱ في اللوغاريتم الطبيعي لـ ﺱ.
ومن ثم، يمكننا استخدام قاعدة الضرب للاشتقاق. وتنص القاعدة على أنه إذا كانت ﻉ، ﻕ دالتين في المتغير ﺱ قابلتين للاشتقاق، فإن ﺩ على ﺩﺱ لـ ﻉﻕ. أي حاصل ضربهما، يساوي ﻉ في ﺩﻕ على ﺩﺱ زائد ﻕ في ﺩﻉ على ﺩﺱ. إذن، في هذه الحالة، إذا كان ﻉ يساوي ﺱ، ﻕ هو اللوغاريتم الطبيعي لـ ﺱ، فإن ﺩﻉ على ﺩﺱ يساوي واحدًا، ﺩﻕ على ﺩﺱ يساوي واحدًا على ﺱ. وباستخدام قاعدة الضرب، يكون لدينا ﻉ، ما يساوي ﺱ، في واحد على ﺱ، ما يساوي ﺩﻕ على ﺩﺱ، زائد اللوغاريتم الطبيعي لـ ﺱ، ما يساوي ﻕ، في واحد، ما يساوي ﺩﻉ على ﺩﺱ. وباختزال ﺱ، نحصل على واحد زائد اللوغاريتم الطبيعي لـ ﺱ.
سنفرغ بعض المساحة مرة أخرى، وهكذا نكون قد انتهينا من عملية الاشتقاق. وهذا يقودنا إلى الخطوة الرابعة والأخيرة في الاشتقاق اللوغاريتمي، وهي إيجاد ﺩﺹ على ﺩﺱ. بإعادة ترتيب الطرف الأيسر وضرب كلا الطرفين في ﺹ في اللوغاريتم الطبيعي لـ ﺹ، يحذف هذان من الطرف الأيمن، ويتبقى لدينا ﺩﺹ على ﺩﺱ في الطرف الأيمن. وبهذا، نجد أن مشتقة ﺹ بالنسبة إلى ﺱ؛ حيث ﺹ يساوي ﺱ مرفوعًا للقوة ﺱ مرفوعًا للقوة ﺱ، تساوي ﺹ في اللوغاريتم الطبيعي لـ ﺹ الكل مضروب في اللوغاريتم الطبيعي لـ ﺱ زائد واحد على ﺱ في اللوغاريتم الطبيعي لـ ﺱ زائد واحد.
