نسخة الفيديو النصية
أوجد مشتقة الدالة ﺹ يساوي خمسة ﺱ تربيع ناقص ستة الكل أس ستة.
حسنًا، إحدى الطرق التي يمكننا بها حل هذه المسألة هي فك المقدار خمسة ﺱ تربيع ناقص ستة الكل أس ستة بطريقة فك المقادير ذات الحدين، وذلك باستخدام مثلث باسكال. عندما نفعل ذلك، نحصل على دالة كثيرة الحدود في المتغير ﺱ، ويمكننا بعد ذلك اشتقاق هذه الدالة حدًّا تلو الآخر بالطريقة المعتادة. لكن هذه الطريقة ستستغرق وقتًا طويلًا لفك ذات الحدين واشتقاق جميع الحدود الناتجة.
هناك طريقة أخرى أفضل بالتأكيد. ولحسن الحظ، نحن نعرف هذه الطريقة بالفعل. دعونا نفترض أن ﻉ يساوي خمسة ﺱ تربيع ناقص ستة، وهذا هو المقدار الموجود داخل القوسين. ومن ثم، بالتعويض بـ ﻉ عن خمسة ﺱ تربيع ناقص ستة، نجد أن ﺹ يساوي ﻉ أس ستة.
لكن كيف سيساعدنا ذلك في إيجاد مشتقة الدالة بالنسبة إلى ﺱ؟ حسنًا، يمكننا أن نستخدم قاعدة السلسلة التي تنص على أن مشتقة ﺹ بالنسبة إلى ﺱ تساوي مشتقة ﺹ بالنسبة إلى متغير آخر، وهو ﻉ، مضروبة في مشتقة ﻉ بالنسبة إلى ﺱ. المشتقتان ﺩﺹ على ﺩﻉ وﺩﻉ على ﺩﺱ على صورة كسرين؛ لذا يمكننا هنا حذف ﺩﻉ من كل من البسط والمقام.
بتطبيق قاعدة السلسلة، علينا الآن إيجاد ﺩﺹ على ﺩﻉ وﺩﻉ على ﺩﺱ ثم ضربهما معًا. دعونا نبدأ بـ ﺩﺹ على ﺩﻉ. ﺹ يساوي ﻉ أس ستة. إذن، باشتقاق ﺹ بالنسبة إلى ﻉ، نحصل على ستة في ﻉ أس خمسة. لقد استخدمنا هنا حقيقة أنه مثلما يمكننا إيجاد مشتقة إحدى قوى ﺱ بالنسبة إلى ﺱ، يمكننا إيجاد مشتقة إحدى قوى ﻉ بالنسبة إلى ﻉ، وذلك عن طريق كتابة الأسس أولًا وضربها في المتغير ثم طرح واحد من الأس.
لا يعنينا هنا المتغير، سواء أكان ﺱ أم ﻉ أم ﺃ. بعد أن حسبنا ﺩﺹ على ﺩﻉ، علينا الآن حساب ﺩﻉ على ﺩﺱ. حسنًا، نحن نعلم أن ﻉ يساوي خمسة ﺱ تربيع ناقص ستة. وباشتقاق ذلك، نحصل على ﺩﻉ على ﺩﺱ يساوي ١٠ﺱ. ومن ثم، نجد أن ﺩﺹ على ﺩﺱ يساوي ستة ﻉ أس خمسة في ١٠ﺱ، وهذا يساوي ٦٠ﻉﺱ أس خمسة. لقد أوشكنا على الانتهاء من حل المسألة. لكن آخر خطوة هي أننا نريد إيجاد ﺩﺹ على ﺩﺱ بدلالة ﺱ فقط. يمكننا أن نفعل ذلك عن طريق التعويض بالمقدار الذي يعبر عن ﻉ بدلالة ﺱ. ﻉ يساوي خمسة ﺱ تربيع ناقص ستة. إذن، ٦٠ﻉﺱ أس خمسة يساوي ٦٠ﺱ في خمسة ﺱ تربيع ناقص ستة أس خمسة.
هذه هي الإجابة النهائية. وكما ذكرنا في بداية الفيديو، يمكننا حل هذه المسألة دون استخدام قاعدة السلسلة. لكن استخدام قاعدة السلسلة يسهل علينا الحل كثيرًا. وفي الكثير من مسائل الاشتقاق، يكون علينا استخدام قاعدة السلسلة. لذا، علينا أن نتذكرها دائمًا.
