فيديو السؤال: إيجاد قيمة الإحداثي ﺱ لنقطة على منحنى الدالة التربيعية حيث يكون خط المماس موازيًا للمحور ﺱ الرياضيات • الصف الثاني الثانوي

نسخة الفيديو النصية

ما قيمة الإحداثي ﺱ للنقطة التي يكون عندها خط المماس للمنحنى ﺹ يساوي ﺱ تربيع زائد ١٢ﺱ زائد ١١ موازيًا للمحور ﺱ؟

من أين نبدأ هذه المسألة؟ حسنًا، نبدأ بالنظر إلى خط المماس. كما تلاحظ في الرسم، خط المماس هو خط يمس المنحنى. ومن الخواص الأساسية لذلك أن ميل المماس عند نقطة ما يساوي ميل المنحنى عند هذه النقطة نفسها. إذن، كما تلاحظ، علينا إيجاد الميل أولًا.

لإيجاد ميل المنحنى عند أي نقطة، علينا أولًا اشتقاق معادلته. إذن، عند اشتقاق ﺹ يساوي ﺱ تربيع زائد ١٢ﺱ زائد ١١، سيكون الحد الأول هو اثنين ﺱ. وللتذكير بطريقة الاشتقاق، يمكننا القول إن الطريقة التي حصلنا بها على اثنين ﺱ هي ضرب الأس في معامل الحد الذي يحتوي على ﺱ؛ أي اثنين مضروبًا في واحد. فيصبح لدينا ﺱ أس اثنين ناقص واحد، لأننا نطرح واحدًا من الأس.

حسنًا، هذا رائع! الحد الأول هو اثنان ﺱ. والحد الثاني هو موجب ١٢. وقد حصلنا على ذلك لأننا إذا اشتققنا موجب ١٢ﺱ، فإننا نحصل على ١٢ فقط. وإذا اشتققنا موجب ١١، فإننا نحصل على صفر. رائع! يمكننا إذن القول إن ﺩﺹ على ﺩﺱ يساوي اثنين ﺱ زائد ١٢. والآن، نريد إيجاد الميل. إذا نظرنا إلى السؤال، فسنجد أننا نريد إيجاد النقطة التي يكون عندها خط المماس ﺹ يساوي ﺱ تربيع زائد ١٢ﺱ زائد ١١ موازيًا للمحور ﺱ.

إذا فكرنا في معنى ذلك، فسنجد أنه إذا كان لدينا خط مواز للمحور ﺱ، فإن الميل يساوي التغير في ﺹ على التغير في ﺱ. التغير في ﺹ يساوي صفرًا؛ لأن لدينا خطًّا أفقيًّا. وهو هنا مقسوم على ﻥ؛ لأنه لا يهم التغير في ﺱ. ولا يهم أي نقطتين سنختار.

ذلك لأنه إذا كان لدينا صفر مقسومًا على أي قيمة، فإن الإجابة ستكون صفرًا. إذن، يمكننا القول إن هذا الميل يساوي صفرًا. حسنًا، هذا رائع! والآن بعد أن عرفنا ذلك، يمكننا التعويض بهذه القيمة في المشتقة. عرفنا أن دﺹ على دﺱ يساوي صفرًا. ومن ثم، يصبح لدينا المعادلة صفر يساوي اثنين ﺱ زائد ١٢.

نطرح ١٢ من كلا الطرفين، فنحصل على سالب ١٢ يساوي اثنين ﺱ. وبالقسمة على اثنين، نحصل على سالب ستة يساوي ﺱ. يمكننا القول إن قيمة الإحداثي ﺱ، للنقطة التي يكون عندها خط المماس لـ ﺹ يساوي ﺱ تربيع زائد ١٢ﺱ زائد ١١ موازيًا للمحور ﺱ، تساوي سالب ستة.

لنراجع سريعًا الطريقة التي توصلنا بها إلى ذلك، فقد بدأنا باشتقاق الدالة. وبهذا، حصلنا على دالة الميل. بعد ذلك ساوينا هذا بصفر، لأننا كنا نبحث عن النقطة التي يكون الميل الفعلي عندها يساوي صفرًا؛ لأنه يوازي المحور ﺱ. وبعد ذلك، قمنا بحل المعادلة لحساب قيمة ﺱ. وبما أن لدينا مماسًّا يمس المنحنى عند نقطة، فإذا أوجدنا أن قيمة الإحداثي ﺱ لهذه النقطة على المنحنى هي سالب ستة، فستكون هي نفسها قيمة الإحداثي ﺱ على خط المماس.