فيديو السؤال: إيجاد عدد تجميعات الدخل الممكنة لدائرة منطقية الفيزياء • الصف الثالث الثانوي

نسخة الفيديو النصية

يوضح الشكل دائرة منطقية تتكون من ثلاث بوابات توافق. ما عدد التجميعات المختلفة الممكنة لقيم الدخل لهذه الدائرة؟

حسنًا، لدينا شكل يوضح دائرة منطقية تحتوي على ثلاث بوابات توافق. تحتوي هذه الدائرة على أربعة دخول تسمى ‪A‬‏ و‪B‬‏ و‪C‬‏ و‪D‬‏. يمكننا ملاحظة أن الدخلين ‪A‬‏ و‪B‬‏ هما دخلا بوابة التوافق العلوية هذه، بينما الدخلان ‪C‬‏ و‪D‬‏ هما دخلا بوابة التوافق السفلية هنا. ويصبح خرجا بوابتي التوافق هاتين دخلي بوابة التوافق الثالثة الموجودة على الطرف الأيمن من الدائرة. ويصبح خرج بوابة التوافق الثالثة هذه الخرج الكلي للدائرة المنطقية. يتضح من هذا السؤال أن قيمة الخرج هذه لا تعنينا على الإطلاق. فيطلب منا السؤال تناول قيم الدخل الأربع هذه فحسب. تحديدًا، علينا إيجاد عدد التجميعات المختلفة الممكنة لقيم الدخل.

لفعل ذلك، علينا تذكر أنه عند الحديث عن الدوائر المنطقية، توجد قيمتان ممكنتان فقط، وهما صفر وواحد. هذا يعني أنه في الدائرة المنطقية التي لدينا، يمكن أن تكون قيمة كل دخل إما صفرًا وإما واحدًا. إذن، يمكن أن تكون قيمة الدخل ‪A‬‏ إما صفرًا وإما واحدًا. هذا يعني أن ثمة احتمالين لقيمة الدخل ‪A‬‏. وبالطريقة نفسها، يمكن للدخل ‪B‬‏ أن يساوي إما صفرًا وإما واحدًا. إذن، ثمة احتمالان لقيمة الدخل ‪B‬‏.

وبالمثل، يمكن أيضًا للدخل ‪C‬‏ أن يساوي أحد هذين الاحتمالين؛ أي صفرًا أو واحدًا. وأخيرًا، ينطبق الأمر نفسه على الدخل ‪D‬‏. فيمكن أيضًا أن يساوي إما صفرًا وإما واحدًا، أي له احتمالان كذلك. يمكننا تلخيص ذلك بقول إن قيمة كل من الدخول ‪A‬‏ و‪B‬‏ و‪C‬‏ و‪D‬‏ يمكن أن تكون إما صفرًا وإما واحدًا، أي يمكن لكل دخل من الدخول الأربعة أن يأخذ إحدى القيمتين الممكنتين.

يطلب منا السؤال إيجاد عدد التجميعات المختلفة الممكنة لقيم الدخل. حسنًا، إحدى الطرق الممكنة لإيجاد ذلك هي استعراض كل التجميعات المختلفة وتجربتها وكتابتها بالتفصيل. يمكننا فعل ذلك، على سبيل المثال، من خلال البدء بالحالة التي تكون فيها قيم الدخول الأربعة، ‪A‬‏ و‪B‬‏ و‪C‬‏ و‪D‬‏، تساوي صفرًا. بالطبع، يمكن أن تساوي كل قيمة من قيم الدخول الأربعة واحدًا أيضًا، علمًا بأن قيمة كل دخل على حدة تكون مستقلة تمامًا عن قيم الدخول الأخرى. إذن سيكون علينا العمل بطريقة منهجية وإيجاد كل التجميعات المختلفة الممكنة للعددين صفر وواحد. يمكننا جعل كل قيم الدخول ‪A‬‏ و‪B‬‏ و‪C‬‏ تساوي صفرًا، بينما قيمة الدخل ‪D‬‏ تساوي واحدًا. وبدلًا من ذلك، يمكننا جعل ‪A‬‏ يساوي صفرًا، و‪B‬‏ يساوي صفرًا، و‪C‬‏ يساوي واحدًا، و‪D‬‏ يساوي صفرًا.

يمكننا المتابعة بهذه الطريقة حتى نكتب كل تجميعة ممكنة. وبعد ذلك، سيكون علينا حساب عدد التجميعات التي توصلنا إليها لنحصل على إجابة السؤال. لكننا لن نفعل ذلك لأن ثمة طريقة أفضل يمكننا اتباعها. لا تتمثل مشكلة كتابة كل تجميعة ممكنة في أن هذا قد يستغرق وقتًا طويلًا فحسب، بل في إمكانية إغفال أحد الاحتمالات عن طريق الخطأ.

إذن لنلق نظرة على هذه الطريقة الأفضل التي لا تسمح بحدوث هذا الخطأ المحتمل. لدينا أربعة دخول مختلفة، يمكن لكل منها أن يأخذ إحدى القيمتين الممكنتين. هذه الدخول الأربعة مستقلة تمامًا بعضها عن بعض، ما يعني أنه في مقابل كل من القيمتين اللتين يمكن للدخل ‪A‬‏ أن يساويهما، صفر أو واحد، يمكن أن يكون الدخل ‪B‬‏ إما صفرًا وإما واحدًا، ويمكن أن يكون الدخل ‪C‬‏ إما صفرًا وإما واحدًا، وكذلك الدخل ‪D‬‏ يمكن أن يكون إما صفرًا وإما واحدًا. لذلك، فإن العدد الإجمالي للتجميعات المختلفة الممكنة يجب أن يساوي احتمالي الدخل ‪A‬‏ مضروبًا في احتمالي الدخل ‪B‬‏ مضروبًا في احتمالي الدخل ‪C‬‏ مضروبًا أخيرًا في احتمالي الدخل ‪D‬‏.

ومن ثم، فإن هذا العدد الإجمالي للتجميعات يساوي اثنين في اثنين في اثنين في اثنين، حيث يوجد معامل واحد من العدد اثنين لكل قيمة من الدخول الأربعة للدائرة المنطقية. يمكننا إعادة كتابة حاصل ضرب المعاملات اثنين هذه على الصورة اثنان أس أربعة. إذا نظرنا إلى هذا المقدار لعدد التجميعات، فيمكننا تحديد العدد اثنين على أنه عدد القيم المختلفة التي يمكن أن يأخذها كل دخل؛ لأن كل دخل يمكن أن يكون إما صفرًا وإما واحدًا. يمكننا أيضًا تحديد أربعة، وهو أس العدد اثنين، على أنه عدد الدخول المختلفة لأن لدينا أربعة دخول، وهي ‪A‬‏ و‪B‬‏ و‪C‬‏ و‪D‬‏.

جدير بالذكر هنا أن هذه النتيجة تعمم، بمعنى أنه إذا كان لدينا دائرة منطقية بها عدد ‪𝑁‬‏ من الدخول، فسيوجد اثنان أس ‪𝑁‬‏ من التجميعات المختلفة من قيم الدخل. هذا لأن كل دخل من عدد ‪𝑁‬‏ من الدخول يمكن أن يأخذ إحدى قيمتي الدخل صفر أو واحد. ومثلما كان لدينا أربعة دخول، وكان لدينا اثنان في اثنين في اثنين في اثنين، أي أربعة معاملات للعدد اثنين، وهو ما أعطانا اثنين أس أربعة؛ فإنه في حالة عدد ‪𝑁‬‏ من الدخول، يكون لدينا عدد ‪𝑁‬‏ من معاملات العدد اثنين، وهو ما يمكننا كتابته على الصورة اثنان أس ‪𝑁‬‏. في حالة الدخول الأربعة التي لدينا، نعلم أن عدد التجميعات يساوي اثنين أس أربعة. بإيجاد هذه القيمة، نحصل على إجابة السؤال بأن عدد التجميعات المختلفة الممكنة لدخول هذه الدائرة يساوي 16.

ثمة تعقيب أخير مهم بشأن الطريقة الأولى التي ذكرناها، وهي تجربة كل التجميعات المختلفة وكتابتها. في هذه الحالة التي لدينا، أي الدائرة التي بها أربعة دخول، وجدنا أن عدد التجميعات التي كان علينا كتابتها يساوي 16. وهو عدد تجميعات قليل نسبيًّا، وكان من السهل التعامل معه. لكن ماذا لو كانت لدينا دائرة بها ثمانية دخول بدلًا من أربعة؟ حسنًا، لقد تعلمنا من المعادلة العامة للدائرة التي بها عدد ‪𝑁‬‏ من الدخول أن عدد التجميعات يساوي اثنين أس ‪𝑁‬‏، وفي هذه الحالة ‪𝑁‬‏ يساوي ثمانية. إذن، عدد التجميعات المختلفة لدائرة بها ثمانية دخول سيكون اثنين أس ثمانية، وهو ما يساوي 256.

باستخدام هذه المعادلة العامة، تمكنا من إيجاد هذه النتيجة بسرعة كبيرة، بينما نلاحظ جليًّا أن كتابة 256 تجميعة مختلفة ممكنة لثمانية دخول لن يكون عمليًّا. ولذا، ثمة سبب آخر لاستخدام هذه الطريقة الثانية بدلًا من محاولة كتابة التجميعات المختلفة الممكنة كتابة مفصلة، وهو أن هذه الطريقة تجدي نفعًا بغض النظر عن عدد الدخول في الدائرة.