فيديو الدرس: حل أنظمة المعادلات بيانيًّا

نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نحل نظامًا من معادلتين خطيتين من خلال تمثيليهما البيانيين وتحديد نقطة التقاطع بينهما.

نتذكر، أولًا، أن المعادلة الخطية هي معادلة أعلى قوة لكل متغير بها هي القوة الأولى كما أنها لا تحتوي على حدود تتضمن حاصل ضرب هذه المتغيرات. على سبيل المثال، المعادلة اثنان ﺱ زائد ﺹ يساوي ستة هي معادلة خطية. النظام المكون من معادلتين خطيتين هو ببساطة زوج مكون من معادلتين كهذه المعادلة. على سبيل المثال، إذا كان لدينا أيضًا المعادلة ﺱ زائد ﺹ يساوي اثنين، فسيكون لدينا نظام من معادلات خطية، يعرف أحيانًا بزوج من المعادلات الآنية.

يوجد العديد من الطرق المختلفة التي يمكن استخدامها لحل أنظمة المعادلات هذه. ولكن في هذا الفيديو، سنركز على الطريقة البيانية. ونتيجة لذلك، سنجد أن الحرفين اللذين نستخدمهما عادة لتمثيل المتغيرين هما ﺱ وﺹ، ولكن ليس بالضرورة أن يكونا كذلك دومًا. يمكن إيجاد حل لنظام مكون من معادلتين خطيتين عن طريق رسم تمثيل بياني للخطين المستقيمين اللذين تمثلهما هاتان المعادلتان ثم تحديد إحداثيات نقطة تقاطعهما. وذلك لأن هذه النقطة تقع على الخطين، ومن ثم تحقق المعادلتين آنيًّا.

في المثال الأول، سنستعرض كيفية تحديد معادلة خط مستقيم من تمثيلها البياني. هذا بدوره سيمكننا من تحديد أنظمة المعادلات الخطية التي يمكن حلها باستخدام تمثيل بياني معطى.

أي من المجموعات التالية للمعادلتين الآنيتين يمكن حلها باستخدام الرسم البياني الموضح؟ (أ) ﺹ يساوي اثنين ﺱ ناقص أربعة، وﺹ يساوي ﺱ زائد خمسة. أم (ب) ﺹ يساوي سالب أربعة ﺱ زائد اثنين، وﺹ يساوي خمسة ﺱ ناقص واحد. أم (ج) ﺹ يساوي اثنين ﺱ ناقص أربعة، وﺹ يساوي سالب ﺱ زائد خمسة. أم (د) ﺹ يساوي اثنين ﺱ زائد أربعة، وﺹ يساوي سالب ﺱ زائد خمسة. أم (هـ) ﺹ يساوي سالب أربعة ﺱ زائد اثنين وﺹ يساوي خمسة ﺱ زائد واحد.

لدينا هنا تمثيل بياني لخطين مستقيمين، والمطلوب منا تحديد زوج المعادلات الآنية الذي يمكننا حله باستخدام هذا التمثيل البياني. هذا يعني أنه علينا تحديد معادلتي الخطين المستقيمين. ولكي نفعل ذلك، سنتذكر الصورة العامة للخط المستقيم بصيغة الميل والجزء المقطوع وهي ﺹ يساوي ﻡﺱ زائد ﺏ. ونتذكر أن معامل ﺱ، وهو ﻡ، يعطينا ميل الخط المستقيم. أما الحد الثابت، وهو ﺏ، فيعطينا الجزء المقطوع من المحور ﺹ للتمثيل البياني. أي يعطينا قيمة ﺹ التي يقطع عندها الخط المستقيم المحور ﺹ.

لننظر إلى هذا الخط المستقيم الأزرق أولًا. نلاحظ أن هذا الخط المستقيم يقطع المحور ﺹ عند خمسة، ما يعني أن معادلة هذا الخط المستقيم ستكون على الصورة ﺹ يساوي عددًا ما مضروبًا في ﺱ زائد خمسة. ولإيجاد ميل هذا المستقيم، أي قيمة ﻡ، يمكننا رسم مثلث قائم الزاوية صغير في أي مكان أسفل هذا المستقيم. وعندما نفعل ذلك، نلاحظ أنه لكل وحدة يمتدها الخط للأمام، أي جهة اليمين، يتحرك أيضًا وحدة واحدة لأسفل. وبما أنه يمكننا إيجاد ميل الخط المستقيم باستخدام التغير في ﺹ على التغير في ﺱ، يصبح لدينا سالب واحد على واحد، وهو ما يساوي سالب واحد. وبهذا تصبح معادلة هذا الخط المستقيم ﺹ يساوي سالب ﺱ زائد خمسة.

وبذلك نكون قد أوجدنا معادلة المستقيم الأول. لننظر الآن إلى المستقيم الأحمر. وهذه المرة نرى أن هذا الخط يقطع المحور ﺹ عند القيمة سالب أربعة. ومن ثم، تصبح معادلة هذا الخط المستقيم على الصورة ﺹ يساوي عددًا ما مضروبًا في ﺱ ناقص أربعة. ولإيجاد الميل، نرسم مرة أخرى مثلثًا قائم الزاوية في أي مكان أسفل هذا الخط المستقيم. هذه المرة، نلاحظ أنه عندما يتحرك المستقيم وحدة واحدة إلى اليمين، يتحرك وحدتين لأعلى. إذن، ميل الخط المستقيم، أي التغير في ﺹ على التغير في ﺱ، يساوي اثنين على واحد، وهو ما يساوي اثنين. إذن، معادلة هذا الخط المستقيم هي ﺹ يساوي اثنين ﺱ ناقص أربعة.

بالنظر إلى الخيارات الخمسة المحتملة المعطاة لنا، نلاحظ أن معادلتي الخطين المستقيمين المطلوبتين موجودتان في الخيار (ج) ﺹ يساوي اثنين ﺱ ناقص أربعة، وﺹ يساوي سالب ﺱ زائد خمسة. ومع أنه لم يطلب منا حل زوج المعادلات الآنية في هذا السؤال، يمكننا فعل ذلك بالنظر إلى إحداثيات نقطة تقاطع الخطين. ونجد أن إحداثيات هذه النقطة هي ثلاثة، اثنان. إذن، حل هاتين المعادلتين الآنيتين هو ﺱ يساوي ثلاثة وﺹ يساوي اثنين.

لنتناول الآن مثالًا آخر.

استخدم الرسم البياني التالي لحل المعادلتين الآنيتين الموضحتين. ‏ﺹ يساوي أربعة ﺱ ناقص اثنين وﺹ يساوي سالب ﺱ زائد ثلاثة.

أولًا، نلاحظ أن التمثيل البياني المعطى هو التمثيل البياني للخطين المستقيمين الممثلين بهاتين المعادلتين. بالنظر إلى المستقيم الأزرق، نلاحظ أولًا أن الجزء المقطوع من المحور ﺹ هو ثلاثة، والميل هو سالب واحد. إذن، بالتعويض بهاتين القيمتين في المعادلة العامة للخط المستقيم بصيغة الميل والجزء المقطوع، يمكننا أن نرى أن معادلة المستقيم الأزرق هي ﺹ يساوي سالب ﺱ زائد ثلاثة. وهذه هي المعادلة المعطاة الثانية.

أما في المستقيم الأخضر، نرى أن الجزء المقطوع من ﺹ هو سالب اثنين، والميل أربعة. وبالتعويض بهاتين القيمتين في المعادلة العامة للخط المستقيم، نجد أن معادلة هذا الخط المستقيم هي ﺹ يساوي أربعة ﺱ ناقص اثنين. وهي المعادلة المعطاة الأولى.

إذن، يمثل هذا الشكل هاتين المعادلتين بيانيًّا، وبالتالي يمكننا استخدامه لحلهما آنيًّا. حل هذا الزوج من المعادلات الخطية الآنية هو إحداثيات النقطة التي تقع على كلا المستقيمين. وهي النقطة التي يتقاطع عندها المستقيمان. يمكننا أن نلاحظ من التمثيل البياني أن المستقيمين يتقاطعان عند هذه النقطة المنفردة هنا. وهي نقطة إحداثياها عددان صحيحان. الإحداثي ﺱ يساوي واحدًا، والإحداثي ﺹ يساوي اثنين. إذن، حل زوج المعادلتين الآنيتين هو ﺱ يساوي واحدًا وﺹ يساوي اثنين.

ويمكننا بالطبع التأكد من صحة ذلك بالتعويض بقيمتي الزوج ﺱ وﺹ في كل معادلة والتأكد من أنهما تحققان كل معادلة بالفعل. غير أننا نرى بوضوح على الرسم البياني أن هذه النقطة تقع على كلا الخطين.

في المثال التالي، سيتعين علينا رسم التمثيل البياني للمعادلتين اللتين نريد حلهما. لذا، سنذكر أنفسنا ببعض الطرق الأساسية لفعل ذلك.

من خلال تمثيل ﺹ يساوي سالب اثنين ﺱ زائد واحد وﺹ يساوي ﺱ زائد أربعة بيانيًّا، أوجد النقطة التي تحقق المعادلتين آنيًّا.

تخبرنا المسألة أن علينا حلها بتمثيل هاتين المعادلتين بيانيًّا. لننظر إذن إلى طريقتين مختلفتين لرسم التمثيلين البيانيين للخطين المستقيمين. في الطريقة الأولى، سنرسم التمثيل البياني للمعادلة ﺹ يساوي سالب اثنين ﺱ زائد واحد بمقارنة معادلته بالمعادلة العامة للخط المستقيم بصيغة الميل والجزء المقطوع، ﺹ يساوي ﻡﺱ زائد ﺏ. نتذكر أنه في هذه الصورة، قيمة ﻡ، أي معامل ﺱ، تمثل ميل الخط المستقيم. إذن، ميل الخط الذي نريد تمثيله هو سالب اثنان. يعني هذا أنه عندما يمتد الخط وحدة واحدة إلى اليمين، فإنه يتحرك وحدتين لأسفل.

كما نتذكر أنه في هذه الصورة العامة، قيمة ﺏ، أي الحد الثابت، تمثل الجزء المقطوع من المحور ﺹ. إذن، لدينا في المعادلة الجزء المقطوع من المحور ﺹ يساوي موجب واحد. هذه هي القيمة التي يقطع عندها الخط المستقيم المحور ﺹ. لنرسم هذا الخط المستقيم إذن. نعرف أنه يقطع المحور ﺹ عند القيمة واحد. وبما أن الميل يساوي سالب اثنين، نعلم إذن أنه إذا تحركنا وحدة واحدة جهة اليمين، فعلينا أن نتحرك وحدتين لأسفل. الآن، يمكننا رسم النقطة التالية عند الإحداثيات واحد، سالب واحد. ثم ننتقل وحدة واحدة جهة اليمين ووحدتين لأسفل مجددًا ونرسم النقطة التالية عند اثنين، سالب ثلاثة.

ويمكننا أيضًا العودة مرة أخرى إلى الجهة الأخرى من الجزء المقطوع من المحور ﺹ. إذا تحركنا وحدة واحدة إلى اليسار، فعلينا التحرك وحدتين لأعلى. إذن، يمكننا أيضًا رسم نقطة إحداثياتها سالب واحد، ثلاثة. بتوصيل كل هذه النقاط بخط مستقيم، يكون لدينا المستقيم الأول ﺹ يساوي سالب اثنين ﺱ زائد واحد.

سنستخدم طريقة أخرى لرسم الخط الثاني، ومعادلته هي ﺹ يساوي ﺱ زائد أربعة. هذه المرة، سنستخدم جدول القيم. سنختار مجموعة من قيم ﺱ المختلفة. وقد اخترت القيم الصحيحة من سالب اثنين إلى اثنين. ثم نستخدم معادلة الخط المستقيم لإيجاد قيم ﺹ المناظرة. على سبيل المثال، عند ﺱ يساوي صفرًا، فإن ﺹ يساوي صفرًا زائد أربعة، أي أربعة. وعند ﺱ يساوي سالب واحد، فإن ﺹ يساوي سالب واحد زائد أربعة أو أربعة ناقص واحد، وهو ما يساوي ثلاثة.

وبالطريقة نفسها، يمكننا إكمال باقي الجدول. يمكننا بعد ذلك تحديد أماكن هذه النقاط، أو على الأقل النقاط التي ستلائم المحاور الذي لدينا هنا ثم توصيلها بخط مستقيم لنحصل على الخط المستقيم الثاني ﺹ يساوي ﺱ زائد أربعة. لاحظ أن الجزء المقطوع من المحور ﺹ لهذا الخط المستقيم هو أربعة، والخط المستقيم لدينا يقطع المحور ﺹ عند هذه النقطة بالفعل. والميل يساوي واحدًا، والخط المستقيم لدينا بالفعل ميله يساوي واحدًا. وبذلك نكون قد رسمنا الخطين المستقيمين. والآن، علينا إيجاد النقطة التي تحقق المعادلتين آنيًّا. وهي النقطة التي تقع على كلا الخطين المستقيمين. أي علينا إيجاد إحداثيات نقطة تقاطعهما.

من خلال هذا الرسم البياني، يمكننا ملاحظة أن الخطين المستقيمين يتقاطعان عند النقطة ذات الإحداثيات سالب واحد، وثلاثة. وبما أن المطلوب منا هو إيجاد النقطة التي تحقق المعادلتين آنيًّا، فسنكتب الإجابة على صورة زوج إحداثي. إذن، حل المسألة هو الزوج الإحداثي سالب واحد، ثلاثة.

ارسم المعادلتين الآنيتين بيانيًّا ﺹ يساوي اثنين ﺱ زائد سبعة، وﺹ يساوي اثنين ﺱ ناقص أربعة، ثم حل هذا النظام.

سنرسم كلًّا من هذين التمثيلين البيانيين بمقارنة معادلتيهما بالمعادلة العامة للخط المستقيم بصيغة الميل والجزء المقطوع، ﺹ يساوي ﻡﺱ زائد ﺏ. الخط الأول، ﺹ يساوي اثنين ﺱ زائد سبعة ميله اثنان، والجزء المقطوع من المحور ﺹ يساوي سبعة. يمكننا رسم هذا المستقيم عن طريق تحديد الجزء المقطوع من المحور ﺹ أولًا. ثم لكل وحدة نتحركها إلى اليمين، نتحرك وحدتين لأعلى. ولكن في هذه الحالة، سنتحرك في الجهة المعاكسة. فمقابل كل وحدة نتحركها إلى اليسار، سنتحرك وحدتين لأسفل. وبهذا نصل إلى النقطة سالب واحد خمسة؛ ثم النقطة سالب اثنين، ثلاثة؛ والنقطة سالب ثلاثة، واحد. يمكننا بعد ذلك توصيل جميع هذه النقاط لتعطينا أول مستقيم.

بالطريقة نفسها، نلاحظ أن المستقيم ﺹ يساوي اثنين ﺱ ناقص أربعة ميله اثنان، والجزء المقطوع من المحور ﺹ يساوي سالب أربعة. يمكننا تحديد الجزء المقطوع من المحور ﺹ. ثم نتحرك وحدة واحدة إلى اليمين ووحدتين لأعلى، ثم نتحرك وحدة واحدة إلى اليمين ووحدتين لأعلى مرة أخرى، ثم نكرر ذلك مرة أخرى. ثم نصل بين هذه النقاط لنحصل على المستقيم الثاني. بذلك نكون قد رسمنا التمثيلين البيانيين لهاتين المعادلتين الآنيتين. لكن المطلوب هو حل النظام، وهو ما يعني إيجاد نقطة تقاطع هذين الخطين.

الآن، لم يتقاطع الخطان في التمثيل البياني المرسوم. هل هذا يعني أنني اخترت نطاقًا خطأ للمحورين ﺱ وﺹ وأنهما سيتقاطعان إذا اخترنا نطاقًا أكبر؟ حسنًا، الإجابة عن ذلك هي: لا، لن يتقاطع هذان الخطان أبدًا. والسبب في ذلك أنهما خطان متوازيان. وكلاهما له نفس الميل وهو اثنان. ونعرف أن الخطوط المتوازية لن تتقاطع أبدًا. وبالتالي، هذان الخطان ليس لهما نقطة تقاطع. إذن، في الواقع، لا يوجد أي حلول لهذا النظام من المعادلات الآنية. والسبب في ذلك هو أن المعادلتين تمثلان خطين مستقيمين متوازيين.

في الأمثلة التي تناولناها حتى الآن، رأينا احتمالين. أولًا، يمكن أن يتقاطع الخطان عند نقطة منفردة، وفي هذه الحالة يوجد حل واحد لنظام المعادلات الخطية. ثانيًا، يمكن أن يكون الخطان المستقيمان متوازيين إذا كان لهما الميل نفسه. وفي هذه الحالة، لا يوجد حل لنظام المعادلات الآنية لأن المستقيمين لن يتقاطعا أبدًا. في الواقع، يوجد خيار ثالث.

افترض أن المطلوب منا هو حل نظام مكون من المعادلتين ﺹ يساوي اثنين ﺱ ناقص أربعة واثنان ﺹ يساوي أربعة ﺱ ناقص ثمانية. إذا حاولنا تمثيلهما بيانيًّا، فسنرى أن المعادلتين تصفان المستقيم نفسه بالضبط. هذا لأننا إذا قسمنا طرفي المعادلة الثانية على اثنين، فستبسط إلى ﺹ يساوي اثنين ﺱ ناقص أربعة. فهي فقط طريقة مكافئة لكتابة معادلة المستقيم الأول. في هذه الحالة، يوصف الخطان المستقيمان بأنهما منطبقان. أي إن أحدهما يقع على الآخر بالضبط. ولذلك، كل نقطة على هذا الخط الممتد إلى ما لا نهاية، سوف تحقق نظام المعادلات الخطية. ومن ثم، نقول إنه يوجد عدد لا نهائي من الحلول لنظام المعادلات الخطية.

هذه هي الخيارات الثلاثة إذن لحل زوج من المعادلات الخطية الآنية بيانيًّا. يتقاطع المستقيمان عند نقطة منفردة، وهو ما يعني أن هناك حلًّا واحدًا، أي زوجًا واحدًا من الإحداثيات. أو يكون المستقيمان متوازيين، وهو ما يعني أنهما لا يتقاطعان أبدًا. ولا يوجد أي حل لنظام المعادلات الخطية. أو يكون المستقيمان منطبقين، أي إن أحدهما يقع مباشرة على الآخر. وتوجد حلول لا نهائية لنظام المعادلات الآنية.

في بعض الأحيان، قد لا يكون من الممكن حل مجموعة من المعادلات الآنية باستخدام التمثيل البياني إذا كانت الحلول قيمًا تساوي أعدادًا غير صحيحة. في هذه الحالة، لا يمكننا إلا كتابة القيم التقريبية للحل، كما سنرى في المثال التالي.

باستخدام الرسم البياني التالي، حدد أي مما يلي يمثل تقديرًا منطقيًّا لحل المعادلتين الآنيتين: اثنان ﺱ زائد ثلاثة ﺹ يساوي ٢٠، أربعة ﺱ ناقص أربعة ﺹ يساوي ١١. (أ) ﺱ يساوي ٥٫٤ وﺹ يساوي ٣٫١. أم (ب) ﺱ يساوي ٥٫٤ وﺹ يساوي ٢٫٩. أم (ج) ﺱ يساوي ٥٫٦ وﺹ يساوي ٢٫٤. أم (د) ﺱ يساوي ٥٫٧ وﺹ يساوي ٢٫٩. أم (هـ) ﺱ يساوي ٥٫٩ وﺹ يساوي ٢٫٧.

قد لا يكون ذلك واضحًا الآن، لكن المستقيمين المعطى تمثيلهما البياني يمثلان المعادلتين المذكورتين في السؤال. المستقيم الأحمر هو اثنان ﺱ زائد ثلاثة ﺹ يساوي ٢٠، والمستقيم الأزرق هو أربعة ﺱ ناقص أربعة ﺹ يساوي ١١. وحل هاتين المعادلتين الآنيتين هو إحداثيات النقطة التي يتقاطع عندها هذان المستقيمان. لكن بالنظر إلى الشكل، يمكننا أن نرى أنهما يتقاطعان في منتصف أحد المربعات الصغرى. إذن، لا يمكننا إيجاد قيمة دقيقة للحل. بدلًا من ذلك، سنبحث عن قيمة تقديرية.

هيا نتأكد أولًا من أننا نعرف بوضوح المقياس المستخدم في كل من المحورين. وفي كلتا الحالتين، هو المقياس نفسه. توجد أربعة مربعات صغيرة تمثل وحدتين. وبالقسمة على أربعة، نجد أن كل مربع صغير على كل من المحورين يمثل ٠٫٥ وحدة. بالنظر أولًا إلى الموضع الأفقي لهذه النقطة، نلاحظ أنها تقع بعد ثلاثة مربعات صغيرة على يمين أربعة، ثم تليها القيمة ﺱ يساوي ستة. إذا كان كل مربع صغير يساوي ٠٫٥، فإن ثلاثة مربعات صغيرة تساوي ١٫٥، ما يعني أن قيمة ﺱ على يسار هذه النقطة تساوي ٥٫٥. وعليه، فإن قيمة ﺱ تقع بين ٥٫٥ وستة.

وبالطريقة نفسها، بالنظر إلى الموضع الرأسي لهذه النقطة، نلاحظ أنها تقع بين العدد ٢٫٥ أي بعد مربع صغير واحد أعلى العدد اثنين، وبين العدد ثلاثة أي بعد مربعين صغيرين أعلى العدد اثنين. إذن، قيمة ﺹ تقع بين ٢٫٥ وثلاثة.

وبالنظر إلى الخيارات الخمسة، يمكننا استبعاد الخيارين (أ) و(ب)، حيث إن قيمتي ﺱ لهما تقعان خارج النطاق؛ وكذلك الخيار (ج)، لأن قيمة ﺹ له تقع أيضًا خارج النطاق. لتحديد الإجابة الصحيحة من بين الخيارين المتبقيين، نعلم أن النقطة قريبة جدًّا رأسيًّا من العدد ثلاثة، ويبدو أنها أقرب إلى ٥٫٥ منها إلى ستة. إذن، الخيار (د) هو التقدير الأكثر منطقية. أي إن ﺱ يساوي تقريبًا ٥٫٧، وﺹ يساوي تقريبًا ٢٫٩.

لنراجع النقاط الأساسية التي تناولناها في هذا الدرس. أولًا، رأينا أنه يمكن حل أنظمة المعادلات الخطية برسم التمثيلات البيانية للخطوط المستقيمة التي تمثلها كل معادلة وتحديد إحداثيات نقطة تقاطعها. لكننا لاحظنا أيضًا أنه ليس كل الخطوط المستقيمة تتقاطع. توجد ثلاثة احتمالات؛ وهي أن الخطوط المستقيمة تتقاطع عند نقطة واحدة، ما يعني أنه يوجد حل واحد لنظام المعادلات الخطية. أو أن الخطين متوازيان، ولا يتقاطعان أبدًا، ومن ثم لا يوجد حل. أو أن الخطين منطبقان، وفي هذه الحالة يوجد عدد لا نهائي من الحلول لنظام المعادلات. وأخيرًا، رأينا أيضًا أنه يمكننا استخدام التمثيلات البيانية لإيجاد حلول تقريبية لأنظمة المعادلات الخطية عندما تكون الحلول قيمًا تساوي أعدادًا غير صحيحة.