نسخة الفيديو النصية
صدفة نصف كروية منتظمة كتلتها ٢١ كيلوجرامًا تقع على مستوى أفقي أملس. وضع جسم كتلته ١٤ كيلوجرامًا على حافة تلك الصدفة، فنتج عن ذلك ميلها؛ بحيث كان مستوى تلك الحافة يميل بزاوية قياسها 𝛼 على الأفقي عندما كان النظام في حالة اتزان. أوجد قيمة ظا 𝛼.
دعونا نبدأ برسم مخطط جسم حر. هذه هي الصدفة نصف الكروية المنتظمة. سنجعل نصف قطرها يساوي نق وحدة. يقع جسم كتلته ١٤ كيلوجرامًا على حافة هذه الصدفة، فنتج عن ذلك ميلها. نعرف أن قوة وزن هذا الجسم المؤثرة لأسفل تساوي الكتلة في عجلة الجاذبية الأرضية، أي مقدارها ١٤ﺩ. ونعرف أيضًا أن مستوى الحافة يميل بزاوية قياسها 𝛼 على الأفقي.
لكن ماذا نفعل في قوة وزن الصدفة نصف الكروية المنتظمة المؤثرة لأسفل؟ حسنًا، بما أنها منتظمة، فإنه يمكننا ذكر صيغة لمساعدتنا في إيجاد مركز الكتلة. يقع مركز كتلة الصدفة نصف الكروية المنتظمة على محور التماثل على مسافة نق على اثنين من النقطة ﻭ. حسنًا، هذا هو محور التماثل. ومن ثم، القوة المؤثرة لأسفل ومقدارها ٢١ﺩ يجب أن تؤثر هنا.
والآن بعد أن رسمنا المخطط، سنرى ما يعنيه أن يكون النظام في حالة اتزان. أولًا، نعلم أنه لكي يكون الجسم في حالة اتزان، يجب أن يساوي مجموع كل القوى المؤثرة على هذا الجسم صفرًا، ويجب أن يساوي مجموع كل العزوم المؤثرة على الجسم صفرًا، حيث يحسب العزم، وهو التأثير الدوراني لقوة ما، بضرب مقدار تلك القوة في البعد العمودي لخط عمل ذلك العزم عن النقطة التي يحاول الجسم الدوران حولها.
لذا دعونا نتخيل أننا سنحسب العزوم حول ﻭ. لدينا قوة مقدارها ٢١ﺩ، وقوة مقدارها ١٤ﺩ. وعلينا حساب البعد العمودي للنقطة ﻭ عن خط عمل هاتين القوتين. دعونا نبدأ بالقوة التي مقدارها ١٤ﺩ. يمكننا إضافة مثلث قائم الزاوية هنا. الزاويتان المتبادلتان متساويتان في القياس، وبذلك تكون الزاوية المحصورة هي 𝛼. ولنطلق على الضلع الذي نحاول إيجاده، وهو البعد العمودي للنقطة ﻭ عن تلك القوة المؤثرة لأسفل التي مقدارها ١٤ﺩ، اسم ﺱ. بالنسبة إلى الزاوية المحصورة، فإننا نريد إيجاد طول الضلع المجاور. ولقد عرفنا بالفعل أن طول الوتر يساوي نق.
لذا، دعونا نربط ذلك باستخدام نسبة جيب التمام حيث إن جتا 𝛼 يساوي ﺱ على نق. سنوجد تعبيرًا عن ﺱ بضرب كلا الطرفين في نق. وبذلك، سنجد أن ﺱ يساوي نق جتا 𝛼. نضيف ذلك إلى المخطط. لنفكر الآن في القوة التي مقدارها ٢١ﺩ. ها هو المثلث. والزاوية المحصورة الموجودة هنا في الأسفل هي 𝛼. يمكننا إقناع أنفسنا بأن هذا صحيح؛ لأننا نعلم أن حافة نصف الكرة وخط عمل مركز الكتلة إلى ﻭ يجب أن يلتقيا صانعين زاوية قياسها ٩٠ درجة.
مجموع قياسات الزوايا الواقعة على خط مستقيم يساوي ١٨٠. إذن، قياس هذه الزاوية الواقعة هنا يساوي ٩٠ ناقص 𝛼. ثم إذا طرحنا ٩٠ ناقص 𝛼 و٩٠ من ١٨٠ درجة، وهو مجموع قياسات الزوايا الداخلية للمثلث، فإننا نحصل على قياس الزاوية المحصورة 𝛼. هذه المرة، ما يعنينا هو الضلع المقابل والوتر في هذا المثلث. ومن ثم، سنستخدم نسبة الجيب. هذه المرة، جا 𝛼 يساوي ﺹ على نق على اثنين. ويمكننا إيجاد قيمة ﺹ بالضرب في نق على اثنين. إذن، ﺹ يساوي نق على اثنين جا 𝛼. دعونا نضف هذا إلى المخطط. وبذلك نكون جاهزين لحساب قيم العزوم.
حسنًا، عندما نحسب قيم العزوم حول نقطة، فعلينا تحديد الاتجاه الموجب. لنفترض أن عكس اتجاه دوران عقارب الساعة هنا هو الاتجاه الموجب. بالتفكير في القوة التي مقدارها ٢١ﺩ، نضرب القوة في البعد العمودي. وهذا يساوي ٢١ﺩ في نق على اثنين جا 𝛼. تحاول هذه القوة تدوير الجسم في عكس اتجاه دوران عقارب الساعة. وبالتالي، سيكون عزمها موجبًا. القوة الأخرى، وهي القوة التي مقدارها ١٤ﺩ، تحاول تدوير الجسم في اتجاه دوران عقارب الساعة. إذن، سيكون عزمها سالبًا.
القوة في البعد العمودي يساوي ١٤ﺩ في نق جتا 𝛼. ونحن نعرف أن الجسم في حالة اتزان. إذن، دعونا نجعل هذا يساوي صفرًا. تذكر أننا نحاول إيجاد قيمة ظا 𝛼. ولدينا متغيران في الوقت الحالي. لدينا نق و𝛼. بالطبع، نق هو نصف قطر نصف الكرة. ومن ثم، لا يمكن أن يساوي صفرًا. هذا يعني أنه يمكننا قسمة المعادلة بأكملها على نق. وبالمثل، ﺩ هي عجلة الجاذبية الأرضية. إنها تساوي ٩٫٨ تقريبًا. ومن ثم، يمكننا قسمة كلا الطرفين على ﺩ.
بينما نحن هنا، قد نلاحظ أيضًا أنه يمكننا قسمة كلا الطرفين على سبعة. ٢١ مقسومًا على سبعة يساوي ثلاثة، و١٤ مقسومًا على سبعة يساوي اثنين. وبذلك، تصبح المعادلة ثلاثة على اثنين جا 𝛼 ناقص اثنين جتا 𝛼 يساوي صفرًا. وهكذا نحصل على معادلة بدلالة 𝛼 فقط. لكن كيف نربط جا 𝛼 وجتا 𝛼 بـ ظا 𝛼؟ حسنًا، نحن نعرف أن المتطابقة المثلثية ظا 𝛼 تساوي جا 𝛼 على جتا 𝛼. لذا، علينا إعادة كتابة المعادلة. سنفعل ذلك بإضافة جتا 𝛼 إلى الطرفين.
ومن ثم، نحصل على ثلاثة على اثنين جا 𝛼 يساوي اثنين جتا 𝛼. والآن، إذا قسمنا على جتا 𝛼، فسيصبح لدينا في الطرف الأيمن جا 𝛼 على جتا 𝛼. إذن، ثلاثة على اثنين جا 𝛼 على جتا 𝛼 يساوي اثنين. وهكذا، نعوض عن جا 𝛼 على جتا 𝛼 بـ ظا 𝛼.
لقد انتهينا تقريبًا. لإيجاد قيمة ظا 𝛼، علينا فقط قسمة كلا الطرفين على ثلاثة على اثنين. إذن ظا 𝛼 يساوي اثنين مقسومًا على ثلاثة على اثنين، وهو ما يساوي اثنين في اثنين على ثلاثة، وهو ما يساوي أربعة أثلاث. ومن ثم، يمكننا القول إن قيمة ظا 𝛼 تحت هذه الظروف تساوي أربعة أثلاث.