نسخة الفيديو النصية
ابحث اتصال الدالة ﺩ، إذا كانت ﺩ ﺱ تساوي جا سالب ثمانية ﺱ زائد ٤٠ مقسومًا على ﺱ ناقص خمسة، إذا كان ﺱ أقل من خمسة؛ وﺩ ﺱ تساوي سالب ثمانية ﺱ تربيع مقسومًا على ٢٥، إذا كان ﺱ أكبر من أو يساوي خمسة.
يطلب منا السؤال تحديد قيم ﺱ التي تكون عندها الدالة المتعددة التعريف ﺩ ﺱ متصلة. ويمكننا إيجاد قيم ﺱ التي تكون عندها الدالة المتعددة التعريف ﺩ ﺱ متصلة باتباع الخطوات الثلاث الآتية. أولًا، علينا إيجاد مجال الدالة المتعددة التعريف ﺩ ﺱ؛ لأن الدالة لا يمكن أن تكون متصلة إلا عند قيم ﺱ التي تكون معرفة فيها. ثانيًا، علينا التحقق من اتصال الدالة ﺩ ﺱ على كل فترة. ثالثًا، علينا التحقق من أن طرفي الفترتين متطابقان. بعبارة أخرى، سنقسم الدالة ﺩ ﺱ إلى أجزائها المنفردة، ثم نتحقق من تطابق طرفيها.
دعونا نبدأ إذن بإيجاد مجال الدالة ﺩ ﺱ. من تعريف الدالة المتعددة التعريف ﺩ ﺱ، يمكننا ملاحظة أنه عندما يكون ﺱ أصغر من خمسة، فإن الدالة ﺩ ﺱ تساوي جا سالب ثمانية ﺱ زائد ٤٠ مقسومًا على ﺱ ناقص خمسة. وهذا خارج قسمة دالة مثلثية وكثيرة حدود معرفتين لجميع القيم الحقيقية لـ ﺱ. وعليه، سيكون خارج القسمة هذا معرفًا ما دام أن المقام لا يساوي صفرًا. بعبارة أخرى، مجال الدالة يكون عند جميع القيم ما عدا ﺱ يساوي خمسة.
ولكن، يمكننا ملاحظة أننا نستخدم فقط قيم ﺱ الأقل من خمسة؛ أي إن ﺱ لا يساوي خمسة أبدًا. ويخبرنا هذا بأن جا سالب ثمانية ﺱ زائد ٤٠ على ﺱ ناقص خمسة معرف لجميع قيم ﺱ هذه. وعليه، فإن هذا يعني أن الدالة ﺩ ﺱ معرفة لجميع قيم ﺱ الأقل من خمسة.
يمكننا تكرار الأمر نفسه مع الفترة الثانية. عند ﺱ أكبر من أو يساوي خمسة، فإن الدالة ﺩ ﺱ تساوي سالب ثمانية ﺱ تربيع مقسومًا على ٢٥. ونلاحظ أن هذه كثيرة حدود، ومن ثم، فهي معرفة لجميع القيم الحقيقية لـ ﺱ. وعليه، يصبح لدينا سالب ثمانية ﺱ تربيع مقسومًا على ٢٥ معرفًا لجميع القيم الحقيقية لـ ﺱ. تحديدًا، يكون معرفًا لجميع قيم ﺱ الأكبر من أو تساوي خمسة. إذن، أوضحنا أن ﺩ ﺱ معرفة لجميع قيم ﺱ الأقل من خمسة، ولجميع قيم ﺱ الأكبر من أو تساوي خمسة. بعبارة أخرى، مجال الدالة ﺩ ﺱ هو مجموعة الأعداد الحقيقية بأكملها.
وبهذا نكون قد أوجدنا مجال الدالة ﺩ ﺱ. علينا الآن التحقق من اتصال ﺩ ﺱ على كل فترة من الفترتين. للتحقق من اتصال الدالة على كل فترة من هاتين الفترتين، علينا تذكر الحقائق الثلاث الآتية. الدوال المثلثية متصلة على مجالها، وكثيرات الحدود متصلة على مجموعة الأعداد الحقيقية بأكملها، وخارج قسمة دالتين متصلتين يكون متصلًا على مجاله.
دعونا نبدأ عند ﺱ أقل من خمسة. نلاحظ أن الدالة ﺩ ﺱ تساوي جا سالب ثمانية ﺱ زائد ٤٠ مقسومًا على ﺱ ناقص خمسة. وهذا خارج قسمة دالة مثلثية وكثيرة حدود. ووفقًا للقواعد الثلاث السالفة الذكر، تكون هذه الدالة متصلة على مجالها. وقد أوجدنا مجالها بالفعل. مجالها هو جميع قيم ﺱ الحقيقية باستثناء خمسة. وعليه، إذا كانت ﺩ ﺱ تساوي جا سالب ثمانية ﺱ زائد ٤٠ مقسومًا على ﺱ ناقص خمسة عند ﺱ أقل من خمسة، وهذا متصل، فلا بد أن تكون ﺩ ﺱ متصلة أيضًا على هذه الفترة.
يمكننا تكرار الأمر نفسه مع الفترة الثانية، عند ﺱ أكبر من أو يساوي خمسة. الدالة ﺩ ﺱ هي كثيرة الحدود التي تساوي سالب ثمانية ﺱ تربيع مقسومًا على ٢٥. وكثيرات الحدود تكون متصلة لجميع القيم الحقيقية لـ ﺱ. وعليه، عند ﺱ أكبر من أو يساوي خمسة، تكون الدالة ﺩ ﺱ كثيرة حدود، ومن ثم، فهي متصلة على هذه الفترة. ولكن علينا أن ننتبه عند ﺱ يساوي خمسة. تذكر أن علينا التحقق من تطابق طرفي الفترة. وعليه، فإن هذا لا يوضح لنا إلا أن الدالة ﺩ ﺱ متصلة عند ﺱ أكبر من خمسة. وعلينا التحقق من الحالة عند ﺱ يساوي خمسة مباشرة.
دعونا نبدأ بطرف الفترة عند ﺱ أقل من خمسة. بما أن هذه الفترة تتضمن ﺱ أقل من خمسة فقط، فسنأخذ النهاية عندما يقترب ﺱ من خمسة من على يسار جا سالب ثمانية ﺱ زائد ٤٠ مقسومًا على ﺱ ناقص خمسة. هذا خارج قسمة دالة مثلثية ودالة خطية، ومن ثم، يمكننا أن نجرب استخدام التعويض المباشر. بالتعويض بـ ﺱ يساوي خمسة، نحصل على جا سالب ثمانية في خمسة زائد ٤٠ مقسومًا على خمسة ناقص خمسة. وإذا أوجدنا قيمة هذا التعبير، فسنحصل على جا صفر مقسومًا على صفر، ما يساوي الصيغة غير المعينة صفرًا مقسومًا على صفر. وعليه، علينا محاولة إيجاد قيمة هذه النهاية بطريقة مختلفة.
لمساعدتنا في إيجاد قيمة هذه النهاية، علينا تذكر تعريف النهاية القياسي الآتي. النهاية عندما يقترب ﺱ من صفر لـ جا ﺱ مقسومًا على ﺱ تساوي واحدًا. في البداية، قد يبدو من الصعب تصور كيف يمكننا استخدام هذا الناتج. ولكن، يمكننا ملاحظة أن سالب ثمانية ﺱ زائد ٤٠ يساوي سالب ثمانية في ﺱ ناقص خمسة.
والآن، يمكننا ملاحظة أمر مثير للاهتمام؛ فالنهاية تتضمن ﺱ يقترب من خمسة من اليسار. هذا يعني أن المقام ﺱ ناقص خمسة يقترب من الصفر. والعامل ﺱ ناقص خمسة في البسط يقترب أيضًا من الصفر. هذا مشابه جدًّا لتعريف النهاية. وهذا يدفعنا لإعادة كتابة النهاية باستخدام التعويض ﻫ يساوي ﺱ ناقص خمسة.
باستخدام هذا التعويض داخل النهاية، نحصل على جا سالب ثمانية ﻫ الكل مقسوم على ﻫ. ولكن، في النهاية الأصلية، كان ﺱ يقترب من خمسة من اليسار. بعبارة أخرى، يقترب ﺱ أكثر فأكثر من خمسة بينما قيم ﺱ أقل من خمسة. يمكننا أن نطرح السؤال الآتي: ماذا يعني ذلك لقيم ﻫ؟ حسنًا، ﻫ يساوي ﺱ ناقص خمسة. ويقترب ﺱ أكثر فأكثر من خمسة، ولكنه دائمًا ما يكون أقل من خمسة. هذا يعني أن ﻫ يقترب من صفر وأن ﻫ أقل من صفر. بعبارة أخرى، عندما يقترب ﺱ من خمسة من اليسار، يقترب ﻫ من الصفر من اليسار.
إذن، أصبح لدينا الآن النهاية عندما يقترب ﻫ من صفر من اليسار لـ جا سالب ثمانية ﻫ مقسومًا على ﻫ. والآن أصبح هذا مشابهًا للغاية لتعريف النهاية، ولكن علينا أن نتعامل مع معامل سالب ﺱ الموجود أمام ﺱ داخل دالة الجيب. سنبدأ بالتعويض عن كل ﺱ بسالب ثمانية ﻫ. بعد ذلك، يمكننا أخذ العامل الثابت سالب ثمن خارج النهاية. وإذا كان سالب ثمانية ﻫ يقترب من صفر، فهذا مماثل لقولنا إن ﻫ يقترب من صفر.
وأخيرًا، نضرب الطرفين في سالب ثمانية، وهو ما يعطينا النهاية عندما يقترب ﻫ من صفر لـ جا سالب ثمانية ﻫ مقسومًا على ﻫ يساوي سالب ثمانية. ويمكننا ملاحظة أن هذا يساوي بالضبط ما لدينا في النهاية.
وبهذا نكون قد أوجدنا قيمة الطرف الأول للفترة. وهي سالب ثمانية. وسيكون من الأسهل كثيرًا إيجاد قيمة الطرف الثاني للفترة. فبما أن الفترة هي ﺱ أكبر من أو يساوي خمسة، فإن الطرف سيكون عند ﺱ يساوي خمسة. وعليه، نعوض بـ ﺱ يساوي خمسة في سالب ثمانية ﺱ تربيع مقسومًا على ٢٥. وهذا يعطينا سالب ثمانية في خمسة تربيع مقسومًا على ٢٥، وهو ما يمكننا إيجاد قيمته لنحصل على سالب ثمانية.
إذن، يمكننا ملاحظة أننا نحصل في كلتا الحالتين على سالب ثمانية. وعليه، فإن الدالة ﺩ ﺱ متصلة أيضًا عند ﺱ يساوي خمسة. وبذلك نكون قد أوضحنا أن الدالة ﺩ ﺱ دالة متصلة عند ﺱ أقل من خمسة، وعند ﺱ أكبر من خمسة، وعند ﺱ يساوي خمسة. وعليه، نكون قد أثبتنا أن الدالة ﺩ متصلة لجميع قيم ﺱ الحقيقية.
