نسخة الفيديو النصية
أوجد مجموعة حل المعادلة ﺱ تربيع زائد ١٢ﺱ يساوي صفرًا في مجموعة الأعداد الحقيقية.
مجموعة الحل تعني أننا نبحث عن مجموعة كل قيم المتغير، وهو في هذه الحالة ﺱ، التي تحقق المعادلة ﺱ تربيع زائد ١٢ﺱ يساوي صفرًا. وفي هذه الحالة، ما يهمنا هو مجموعة القيم التي تنتمي إلى الأعداد الحقيقية فقط. المعادلة المعطاة لنا معادلة تربيعية؛ لأن أعلى قوة للمتغير ﺱ هي اثنان. وفي الواقع، هي معادلة تربيعية بسيطة نسبيًّا؛ لأنه لا يوجد حد ثابت بها. وسنحاول حل هذه المعادلة التربيعية بالتحليل. بالنظر إلى الحدين، يمكننا أن نلاحظ وجود عامل مشترك بينهما، وهو ﺱ.
يمكننا إذن تحليل المعادلة بأخذ ﺱ عاملًا مشتركًا. أما بين القوسين، علينا إيجاد تعبير عند ضربه في ﺱ يعطينا الحدين الأصليين. للحصول على ﺱ تربيع، علينا ضرب ﺱ في ﺱ، وللحصول على موجب ١٢ﺱ، علينا ضرب ﺱ في موجب ١٢. وبذلك، يصبح لدينا المعادلة التربيعية في صورتها التحليلية: ﺱ مضروبًا في ﺱ زائد ١٢ يساوي صفرًا. ويمكننا التأكد من أنها صورة مكافئة فعلًا بإعادة توزيع القوس إن أردنا.
الخطوة الأساسية لحل هذه المعادلة التربيعية، بعد إيجاد صورتها التحليلية، هي أن نتذكر أنه إذا كان لدينا عاملان حاصل ضربهما يساوي صفرًا، فإن هذا لا يتحقق إلا إذا كان أحدهما على الأقل يساوي صفرًا. فإما ﺱ يساوي صفرًا وإما ﺱ زائد ١٢ يساوي صفرًا. وهذا يعطينا معادلتين خطيتين يمكننا حلهما. المعادلة الأولى ﺱ يساوي صفرًا لا تحتاج إلى حل، والمعادلة الثانية ﺱ زائد ١٢ يساوي صفرًا يمكن حلها ببساطة بطرح ١٢ من الطرفين للحصول على ﺱ يساوي سالب ١٢. ومن ثم، توجد قيمتان في مجموعة حل هذه المعادلة التربيعية، وهما صفر وسالب ١٢.
يمكننا، بالطبع، التحقق من هاتين القيمتين بالتعويض بهما في المعادلة الأصلية إن أردنا. على سبيل المثال، عند ﺱ يساوي سالب ١٢، فإن التعبير في الطرف الأيمن، وهو ﺱ تربيع زائد ١٢ﺱ، يصبح سالب ١٢ تربيع زائد ١٢ مضروبًا في سالب ١٢. وهو ما يساوي ١٤٤ زائد سالب ١٤٤ أو ١٤٤ ناقص ١٤٤، وهو ما يساوي بالفعل صفرًا، أي القيمة الموجودة في الطرف الأيسر من المعادلة، مما يؤكد أن سالب ١٢ بالفعل قيمة صحيحة لـ ﺱ.
من المهم للغاية أيضًا في هذه المرحلة أن نتذكر تحليل المعادلة بأخذ ﺱ عاملًا مشتركًا، وألا نقسم المعادلة على ﺱ. لأنه إذا قسمنا على ﺱ، فسيتبقى لدينا ﺱ زائد ١٢ يساوي صفرًا، وهو ما يعطينا حلًّا واحدًا فقط، أي ﺱ يساوي سالب ١٢. ولكن إذا تذكرنا أن نحلل المعادلة بأخذ ﺱ عاملًا مشتركًا، فسيكون لدينا حل صحيح آخر وهو ﺱ يساوي صفرًا.
إذن باستخدام طريقة التحليل، وجدنا أن مجموعة حل المعادلة التربيعية المعطاة هي مجموعة القيمتين صفر، سالب ١٢.
