فيديو السؤال: تبسيط المقادير التي تتضمن استخدام الجذور التكعيبية والأسس الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

وعاء على شكل مكعب سعته ٥١٢𝑥 أس تسعة ‪𝑦‬‏ أس ٢٧. أوجد طول أحد أحرفه.

بما أننا نتحدث عن سعة المكعب، فنحن نقصد حجم المكعب. وصيغة حجم المكعب هي ‪𝑉‬‏ يساوي ‪𝑆‬‏ تكعيب، حيث ‪𝑉‬‏ هو الحجم و‪𝑆‬‏ هو طول الحرف. وبما أننا نريد أن نحسب طول الحرف، فلنبدأ الحل ونعد كتابة هذه الصيغة.

لنضع ‪𝑆‬‏ في الطرف الأيمن من المعادلة بما أننا نريد أن نحسب في النهاية قيمة ‪𝑆‬‏، وهو طول أحد الأحرف. نحن نعلم بالفعل حجم هذا الوعاء الذي يتخذ شكل مكعب. فمذكور في المسألة أنه يساوي ٥١٢𝑥 أس تسعة ‪𝑦‬‏ أس ٢٧. إذن فلنعوض بذلك عن ‪𝑉‬‏.

لكننا نريد أن نحسب قيمة أحد الأحرف، وبالتالي علينا أن نعزل ‪𝑆‬‏، أي نحسب قيمته وحده. بما أن ‪𝑆‬‏ مكتوب في صورة عدد مكعب، فعلينا أن نعكس هذا التكعيب من خلال إيجاد الجذر التكعيبي. علينا إذن إيجاد الجذر التكعيبي لطرفي المعادلة.

بالنسبة لـ ‪𝑆‬‏، يلغي الجذر التكعيبي التكعيب، وبذلك يصبح لدينا ‪𝑆‬‏ فقط. ويمكن أن نفصل الجذر التكعيبي الموجود في الطرف الأيمن إلى الجذر التكعيبي للعدد ٥١٢ في الجذر التكعيبي لـ ‪𝑥‬‏ أس تسعة في الجذر التكعيبي لـ ‪𝑦‬‏ أس ٢٧.

والسبب في فعلنا ذلك هو أن كلًا من هذه المقادير مكعب تام. لذلك إذا فصلنا هذه المقادير إلى مكعبات تامة، فسيسهل ذلك تبسيطها كثيرًا. ‏‏٥١٢ يساوي ثمانية في ثمانية في ثمانية. يجب أن تكون القيمة ناتجة عن ضرب مقادير ذات أساسات متساوية.

والآن نفعل الشيء نفسه مع ‪𝑥‬‏ أس تسعة. لدينا نفس الأساس وهو ‪𝑥‬‏؛ فلدينا ‪𝑥‬‏ تكعيب في ‪𝑥‬‏ تكعيب في ‪𝑥‬‏ تكعيب، لأن ثلاثة زائد ثلاثة زائد ثلاثة يساوي تسعة؛ وذلك لأننا نجمع الأسس في حالة الضرب. وينطبق الأمر نفسه على ‪𝑦‬‏ أس ٢٧؛ فتسعة زائد تسعة زائد تسعة يساوي ٢٧.

يرجع سبب فعلنا ذلك إلى أنه عند ضرب عدد في نفسه ثلاث مرات، فهذا ما يعنيه تكعيب هذا العدد، وبالتالي، فإن ثمانية في ثمانية في ثمانية يساوي ثمانية تكعيب، و‪𝑥‬‏ تكعيب في ‪𝑥‬‏ تكعيب في ‪𝑥‬‏ تكعيب يساوي ‪𝑥‬‏ تكعيب الكل تكعيب، و‪𝑦‬‏ أس تسعة في ‪𝑦‬‏ أس تسعة في ‪𝑦‬‏ أس تسعة يساوي ‪𝑦‬‏ أس تسعة الكل تكعيب.

لكن فيم يفيد ذلك؟ حسنًا، إذا حسبنا الجذر التكعيبي لعدد مكعب، يلغي كل منهما الآخر.

وبالتالي، فإن طول حرف المكعب يساوي ثمانية في ‪𝑥‬‏ تكعيب في ‪𝑦‬‏ أس تسعة، أي إن طول أي حرف في المكعب يساوي ثمانية ‪𝑥‬‏ تكعيب ‪𝑦‬‏ أس تسعة.