فيديو: إيجاد القيم العظمى والصغرى المحلية لدالة كثيرة الحدود باستخدام اختبار المشتقة الثانية

استخدم اختبار المشتقة الثانية في إيجاد القيم العظمى والصغرى المحلية للدالة 𝑓(𝑥) = 9𝑥⁴ − 2𝑥² − 5.

١٢:١٣

‏نسخة الفيديو النصية

استخدم اختبار المشتقة الثانية لإيجاد القيم العظمى والصغرى المحلية للدالة 𝑓 في المتغير 𝑥 يساوي تسعة 𝑥 أس أربعة ناقص اثنين 𝑥 تربيع ناقص خمسة، إن أمكن.

قبل أن نستخدم اختبار المشتقة الثانية لتحديد ما إذا كانت النقاط قيمًا عظمى أم صغرى، علينا إيجاد القيم التي سيكون لدينا عندها نقاط عظمى وصغرى. وللقيام بذلك، سنستخدم العلاقة التي يشتركان فيها، وهي أن قيمة الميل أو 𝑚 لكل منهما يساوي صفرًا.

وحتى نحدد هاتين النقطتين، سنوجد أولًا إحداثيات 𝑥 عند النقاط التي يساوي فيها الميل صفرًا. ولفعل ذلك، سنشتق الدالة لإيجاد دالة الميل. وإذا اشتققنا الدالة 𝑓 في المتغير 𝑥 يساوي تسعة 𝑥 أس أربعة ناقص اثنين 𝑥 تربيع ناقص خمسة، فإننا نحصل على 36𝑥 تكعيب ناقص أربعة 𝑥.

على سبيل التذكير، سنستخدم الحد الأول. ولقد حصلنا على ذلك بضرب الأس في المعامل، أي بضرب أربعة في تسعة، وهو ما يساوي 36. ثم لدينا 𝑥 مرفوعًا للقوة أربعة ناقص واحد؛ لأننا قللنا الأس بمقدار واحد. لدينا إذن 36𝑥 تكعيب.

حسنًا، رائع! لدينا الآن دالة الميل. ونعلم أن هذا يساوي صفرًا في نقاطنا العظمى والصغرى؛ لأننا قلنا بالفعل: إنهما تشتركان في علاقة أن الميل عند هذه النقاط يساوي صفرًا. لذا، وجدنا أن صفرًا يساوي 36𝑥 تكعيب ناقص أربعة 𝑥. ثم نقسم كل طرف على أربعة لتسهيل الحل وإيجاد قيمة 𝑥.

وبذلك، يتبقى لدينا صفر يساوي تسعة 𝑥 تكعيب ناقص 𝑥. ما سنفعله إذن أننا سنأخذ 𝑥 عاملًا مشتركًا لأن 𝑥 عامل مشترك في كلا الحدين. وهكذا نجد أن صفرًا يساوي 𝑥 في، نفتح القوس، تسعة 𝑥 تربيع ناقص واحد، ثم نغلق القوس.

والآن ما يمكننا فعله حقًا هو تحليل المقدار الذي بين القوسين. ونستطيع فعل ذلك لأنه مقدار خاص جدًا، إذ إنه الفرق بين مربعين. ونعلم ذلك لأن كل الحدود التي في المقدار مربعة، إذ إن تسعة عدد مربع كامل، و𝑥 تربيع عدد مربع، وواحد عدد مربع. ولدينا كذلك سالب. لذلك، نلاحظ أنه بإمكاننا تحليل تسعة 𝑥 تربيع ناقص واحد بسهولة باستخدام الفرق بين مربعين. لذا يمكننا القول: إنه تحليل كامل.

فنجد أن صفرًا يساوي 𝑥 في ثلاثة 𝑥 ناقص واحد في ثلاثة 𝑥 زائد واحد. وقد توصلنا إلى ذلك؛ لأننا أخذنا الجذر التربيعي لكل حد من الحدود. جذر تسعة هو ثلاثة، وجذر 𝑥 تربيع هو 𝑥، وجذر واحد هو واحد. ثم كان أحد القوسين موجبًا. والآخر سالب. لذا فهو محلل تحليلًا كاملًا.

حسنًا، رائع! والآن، دعونا نوجد قيمة 𝑥. حسنًا، في البداية، نعلم أن أحد الحلول هو 𝑥 يساوي صفرًا. ذلك لأنه عند ضرب صفر في أي شيء يكون الناتج صفرًا. والآن سنوجد الحلين الآخرين. وذلك بجعل كل من القوسين يساوي صفرًا.

إذن سنبدأ بثلاثة 𝑥 ناقص واحد يساوي صفرًا. ونضيف واحدًا إلى كل طرف. وبذلك نحصل على ثلاثة 𝑥 يساوي واحدًا. ثم نقسم على ثلاثة لنحصل على الحل الثاني، وهو 𝑥 يساوي واحدًا على ثلاثة.

والآن، هيا ننتقل إلى الحل الثالث. إذن سنبدأ بثلاثة 𝑥 زائد واحد يساوي صفرًا. ثم نطرح واحدًا من كلا الطرفين. وبذلك نحصل على ثلاثة 𝑥 يساوي سالب واحد. ثم أخيرًا نقسم على ثلاثة لنحصل على الحل الثالث، وهو 𝑥 يساوي سالب واحد على ثلاثة.

لدينا الآن قيم 𝑥 الثلاثة التي هي نقاط انقلاب إلى قيم عظمى وصغرى محتملة. علينا الآن إيجاد قيمة الدالة عند كل من هذه النقاط. سنبدأ بـ 𝑓 صفر.

حين نعوض عن 𝑥 بصفر في الدالة، فإننا نحصل على تسعة في صفر أس أربعة ناقص اثنين في صفر تربيع ناقص خمسة، وهو ما يعطينا سالب خمسة. بعد ذلك، يمكننا الانتقال إلى قيمة 𝑥 التالية. وعليه، فإن 𝑥 تساوي واحدًا على ثلاثة.

سنعوض بذلك في الدالة. ومن ثم، نحصل على تسعة في واحد على ثلاثة أس أربعة ناقص اثنين في واحد على ثلاثة تربيع ناقص خمسة، وهو ما يساوي تسعة على 81 ناقص اثنين على تسعة ناقص خمسة، وهو ما يساوي واحدًا على تسعة ناقص اثنين على تسعة ثم ناقص 45 على تسعة؛ لأننا حولنا الخمسة إلى 45 على تسعة. وبذلك نحصل على القيمة سالب 46 على تسعة. إذن هذه هي قيمة الدالة عندما يساوي 𝑥 واحدًا على ثلاثة.

يمكننا بعد ذلك الانتقال إلى قيمة 𝑥 الأخيرة. وفيها 𝑥 يساوي سالب واحد على ثلاثة. وذلك يساوي تسعة في سالب واحد على ثلاثة أس أربعة ناقص اثنين في سالب واحد على ثلاثة تربيع ناقص خمسة، وهو ما يعطينا تسعة على 81 ناقص اثنين على تسعة ناقص خمسة، وهي في الحقيقة نفس قيمة 𝑥 السابقة. ومن ثم، سيعطينا هذا أيضًا القيمة سالب 46 على تسعة.

وبذلك، نكون قد حسبنا القيم المحتملة. علينا الآن تحديد ما إذا كانت هذه القيم قيمًا عظمى أم قيمًا صغرى محلية. وحتى نفعل ذلك، سنستخدم اختبار المشتقة الثانية. والسبب في استخدامه هو أننا إذا ألقينا نظرة على هذا الشكل، فسنوجد المشتقة الثانية. إذ يساعدنا ذلك على إيجاد التقعر في جزء من الدالة.

فإذا كانت المشتقة الثانية موجبة عند نقطة، فيمكننا القول: إن تقعر منحنى الدالة لأعلى. وفي الواقع، فإن الطريقة التي سيساعدنا بها ذلك مع اختبار المشتقة الثانية أنه إذا كان تقعر منحنى الدالة لأعلى فسنعلم بذلك أنها ستكون نقطة قيمة صغرى محلية. وإذا كانت المشتقة الثانية سالبة عند نقطة، فسنعلم بذلك أنه سيكون جزءًا متقعرًا لأسفل. ومن ثم، يخبرنا اختبار المشتقة الثانية أن هذه ستكون نقطة قيمة عظمى.

حسنًا، رائع! الآن عرفنا ما علينا فعله. فلنوجد المشتقة الثانية في الدالة. لإيجاد المشتقة الثانية للدالة، علينا اشتقاق دالة الميل التي أوجدنا قيمتها من قبل، والتي كانت 36𝑥 تكعيب ناقص أربعة 𝑥. وإذا فعلنا ذلك، فسنحصل على 108𝑥 تربيع ناقص أربعة. وسنشتقها مرة ثانية مستخدمين القواعد نفسها التي استخدمناها سابقًا. إذ ضربنا المعامل في الأس فأعطانا 108. ثم قللنا الأس بمقدار واحد.

حسنًا، وبذلك نكون قد حصلنا على المشتقة الثانية. الآن، ما المرحلة التالية؟ حسنًا، الآن سنعوض بقيم 𝑥 لتحديد ما إذا كان التقعر لأعلى أم لأسفل، وبالتالي ما إذا كانت النقطة قيمة عظمى أم قيمة صغرى. أولًا، سنبدأ بالنقطة التي عندها 𝑥 يساوي صفرًا. يمكننا القول: إن المشتقة الثانية ستساوي 108 في صفر تربيع ناقص أربعة، وهو ما سيعطينا الناتج سالب أربعة. وإذا نظرنا إلى الشكل، فسنجد أنها قيمة سالبة، وبالتالي سيكون التقعر لأسفل. وبذلك نعلم أن هذه ستكون نقطة قيمة عظمى.

الآن، سننتقل إلى النقطة 𝑥 يساوي واحدًا على ثلاثة. وبذلك نحصل على 108 في واحد على ثلاثة تربيع ناقص أربعة، وهو ما يساوي 108 على تسعة ناقص أربعة، وهو 13 ناقص أربعة، وهو ما يساوي تسعة. وكما نلاحظ، فإن هذا الناتج موجب. لذلك، عند هذه النقطة يمكننا أن نلاحظ أن تقعر منحنى الدالة سيكون لأعلى. لذا ستكون نقطة قيمة صغرى.

وأخيرًا ننتقل إلى القيمة عندما 𝑥 يساوي سالب واحد على ثلاثة. حسنًا، إذا نظرنا إلى هذا، فسنجد أنه يجب أن يكون مثل القيمة السابقة. وذلك لأنه عندما أوجدنا قيم الدالة حين كانت سالب واحد على ثلاثة، كانت متساوية. لكن دعونا نجري العملية الحسابية على أي حال.

إذن لدينا 108 في سالب واحد على ثلاثة الكل تربيع سالب أربعة، وهو ما يعطينا 108 على تسعة ناقص أربعة. ذلك لأنه كان لدينا سالب واحد على ثلاثة تربيع. إذن هذا يجعلها موجبة. وبالتالي، كما توقعنا، حصلنا على القيمة السابقة نفسها عندما كان 𝑥 يساوي واحد على ثلاثة، وهي تسعة. إذن مرة أخرى سنقول: إن تقعر منحنى الدالة يتجه لأعلى، وهو ما يعني أنها ستكون نقطة قيمة صغرى.

وبذلك، نكون قد حسبنا كل القيم. وحددنا ما إذا كانت قيمًا عظمى أم صغرى. إذن يمكننا القول: إن الدالة لها قيمة عظمى محلية وهي سالب خمسة. وقد وصلنا إلى هذه النقطة لأنه عندما كان 𝑥 يساوي صفرًا كانت قيمة الدالة سالب خمسة. ثم استخدمنا اختبار المشتقة الثانية لتوضيح أنها قيمة عظمى لأن قيمة المشتقة الثانية عند هذه النقطة هي سالب أربعة.

وبذلك، حصلنا على قيمة صغرى محلية وهي سالب 46 على تسعة. ذلك لأنه عند إحداثيات 𝑥 التي تساوي واحد على ثلاثة وسالب واحد على ثلاثة، وجدنا أن قيمة الدالة سالب 46 على تسعة. ومرة أخرى، استخدمنا اختبار المشتقة الثانية لإثبات أنها قيمة صغرى؛ لأنه عند هاتين النقطتين كانت قيمة المشتقة الثانية تسعة، وهي قيمة موجبة ومن ثم قيمة صغرى.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.