تم إلغاء تنشيط البوابة. يُرجَى الاتصال بمسؤول البوابة لديك.

فيديو السؤال: تحويل مقلوب عدد مركب من الصورة الجبرية إلى الصورة القطبية الرياضيات

إذا كان ﻉ = (٥ جذر ٢‏/‏٢) − (٥ جذر ٢‏/‏٢ ﺕ)، فأوجد ١‏/‏ﻉ على الصورة المثلثية.

٠٩:٢١

‏نسخة الفيديو النصية

إذا كان ﻉ يساوي خمسة جذر اثنين مقسومًا على اثنين ناقص خمسة جذر اثنين على اثنين ﺕ، فأوجد واحد على ﻉ على الصورة المثلثية.

في هذا السؤال، لدينا عدد مركب ﻉ على الصورة الجبرية. ومطلوب منا إيجاد واحد على ﻉ حيث نكتب الإجابة على الصورة المثلثية. وهناك العديد من الطرق المختلفة التي يمكننا استخدامها لحل هذا السؤال. سنستعرض اثنين منها. أولًا، نلاحظ أن واحدًا مقسومًا على ﻉ يساوي ﻉ أس سالب واحد. ويمكننا أن نتذكر أن نظرية ديموافر تعطينا نتيجة تتضمن صورًا مثلثية لأعداد مركبة مرفوعة لقوى أسية صحيحة. نتذكر أن هذا يخبرنا أنه لأي قيمة صحيحة لـ ﻥ، فإن ﻝ في جتا 𝜃 زائد ﺕ جا 𝜃 الكل مرفوع للقوة ﻥ يساوي ﻝ أس ﻥ مضروبًا في جتا ﻥ𝜃 زائد ﺕ جا ﻥ𝜃.

وتجدر الإشارة إلى أنه لكي يكون هذا صحيحًا، يجب أن يكون ﻝ في جتا 𝜃 زائد ﺕ جا 𝜃 عددًا مركبًا على الصورة المثلثية. إذن، لتطبيق ذلك على العدد المركب ﻉ لإيجاد ﻉ أس سالب واحد، علينا أولًا إعادة كتابة ﻉ على الصورة المثلثية. لفعل ذلك، علينا إيجاد مقياسه ﻝ وسعته 𝜃. هيا نبدأ بإيجاد مقياسه. ولفعل ذلك، نتذكر أن مقياس أي عدد مركب هو الجذر التربيعي لمجموع مربعي جزأيه الحقيقي والتخيلي. وهو المسافة التي يبعدها عن نقطة الأصل في مخطط أرجاند. في العدد المركب ﻉ الذي لدينا، الجزء الحقيقي من ﻉ يساوي خمسة جذر اثنين على اثنين، والجزء التخيلي من ﻉ يساوي سالب خمسة جذر اثنين على اثنين.

إذن، نربع هاتين القيمتين، ونجمعهما، ونوجد الجذر التربيعي لإيجاد مقياس ﻉ. لإيجاد قيمة هذا التعبير، نبدأ بتوزيع التربيع على القوسين. في البسط، لدينا خمسة تربيع مضروبًا في جذر اثنين الكل تربيع. هذا يساوي ٢٥ مضروبًا في اثنين، وهو ما يساوي ٥٠. وفي المقام، لدينا اثنان تربيع، وهو ما يساوي أربعة. ويمكننا فعل الأمر نفسه لتوزيع التربيع على الحد الثاني، إلا أن بإمكاننا ملاحظة أن الجزء التخيلي من ﻉ يساوي سالب واحد في الجزء الحقيقي من ﻉ. لذا، عند تربيع هذه القيمة نحصل على الناتج نفسه. وعليه، فإن مقياس ﻉ يساوي الجذر التربيعي لـ ٥٠ على أربعة زائد ٥٠ على أربعة.

والآن يمكننا إيجاد قيمة هذا التعبير. ‏٥٠ على أربعة زائد ٥٠ على أربعة يساوي ١٠٠ على أربعة، وهو ما يمكن تبسيطه إلى ٢٥. إذن، مقياس ﻉ يساوي جذر ٢٥، وهو ما نعرف أنه يساوي خمسة. هذه قيمة ﻝ في الصورة المثلثية لـ ﻉ. لكن ما زال علينا إيجاد قيمة 𝜃، أي سعة ﻉ. لفعل ذلك، دعونا نفرغ بعض المساحة، ثم نحدد الربع الذي يقع فيه ﻉ في مخطط أرجاند. أولًا، نلاحظ أن الجزء الحقيقي من ﻉ موجب، والجزء التخيلي من ﻉ سالب. ومن ثم، على مخطط أرجاند، يقع ﻉ في الربع الرابع.

يمكننا استخدام ذلك لتحديد سعة ﻉ. نتذكر أنه إذا كان ﻉ واحد عددًا مركبًا في الربع الأول أو الرابع؛ ما يعني أن الجزء الحقيقي منه أكبر من صفر، فإن سعة ﻉ واحد هي الدالة العكسية للظل للجزء التخيلي له مقسومًا على الجزء الحقيقي له. وعليه، في حالة العدد المركب ﻉ، فإن سعة ﻉ هي الدالة العكسية للظل للجزء التخيلي من ﻉ مقسومًا على الجزء الحقيقي من ﻉ. والآن، يمكننا التعويض بقيمتي الجزء التخيلي من ﻉ والجزء الحقيقي من ﻉ في هذا التعبير. لكن هذا ليس ضروريًّا في هذه الحالة؛ لأننا نلاحظ أن الجزء التخيلي من ﻉ والجزء الحقيقي من ﻉ لهما المقدار نفسه، لكن بإشارات مختلفة. لذا، عند إيجاد خارج قسمة هاتين القيمتين، نحصل على سالب واحد. سعة ﻉ هي الدالة العكسية لـ ظا لسالب واحد، والتي إذا حسبناها تساوي سالب 𝜋 على أربعة.

الآن بعد أن أوجدنا مقياس ﻉ وسعة ﻉ، يمكننا التعويض بهاتين القيمتين في التعبير لإيجاد الصورة المثلثية لـ ﻉ. لدينا ﻝ يساوي خمسة و𝜃 يساوي سالب 𝜋 على أربعة. إذن، ﻉ يساوي خمسة مضروبًا في جتا سالب 𝜋 على أربعة زائد ﺕ في جا سالب 𝜋 على أربعة. تذكر أننا نريد استخدام ذلك لإيجاد ﻉ أس سالب واحد، أي واحد على ﻉ. إذن، نرفع طرفي المعادلة للقوة سالب واحد. هذا يعطينا ﻉ أس سالب واحد يساوي خمسة في جتا سالب 𝜋 على أربعة زائد ﺕ جا سالب 𝜋 على أربعة الكل مرفوع للقوة سالب واحد.

وبما أن قيمة الأس سالب واحد هنا عدد صحيح، يمكننا تطبيق نظرية ديموافر. وهذا يعطينا ﻉ أس سالب واحد يساوي خمسة أس سالب واحد مضروبًا في جتا سالب واحد في سالب 𝜋 على أربعة زائد ﺕ جا سالب واحد في سالب 𝜋 على أربعة. بعد ذلك، يمكننا تبسيط هذه المعادلة لنجد أن واحدًا على ﻉ يساوي خمسًا مضروبًا في جتا 𝜋 على أربعة زائد ﺕ جا 𝜋 على أربعة.

لكن هذه ليست الطريقة الوحيدة التي يمكننا بها الإجابة عن هذا السؤال. هناك طريقة أخرى لحل هذا السؤال، وهي التعامل بالكامل مع الصورة الجبرية للعدد في هذا السؤال. دعونا إذن نفرغ بعض المساحة ونر كيف سنفعل ذلك. أولًا، لتسهيل التعامل مع العدد المركب، يمكننا إخراج العامل المشترك خمسة جذر اثنين على اثنين من الصورة الجبرية لـ ﻉ. ومن ثم، ﻉ يساوي خمسة جذر اثنين على اثنين في واحد ناقص ﺕ. وتجدر الإشارة هنا إلى أنه يمكننا إخراج مقياس ﻉ عند هذه النقطة إن أردنا.

بعد ذلك، نوجد مقلوب كلا طرفي المعادلة. نحصل على واحد على ﻉ يساوي اثنين على خمسة جذر اثنين مضروبًا في واحد على واحد ناقص ﺕ. علينا أن نكتب ذلك على الصورة المثلثية. وبما أن لدينا عددًا مركبًا في مقام هذا التعبير، سنضرب كلًّا من البسط والمقام في مرافق العدد المركب الخاص به. وهو ما يساوي واحدًا زائد ﺕ مقسومًا على واحد زائد ﺕ. ويمكننا أيضًا إنطاق المقام اثنين على خمسة جذر اثنين. سنحصل على جذر اثنين على خمسة. يمكننا بعد ذلك تبسيط حاصل ضرب الحدين الثاني والثالث. في البسط، واحد في واحد زائد ﺕ يساوي واحدًا زائد ﺕ. وفي المقام، واحد ناقص ﺕ مضروبًا في واحد زائد ﺕ يساوي واحدًا تربيع ناقص ﺕ تربيع، وهو ما يساوي واحدًا زائد واحد.

يمكننا تبسيط هذا التعبير. في المقام، واحد زائد واحد يساوي اثنين. إذن، يمكننا كتابة واحد على ﻉ على الصورة الجبرية. وهو ما يساوي جذر اثنين على ١٠ زائد جذر اثنين على ١٠ ﺕ. وأخيرًا، يمكننا إيجاد الصورة المثلثية لواحد على ﻉ بإيجاد مقياسه وسعته. إذا فعلنا ذلك، فسنجد أن ﻝ يساوي الجذر التربيعي لجذر اثنين على ١٠ تربيع زائد جذر اثنين على ١٠ تربيع، وإذا حسبنا ذلك، فسنجد أنه يساوي خمسًا. وبما أن واحدًا على ﻉ يقع في الربع الأول، فإن سعته هي الدالة العكسية للظل للجزء التخيلي له مقسومًا على الجزء الحقيقي له. هذه هي الدالة العكسية لـ ظا لواحد التي يمكننا حسابها وتساوي 𝜋 على أربعة، وهي، كما توقعنا، القيم نفسها التي حصلنا عليها من قبل.

وبذلك، نكون قد أوضحنا طريقتين مختلفتين لإيجاد مقلوب ﻉ على الصورة المثلثية؛ حيث ﻉ يساوي خمسة جذر اثنين على اثنين ناقص خمسة جذر اثنين على اثنين ﺕ. في كلتا الحالتين، أوضحنا أن واحدًا على ﻉ يساوي خمسًا في جتا 𝜋 على أربعة زائد ﺕ جا 𝜋 على أربعة.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.