فيديو السؤال: إيجاد حجم المجسم الناتج عن دوران المنطقة الواقعة تحت منحنى دالة جذرية حول المحور ﺱ الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

أوجد حجم المجسم الناتج عن دوران المنطقة المحصورة بين المنحنى ﺹ يساوي الجذر التربيعي لـ ﺱ زائد واحد، والمستقيمين ﺹ يساوي صفرًا، وﺱ يساوي أربعة حول المحور ﺱ.

أولًا: نعلم أن السؤال يطلب منا إيجاد الحجم الناتج عن دوران منطقة حول المحور ﺱ. وأخبرنا السؤال أيضًا أن هذه المنطقة محصورة بين المنحنى ﺹ يساوي الجذر التربيعي لـ ﺱ زائد واحد، والمستقيمين ﺹ يساوي صفرًا، وﺱ يساوي أربعة.

سنبدأ برسم الحدود لنكون فكرة عن المكان الذي تقع فيه هذه المنطقة. نبدأ برسم المنحنى ﺹ يساوي الجذر التربيعي لـ ﺱ زائد واحد. ونرى أنه يوجد جزء مقطوع من المحور ﺱ عند ﺱ يساوي سالب واحد. بعد ذلك، نرسم المستقيم ﺹ يساوي صفرًا، وهو المحور ﺱ، والمستقيم ﺱ يساوي أربعة. وبما أننا نعلم أن المنطقة محاطة بهذه المنحنيات الثلاثة، فيمكننا تظليل المنطقة في الرسم.

نتذكر أنه إذا كان لدينا دالة غير سالبة ﺩ، وإذا جعلنا المنطقة المحصورة بين: صفر أصغر من أو يساوي ﺹ أصغر من أو يساوي ﺩﺱ، وﺃ أصغر من أو يساوي ﺱ أصغر من أو يساوي ﺏ؛ حيث ﺱ، ﺹ تقع في المنطقة التي تدور حول المحور ﺱ. يمكننا إذن استنتاج أن حجم المجسم الناتج يساوي التكامل من ﺃ إلى ﺏ لـ 𝜋 مضروبًا في الدالة ﺩﺱ تربيع بالنسبة إلى ﺱ.

أول ما نلاحظه هو أن قيم ﺹ في المنطقة محددة من أعلى بالدالة: الجذر التربيعي لـ ﺱ زائد واحد، ومحددة من أسفل بصفر. لذا، سنجعل ﺩﺱ تساوي الجذر التربيعي لـ ﺱ زائد واحد. ونلاحظ أن الجذر التربيعي لـ ﺱ زائد واحد يعطينا قيمة غير سالبة. وبذلك، يتحقق الشرط الأول.

بعد ذلك، نعلم أنه في المنطقة ﻡ، قيم ﺱ، على اليسار، محددة بالقيمة سالب واحد. ومحددة، على اليمين، بالمستقيم ﺱ يساوي أربعة. لذا، قيم ﺱ في المنطقة محددة من أسفل بالمستقيم ﺱ يساوي سالب واحد، ومن أعلى بالمستقيم ﺱ يساوي أربعة.

ومن ثم، بما أن السؤال يخبرنا أن هذه المنطقة حدث لها دوران حول المحور ﺱ، فيمكننا استنتاج أن جميع الشروط قد تحققت. ومن ثم، يمكننا أن نستنتج أن حجم المجسم الناتج يساوي التكامل من سالب واحد إلى أربعة لـ 𝜋 مضروبًا في الجذر التربيعي لـ ﺱ زائد واحد تربيع بالنسبة إلى ﺱ.

نحن الآن مستعدون لإيجاد قيمة هذا التكامل. أول ما نلاحظه هو أن 𝜋 مجرد ثابت. لذا، يمكننا أخذ 𝜋 هذا خارج التكامل. بعد ذلك، إذا قمنا بتربيع الجذر التربيعي لـ ﺱ زائد واحد، عندئذ سنحصل على ﺱ زائد واحد. هذا يعطينا 𝜋 مضروبًا في التكامل من سالب واحد إلى أربعة لـ ﺱ زائد واحد بالنسبة إلى ﺱ.

الخطوة التالية هي حساب المشتقة العكسية لكل من ﺱ وواحد، على الترتيب. لدينا المشتقة العكسية لـ ﺱ تساوي ﺱ تربيع على اثنين. والمشتقة العكسية لواحد تساوي ﺱ فقط. وبالطبع، نتجاهل ثابت التكامل؛ لأننا نجري تكاملًا محددًا.

كل ما علينا فعله الآن هو حساب قيمة هذه المشتقة العكسية عند حدي التكامل. بإيجاد قيمة المشتقة العكسية عند سالب واحد وأربعة، نحصل على 𝜋 مضروبًا في أربعة تربيع على اثنين زائد أربعة ناقص سالب واحد تربيع على اثنين زائد سالب واحد. عند هذه النقطة، يمكننا حساب قيمة القوى والتبسيط لنحصل على الناتج ٢٥‏𝜋‏ مقسومًا على اثنين.

ومن ثم، يتضح من ذلك أن حجم المجسم الناتج عن دوران المنطقة المحصورة بين المنحنى ﺹ يساوي الجذر التربيعي لـ ﺱ زائد واحد والمستقيمين ﺹ يساوي صفرًا وﺱ يساوي أربعة حول المحور ﺱ يساوي ٢٥‏𝜋‏ مقسومًا على اثنين.